2022高考数学一轮复习课时规范练18同角三角函数的基本关系及诱导公式（含解析）

课时规范练18　同角三角函数的基本关系及诱导公式

基础巩固组

1.已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是(　　)

A.sin θ<0,cos θ>0 B.sin θ>0,cos θ<0

C.sin θ>0,cos θ>0 D.sin θ<0,cos θ<0

2.(2020北京平谷二模,2)若角α的终边在第二象限,则下列三角函数值中大于零的是(　　)

A.sinα+ B.cosα+

C.sin(π+α) D.cos(π+α)

3.若tan α=cos α,则+cos4α的值为(　　)

A. B.2 C.2 D.4

4.(2020辽宁沈阳一中测试)已知2sin α-cos α=0,则sin2α-2sin αcos α的值为(　　)

A.- B.- C. D.

5.(2020浙江杭州学军中学模拟)已知cos 31°=a,则sin 239°·tan 149°的值为(　　)

A. B.

C. D.-

6.(2020河南开封三模,文10,理9)已知A是△ABC的一个内角,且sin A+cos A=a,其中a∈(0,1),则tan α的值可能为(　　)

A.-1 B.- C. D.-3

7.(2020河北衡水模拟)已知直线2x-y-1=0的倾斜角为α,则sin 2α-2cos2α=(　　)

A. B.- C.- D.-

8.已知cos+α=,且-π<α<-,则cos-α等于(　　)

A. B.- 

C. D.-

9.(2020山东济宁三模,13)已知tan(π-α)=2,则=　　　　. 

10.已知k∈Z,则的值为　　　　. 

综合提升组

11.已知角α和β的终边关于直线y=x对称,且β=-,则sin α等于(　　)

A.- B. C.- D.

12.已知θ∈,则2cos θ+=(　　)

A.sin θ+cos θ B.sin θ-cos θ

C.cos θ-sin θ D.3cos θ-sin θ

13.已知cos-θ=a(|a|≤1),则cos+θ+sin-θ的值是　　　　. 

14.已知f(α)=(sin α≠0,且1+2sin α≠0),则f-=　　　　. 

创新应用组

15.(2020河南高三质检,9)若a(sin x+cos x)≤2+sin xcos x对任意x∈0,恒成立,则a的最大值为(　　)

A.2 B.3 C. D.

16.

如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好,设计要求管道的接口H是AB的中点,EF分别落在线段BC,AD上,已知AB=20米,AD=10米,记∠BHE=θ.

(1)试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域;

(2)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.

参考答案

课时规范练18　同角三角

函数的基本关系及诱导公式

1.B　∵sin(θ+π)<0,∴-sinθ<0,sinθ>0.∵cos(θ-π)>0,∴-cosθ>0,cosθ<0.故选B.

2.D　角α的终边在第二象限,则sinα>0,cosα<0.sinα+=cosα<0,A不正确;cosα+=-sinα<0,B不正确;sin(π+α)=-sinα<0,C不正确;cos(π+α)=-cosα>0,D正确,故选D.

3.B　由题知,tanα=cosα,则=cosα,故sinα=cos2α,故+cos4α=+sin2α=sinα++1-cos2α=sinα++1-sinα=2.

4.A　2sinα-cosα=0,∴tanα=,∴sin2α-2sinαcosα==-.

5.B　sin239°·tan149°=sin(270°-31°)·tan(180°-31°)=-cos31°·(-tan31°)=sin31°=.

6.D　由sinA+cosA=a,两边平方得(sinA+cosA)2=a2,

即sin2A+cos2A+2sinAcosA=1+2sinAcosA=a2,又因为a∈(0,1),所以2sinAcosA=a2-1<0,因为0<A<π,得到sinA>0,所以cosA<0,又由sinA+cosA=a>0,所以sinA>-cosA>0,

则tanA<-1,比较四个选项,只有D正确.故选D.

7.A　由题意知tanα=2,所以sin2α-2cos2α=.

8.D　∵cos+α=sin-α=,又-π<α<-,∴-α<,

∴cos-α=

-=-.

9.　由tan(π-α)=2,得tanα=-2,则.

10.-1　当k=2n(n∈Z)时,

原式=

=

==-1.

当k=2n+1(n∈Z)时,

原式=

=

==-1.

综上,原式=-1.

11.D　终边在直线y=x上的角为kπ+(k∈Z),因为角α和β的终边关于直线y=x对称,所以α+β=2kπ+(k∈Z).又β=-,所以α=2kπ+(k∈Z),即得sinα=.

12.A　因为θ∈,则sinθ>cosθ,由同角三角函数的基本关系和诱导公式,可得2cosθ+=2cosθ+=2cosθ+sinθ-cosθ=sinθ+cosθ.

故选A.

13.0　由题知,cos+θ=cosπ--θ=-cos-θ=-a.

sin-θ=sin+-θ

=cos-θ=a,

故cos+θ+sin-θ=0.

14.　∵f(α)=

=

=

=,

∴f-=

=.

15.D　由题意,得a≤,令y=,则a≤ymin,令sinx+cosx=t,则sinxcosx=,且t∈(1,].于是y=f(t)=t+,且f(t)在(1,]上为减函数,所以f(t)min=f()=,所以a≤,故选D.

16.解(1)由题意可得EH=,FH=,EF=,

由于BE=10tanθ≤10,AF=≤10,

所以≤tanθ≤,故θ∈,

所以L==10×,θ∈.

(2)设sinθ+cosθ=t,则sinθcosθ=,由于θ∈,

所以t=sinθ+∈,L=10×.由于L=在区间上单调递减,

故当t=,即θ=或θ=时,L取得最大值为20(+1)米.