全国统考2022版高考数学大一轮复习第8章立体几何第4讲直线平面垂直的判定及性质2备考试题（含解析）

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第八章　立体几何第四讲　直线、平面垂直的判定及性质1.[2020昆明市高考模拟]已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,则“α∥β”是“l⊥m”的 (　　)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.[数学文化题]《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.在如图8-4-1所示的四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,且PD=CD,点E,F分别为PC,PD的中点,则图中的鳖臑有              (　　)A.2个 B.3个C.4个 D.5个图8-4-13.[2021江苏省部分学校学情调研]已知α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同直线,给出下面四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中的三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:　　　　　　. 4.[2021云南省部分学校统一检测]如图8-4-2,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,E是CC1的中点,BC=1,BB1=2,AB=,∠BCC1=60°.(1)证明:B1E⊥AE.(2)若A1B∩AB1=D,求三棱锥D-AA1E的体积.图8-4-2  5.[2021安徽四校联考]如图8-4-3(1),ABCD是正方形,点P在以BC为直径的半圆弧上(P不与B,C重合),E为线段BC的中点.现将正方形ABCD沿BC折起,使得平面ABCD⊥平面BCP,如图8-4-3(2)所示.(1)　　　　　　　　　　(2)图8-4-3(1)证明:BP⊥平面DCP.(2)若BC=2,当三棱锥D-BPC的体积最大时,求E到平面BDP的距离.    6.[2020惠州市二调]如图8-4-4,AB为圆O的直径,点E,F在圆O上,AB∥EF,矩形ABCD所在平面和圆O所在平面互相垂直,已知AB=3,EF=1.(1)求证:平面DAF⊥平面CBF.(2)设几何体F-ABCD,F-BCE的体积分别为V1,V2,求V1∶V2的值.图8-4-4  7.[2021贵阳市四校第二次联考]如图8-4-5所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AB=2AD=4,PD=BD=AD,且PD⊥底面ABCD.(1)证明:BC⊥平面PBD.(2)若Q为PC的中点,求三棱锥A-PBQ的体积.图8-4-5  8.已知平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,∠BAD=45°,点E在线段CD上,DE=EC,把△BCE沿BE翻折,使点C到点P的位置,如图8-4-6.(1)当平面PBE⊥平面ABCD时,求AP的长;(2)若PD=2,求三棱锥B-ADP的体积.图8-4-6  9.如图8-4-7,在四棱锥S-ABCD中,已知底面ABCD为矩形,△SAD为等腰直角三角形,SA=SD=2,AB=2,F是BC的中点.(1)若在线段AD上存在点E,使得平面SEF⊥平面ABCD,指出点E的位置并说明理由;(2)在(1)的条件下,若∠SFE=30°,求点F到平面SAD的距离.图8-4-7     10.如图8-4-8,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC,平面ACC1A1,平面BCC1B1两两垂直.(1)求证:CA,CB,CC1两两垂直.(2)若CA=CB=CC1=a,求三棱锥B1-A1BC的体积.图8-4-8 11.[原创题]如图8-4-9,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,D为线段PB的中点,E为线段PC上的动点,且PA=AB=4,BC=3.(1)求证:平面ADE⊥平面PBC.(2)当三棱锥P-ADE的体积为2时,求DE的长度.图8-4-9  答 案第八章　立体几何第四讲　直线、平面垂直的判定及性质1.A　因为l⊥α,α∥β,所以l⊥β,又m⊂β,所以l⊥m;但由l⊥α,l⊥m,m⊂β不能得到α∥β.