2022高考数学一轮复习大题专项练三数列（含解析）

高考大题专项(三)　数列

1.(2020广东天河区模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和,且a1<2,an>0,6Sn=+3an+2,n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若∀n∈N*,bn=(-1)n,求数列{bn}的前2n项和T2n.

2.(2020湖南郴州二模,文17)设等差数列{an}的公差为d(d>1),前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q.已知b1=a1,b2=3,2q=3d,S10=100.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)记cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Tn.

3.(2020安徽合肥4月质检二,理17)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=1,S7=14,数列{bn}满足b1·b2·b3·…·bn=.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2)若数列{cn}满足cn=bncos(anπ),求数列{cn}的前2n项和T2n.

4.(2020山西长治二模)Sn为等比数列{an}的前n项和,已知a4=9a2,S3=13,且公比q>0.

(1)求an及Sn.

(2)是否存在常数λ,使得数列{Sn+λ}是等比数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.

5.(2020天津,19)已知{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1=b1=1,a5=5(a4-a3),b5=4(b4-b3).

(1)求{an}和{bn}的通项公式;

(2)记{an}的前n项和为Sn,求证:SnSn+2<(n∈N*);

(3)对任意的正整数n,设cn=求数列{cn}的前2n项和.

参考答案

高考大题专项(三)　数列

1.解(1)设{an}的公差为d.

由S9=-a5得a1+4d=0.

由a3=4得a1+2d=4.

于是a1=8,d=-2.

因此{an}的通项公式为an=10-2n.

(2)由(1)得a1=-4d,

故an=(n-5)d,Sn=.

由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.

所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.

2.解(1)当n=1时,6a1=+3a1+2,且a1<2,解得a1=1.

当n≥2时,6an=6Sn-6Sn-1=+3an+2-(+3an-1+2).

化简,得(an+an-1)(an-an-1-3)=0,因为an>0,所以an-an-1=3,

所以数列{an}是首项为1,公差为3的等差数列,所以an=1+3(n-1)=3n-2.

(2)bn=(-1)n=(-1)n(3n-2)2.

所以b2n-1+b2n=-(6n-5)2+(6n-2)2=36n-21.

所以数列{bn}的前2n项的和T2n=36×(1+2+…+n)-21n=36×-21n=18n2-3n.

3.解(1)由题意,得

将b1=a1,q=d代入上式,

可得解得(舍去),或

∴数列{an}的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1,n∈N*.

∴b1=a1=1,q=d=×2=3,

∴数列{bn}的通项公式为bn=1×3n-1=3n-1,n∈N*.

(2)由(1)知,cn=an·bn=(2n-1)·3n-1,

∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=1×1+3×3+5×32+…+(2n-1)·3n-1, ①

3Tn=1×3+3×32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n, ②

①-②,得-2Tn=1+2×3+2×32+…+2·3n-1-(2n-1)·3n=1+2×(3+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=1+2×-(2n-1)·3n=-(2n-2)·3n-2,

∴Tn=(n-1)·3n+1.

4.解(1)设数列{an}的公差为d,由a2=1,S7=14,得解得

所以an=.∵b1·b2·b3·…·bn=,∴b1·b2·b3·…·bn-1=(n≥2),

两式相除,得bn=2n(n≥2).

当n=1时,b1=2适合上式.∴bn=2n.

(2)∵cn=bncos(anπ)=2ncos,

∴T2n=2cos+22cosπ+23cos+24cos(2π)+…+22n-1cos+22ncos(nπ)

则T2n=22cosπ+24cos(2π)+26cos(3π)+…+22ncos(nπ)=-22+24-26+…+(-1)n·22n==-.

5.解(1)由题意可得解得

所以an=3n-1,Sn=.

(2)假设存在常数λ,使得数列{Sn+λ}是等比数列,因为S1+λ=λ+1,S2+λ=λ+4,S3+λ=λ+13,所以(λ+4)2=(λ+1)(λ+13),解得λ=,此时Sn+×3n,则=3,故存在常数λ=,使得数列是等比数列.

6.(1)解设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由a1=1,a5=5(a4-a3),可得d=1,从而{an}的通项公式为an=n.由b1=1,b5=4(b4-b3),又q≠0,可得q2-4q+4=0,解得q=2,从而{bn}的通项公式为bn=2n-1.

(2)证明由(1)可得Sn=,故SnSn+2=n(n+1)(n+2)(n+3),(n+1)2(n+2)2,从而SnSn+2-=-(n+1)(n+2)<0,所以SnSn+2<.

(3)解当n为奇数时,cn=;当n为偶数时,cn=.对任意的正整数n,有c2k-1==-1,

c2k=+…+. ①

由①得c2k=+…+. ②

由①②得c2k=+…+,从而得c2k=.

因此,ck=c2k-1+c2k=.所以,数列{cn}的前2n项和为.