全国统考2022版高考数学大一轮复习解题思维4高考中结构不良试题的提分策略备考试题（含解析）

解题思维4　高考中结构不良试题的提分策略

1.在①b1+b3=a2,②a4=b4,③S5=-25这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的k存在,求出k的值;若k不存在,说明理由.

设等差数列{an}的前n项和为Sn,{bn}是等比数列,　　　　,b1=a5,b2=3,b5=-81,是否存在k,使得Sk>Sk+1且Sk+1<Sk+2? 

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,.

(1)若△ABC还同时满足下列四个条件中的三个:①a=7,②b=10,③c=8,④△ABC的面积S=10,请指出这三个条件,并说明理由.

(2)若a=3,求△ABC周长L的取值范围.

3.在△ABC中, a,b,c分别为内角A,B,C的对边,2b2=(b2+c2-a2)(1-tan A).

(1)求角C;

(2)若c=2,D为BC中点,在下列两个条件中任选一个,求AD的长度.

条件①:△ABC 的面积S=4且B>A.

条件②:cosB=.

注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.

4.在①离心率为,且经过点(3,4);②=4,且焦距为2;这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的直线l存在,求出l的方程;若问题中的直线l不存在,说明理由.

问题:已知曲线C:mx2+ny2=1(m,n≠0)的焦点在x轴上,　　　　　,是否存在过点P(-1,1)的直线l,与曲线C交于A,B两点,且P为线段AB的中点? 

注:若选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.

答 案

解题思维4　高考中结构不良试题的提分策略

1.因为{bn}为等比数列,且b2=3,b5=-81,设公比为q,则b5=b2q3,即3q3=-57,所以q=-3.则bn=-(-3)n-1.所以a5=b1=-1.假设存在k,使得Sk>Sk+1且Sk+1<Sk+2,则Sk+1是等差数列{an}的前n项和Sn中的唯一最小值,所以{an}为递增数列(d>0)且a1<0.

若选择条件①,则a2=b1+b3=-10,又a5=a2+3d,所以d=3>0,又a1=a2-d=-13<0,所以存在满足题意的k,且k=4.

若选择条件②,则a4=b4=27,由a5=-1得d=-28<0,所以满足题意的k不存在.

若选择条件③,则S5==-25,a1=-9<0,d=2>0.所以满足题意的k存在,且k=4.

2.由,得sin AcosB+sinA cos C=cos AsinB+cosAsinC,sinAcosB-cos AsinB=cos AsinC-sin AcosC,

所以sin(A-B)=sin(C-A).

因为A,B,C∈(0,π),所以A-B=C-A,即2A=B+C,所以A=.

(1)△ABC还同时满足条件①③④.理由如下:

若△ABC同时满足条件①②,

则由正弦定理得sin B=>1,这不可能,

所以△ABC不能同时满足条件①②,

若△ABC同时满足条件③④,

则△ABC的面积S=bcsin A=×b×8×=10,所以b=5,与条件②b=10矛盾,此时可求得a=7或a=-7(舍去).

所以△ABC还同时满足的三个条件为①③④.

(2)在△ABC中,由正弦定理得=2.

因为C=B,所以b=2sin B,c=2sin(B).

所以L=a+b+c=3+2[sin B+sin(B)]=6(sin B+cos B)+3=6sin(B+)+3,

因为B∈(0,),所以B+∈(,),sin(B+)∈(,1],

所以△ABC周长L的取值范围为(6,9].

3.(1)在△ABC中,由余弦定理知b2+c2-a2=2bccos A,

所以2b2=2bccos A(1-tan A),所以b=c(cos A-sin A),

由正弦定理知=,得sin B=sin C(cos A-sin A),

所以sin(A+C)=sin C(cos A-sin A),

即sin AcosC+cosAsinC=sin CcosA-sin CsinA,

所以sin AcosC=-sin CsinA,

因为sin A≠0,所以cos C=-sin C,所以tan C=-1,

又0<C<π,所以C=.

(2)若选择条件①,

因为△ABC的面积S=4=absin C=absin,所以ab=8,

由余弦定理知c2=(2)2=40=a2+b2-2abcos,

所以a2+b2+ab=40.

由解得或

因为B>A,所以b>a,所以

又D为BC中点,所以CD=,

在△ACD中,AD2=CA2+CD2-2CA·CD·cos C=16+2-2×4×cos=26,

所以AD=.

若选择条件②,

因为cos B=,所以sin B==,

又sin∠BAC=sin(B+C)= sin BcosC+sinCcosB=,

由正弦定理知=,所以a==2,又D为BC中点,所以BD=,

在△ABD中,由余弦定理知AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B,

得AD=.

4.若选条件①.

由题设得曲线C为焦点在x轴上的双曲线.

设m=,n=(a>0,b>0),则曲线C的方程为=1(a>0,b>0),(题眼)

由题设得解得a2=1,b2=2,所以曲线C的方程为x2=1.

(i)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,

则直线l与曲线C有且仅有一个交点(-1,0),不符合题意.

(ii)当直线l的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y-1=k(x+1),即y=k(x+1)+1,代入x2=1得(2-k2)x2-2k(k+1)x-(k2+2k+3)=0　(*),

若2-k2=0,即k=±时,方程(*)有且仅有一解,不符合题意;

若2-k2≠0,即k≠±时,其判别式Δ=[-2k(k+1)]2-4(k2-2)(k2+2k+3)=8(2k+3)>0,则k>,

所以方程(*)有两个不同实数解时,k>且 k≠±,

于是x1+x2==2×(-1)=-2,解得k=-2,与k>且 k≠±矛盾.

所以不存在直线l,与曲线C交于A,B两点,且P为线段AB的中点.

若选条件②.

由题设得曲线C为焦点在x轴上的椭圆.

设m=,n=(a>b>0),则曲线C的方程为=1(a>b>0),

由题设得解得a2=4,b2=3,所以曲线C的方程为=1.

(i)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,

代入=1得y=±,P(-1,1)不是线段AB的中点,不符合题意.

(ii)当直线l的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x+1)+1,代入=1得(3+4k2)x2+8k(k+1)x+4(k2+2k-2)=0,

其判别式Δ=[8k(k+1)]2-4·(3+4k2)·4(k2+2k-2)=16(9k2-6k+6)>0恒成立,

于是x1+x2==2×(-1)=-2,解得k=,

故y=(x+1)+1=x+,即3x-4y+7=0,

所以存在直线l:3x-4y+7=0,与曲线C交于A,B两点,且P为线段AB的中点.(12分)