所以“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件.故选A.【解题关键】　本题以空间位置关系为载体考查充要条件,求解的关键是熟记空间中直线、平面平行与垂直的判定及性质,梳理各种证明方法,结合题设条件准确运用.题目没有给出图形时,要画出图形,借助图形的直观性进行判断.2.C　因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥DC,PD⊥BC,PD⊥BD,又四边形ABCD为正方形,所以BC⊥CD,所以BC⊥平面PCD,所以BC⊥PC,所以四面体PDBC是一个鳖臑.因为DE⊂平面PCD,所以BC⊥DE.因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC,又PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC,所以DE⊥BE,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形,即四面体EBCD是一个鳖臑.同理可得,四面体PABD和FABD都是鳖臑.故选C.3.若m⊥n,n⊥β,m⊥α,则α⊥β(或若α⊥β,n⊥β,m⊥α,则m⊥n)　若①m⊥n,②α⊥β,③n⊥β成立,则m与α可能平行也可能相交,即④m⊥α不一定成立;若①m⊥n,②α⊥β,④m⊥α成立,则n与β可能平行也可能相交,即③n⊥β不一定成立;若①m⊥n,③n⊥β,④m⊥α成立,因为m⊥n,n⊥β,所以m∥β,又m⊥α,所以α⊥β,即①③④⇒②;若②α⊥β,③n⊥β,④m⊥α成立,因为α⊥β,n⊥β,所以n∥α,又m⊥α,所以m⊥n,即②③④⇒①.4.(1)如图D 8-4-4,连接BE.因为在△BCE中,BC=1,CE=CC1=BB1=1,∠BCE=60°,所以△BCE是等边三角形,BE=1.因为在△B1C1E中,B1C1=EC1=1,∠B1C1E=120°,所以B1E=.图D 8-4-4在△BB1E中,BE=1,B1E=,BB1=2,所以B1E⊥BE.又AB⊥平面BB1C1C且B1E⊂平面BB1C1C,所以B1E⊥AB.又AB∩BE=B,所以B1E⊥平面ABE.因为AE⊂平面ABE,所以B1E⊥AE.(2)由A1B∩AB1=D知D为A1B,AB1的中点.由AB⊥平面BB1C1C,可得AB⊥BB1,所以△AA1D的面积AB·BB1=×2=.在平面BB1C1C内过点E作EH⊥BB1于点H,又AB⊥EH,AB∩BB1=B,所以EH⊥平面ABB1A1.在Rt△BB1E中,由EH·BB1=BE·B1E,可得EH=,即点E到平面AA1D的距离为.所以三棱锥D-AA1E的体积.5.(1)因为平面ABCD⊥平面BCP,ABCD是正方形,平面ABCD∩平面BCP=BC,所以DC⊥平面BCP.因为BP⊂平面BCP,所以BP⊥DC.因为点P在以BC为直径的半圆弧上,所以BP⊥PC.又DC∩PC=C,所以BP⊥平面DCP.(2)当点P位于的中点时,△BCP的面积最大,三棱锥D-BPC的体积也最大.如图D 8-4-5,连接PE,DE,因为BC=2,所以PE=1,所以△BEP的面积为×1×1=,所以三棱锥D-BEP的体积为×2=.因为BP⊥平面DCP,所以BP⊥DP,DP=,△BDP的面积为.设E到平面BDP的距离为d,由×d=,得d=,即E到平面BDP的距离为.图D 8-4-56.(1)解法一　∵平面ABCD⊥平面ABEF,在矩形ABCD中,CB⊥AB,平面ABCD∩平面ABEF=AB,CB⊂平面ABCD,∴CB⊥平面ABEF.∵AF⊂平面ABEF,∴AF⊥CB.又AB为圆O的直径,∴AF⊥BF.∵CB∩BF=B,∴AF⊥平面CBF.∵AF⊂平面DAF,∴平面DAF⊥平面CBF.解法二　∵平面ABCD⊥平面ABEF,在矩形ABCD中,DA⊥AB,平面ABCD∩平面ABEF=AB,DA⊂平面ABCD,∴DA⊥平面ABEF.∵BF⊂平面ABEF,∴DA⊥BF.又AB为圆O的直径,∴AF⊥BF.∵DA∩AF=A,∴BF⊥平面DAF.∵BF⊂平面CBF,∴平面DAF⊥平面CBF.(2)如图D 8-4-6,过点F作FH⊥AB,交AB于H.∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,且FH⊂平面ABEF,∴FH⊥平面ABCD.则V1=×(AB×BC)×FH,图D 8-4-6易知V2=×()×BC,∴=6. 7.(1)由题意得,AB=4,AD=2,BD=AD=2,所以AD2+BD2=AB2,所以AD⊥BD,因为四边形ABCD为平行四边形,所以AD∥BC,所以BC⊥BD,又PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PD⊥BC,因为PD∩BD=D,所以BC⊥平面PBD.(2)如图D 8-4-7,连接AC,因为Q为PC的中点,所以S△PBQ=S△QBC,所以V三棱锥A-PBQ=V三棱锥A-QBC,因为四边形ABCD为平行四边形,所以V三棱锥A-QBC=V三棱锥Q-ABC=V四棱锥Q-ABCD.过点Q作QE⊥DC交DC于点E,因为PD⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PD⊥DC,所以PD∥QE,所以QE⊥平面ABCD,又Q为PC的中点,所以QE为△CDP的中位线,所以QE=PD,所以V四棱锥Q-ABCD=V四棱锥P-ABCD.由已知可得PD=2,所以V三棱锥A-PBQ=V三棱锥A-QBC=V三棱锥Q-ABC=V四棱锥Q-ABCD=V四棱锥P-ABCD=×2×2×2=2,故三棱锥A-PBQ的体积为2.图D 8-4-78.(1)翻折前,根据CD=AB=4,DE=EC,得CE=2,在△BCE中,BC=2,∠BCE=∠BAD=45°,由余弦定理,得BE=2,所以BC2=BE2+CE2,于是BE⊥CE.翻折后,有PE⊥BE.因为平面PBE⊥平面ABCD,且平面PBE∩平面ABCD=BE,PE⊂平面PBE,所以PE⊥平面ABCD.连接AE,因为AE⊂平面ABCD,所以PE⊥AE,而AE2=AB2+BE2=16+4=20,PE=2,所以PA==2.(2)如图D 8-4-8,因为BE⊥PE,BE⊥DE,PE∩DE=E,所以BE⊥平面PDE,又BE⊂平面ABED,所以平面PDE⊥平面ABED.图D 8-4-8  由于PD=2,DE=PE=2,所以△PDE为正三角形,取DE的中点O,连接PO,则PO⊥DE,所以PO⊥平面ABED,且PO=,所以三棱锥B-ADP的体积VB-ADP=VP-ADB=S△ADB·PO=×4×2×.9.(1)点E为AD的中点.理由如下:因为四边形ABCD是矩形,所以AB⊥AD.又E,F分别是AD,BC的中点,所以EF∥AB,所以AD⊥EF.又△SAD为等腰直角三角形,SA=SD,所以SE⊥AD.因为SE∩EF=E,所以AD⊥平面SEF.又AD⊂平面ABCD,所以平面SEF⊥平面ABCD.图D 8-4-9(2)如图D 8-4-9,过点S作SO⊥FE,交FE的延长线于点O.由(1)知平面SEF⊥平面ABCD,平面SEF∩平面ABCD=EF,所以SO⊥平面ABCD.因为△SAD为等腰直角三角形,SA=SD=2,所以AD=4,SE=2,又EF=AB=2,所以△SEF为等腰三角形.因为∠SFE=30°,故∠SEF=120°,∠SEO=60°,故OE=1,SO=.连接AF,DF,设F到平面SAD的距离为d,由VF-SAD=VS-FAD可得×S△SAD×d=×SO×S△FAD.易知S△SAD=×2×2=4,S△FAD=×2×4=4,所以d=SO=.10.(1)在△ABC内取一点P,作PD⊥AC,PE⊥BC,因为平面ABC⊥平面ACC1A1,平面ABC∩平面ACC1A1=AC,所以PD⊥平面ACC1A1,所以PD⊥CC1.同理PE⊥CC1,又PD∩PE=P,所以CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AC,CC1⊥BC,用证CC1⊥AC的方法,可证AC⊥BC,故CA,CB,CC1两两垂直.(2),由(1)可知,三棱锥A1-BCB1的高为A1C1=a,又BC·BB1=a2,所以三棱锥B1-A1BC的体积为a3.11.(1)∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.又AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.∵AD⊂平面PAB,∴AD⊥BC.∵PA=AB,D为线段PB的中点,∴AD⊥PB.又BC∩PB=B,∴AD⊥平面PBC.∵AD⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面PBC.(2)易知S△PAD=S△PAB=×4×4=4.记点E到平面PAB的距离为h,则V三棱锥P-ADE=V三棱锥E-PAD=×S△PAD×h=h,由h=2,得h=.由(1)可知BC⊥平面PAB.∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PAB.过点E向PB作垂线,垂足为F,则EF⊥平面PAB,且EF∥BC.∵EF=h=,BC=3,∴EF为△PBC的中位线,即点F与点D重合.故DE=.【素养落地】　本题以三棱锥为载体,让考生在运用与线面、面面垂直有关的定理的过程中,提升直观想象和逻辑推理等核心素养.