全国统考2022版高考数学大一轮复习解题思维5高考中数列解答题的提分策略备考试题（含解析）

解题思维5　高考中数列解答题的提分策略

1.[2020南昌市三模,12分]已知数列{an}中,a1=2,anan+1=2pn+1(p为常数).

(1)若-a1,a2,a4成等差数列,求p的值;

(2)若{an}为等比数列,求p的值及{an}的前n项和Sn.

2.[2021山东济南模拟,12分]设等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,S3=13.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若{an}是递增数列,求数列{|an-n-2|}的前n项和.

3.[2021河南省名校第一次联考,12分]已知数列{an}的首项a1=1,其前n项和为Sn,且满足Sn+1=2Sn+n+1.

(1)求证:数列{an+1}是等比数列;

(2)令bn=n(an+1),求数列{bn}的前n项和Tn.

4.[原创题,12分]已知正项数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,-λSn+1,其中λ为常数.

(1)证明:Sn+1=2Sn+λ.

(2)是否存在实数λ,使得数列{an}为等比数列?若存在,求出λ;若不存在,请说明理由.

答 案

　解题思维5高考中数列解答题的提分策略

1.(1)令n=1,则a1a2=2p+1,又a1=2,所以a2=2p.

anan+1=2pn+1　①,

an+1an+2=2pn+p+1　②,

得=2p,故a4=2pa2=(2p)2. (3分)

若-a1,a2,a4成等差数列,则a4-2=a2,即(2p)2-2=2p,

解得2p=2,即p=1. (6分)

(2)若{an}为等比数列,则由a1>0,a2>0,知此数列的首项和公比均为正数.

设其公比为q,因为=2p,所以q2=2p,q=,故,得p=2. (9分)

此时a1=2,q=2,所以an=2n,故anan+1=22n+1,

故2pn+1=22n+1,因此p=2,

所以数列{an}的前n项和Sn==2n+1-2. (12分)

2.(1)设等比数列{an}的公比为q.

由题意得a1+a1q+a1q2=13,即1+q+q2=13,解得q=3或q=-4.

故数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N*或an=(-4)n-1,n∈N*. (4分)

(2)由(1)知,an=3n-1,n∈N*.

令bn=|an-n-2|=|3n-1-n-2|. (6分)

由3n-1-n-2≥0得3n-1≥n+2,所以n≥3.由3n-1-n-2<0得n≤2,即n=1,2.

设数列{|an-n-2|}的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+b3+…+bn.

当n=1时,T1=b1=2;当n=2时,T2=b1+b2=3;

当n≥3时,Tn=3+.(10分)

T1不满足上式,T2满足上式.

综上,Tn= (12分)

3.(1)∵Sn+1=2Sn+n+1,　①

∴当n≥2时,Sn=2Sn-1+n,　② (2分)

①-②得,an+1=2an+1,n≥2,

∴an+1+1=2an+1+1,n≥2,

即an+1+1=2(an+1),n≥2. (4分)

又a1+a2=2a1+2,∴a2=3,

则a2+1=2(a1+1).

∴数列{an+1}是以a1+1=2为首项、2为公比的等比数列. (6分)

(2)由(1)知an+1=2n.

∴bn=n·2n.

∴Tn=1×21+2×22+3×23+4×24+…+(n-1)·2n-1+n·2n,　③

∴2Tn=1×22+2×23+3×24+4×25+…+(n-1)·2n+n·2n+1,　④ (9分)

③-④,得-Tn=2+1×22+1×23+…+1×2n-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2.

∴Tn=(n-1)·2n+1+2. (12分)

4.(1)∵an+1=Sn+1-Sn,λSn+1,

∴λSn+1, (1分)

∴Sn+1(Sn+1-2Sn-λ)=0. (3分)

∵an>0,∴Sn+1>0,

∴Sn+1-2Sn-λ=0,∴Sn+1=2Sn+λ. (5分)

(2)∵Sn+1=2Sn+λ,

∴Sn=2Sn-1+λ(n≥2),

两式相减,得an+1=2an(n≥2). (8分)

∵S2=2S1+λ,即a2+a1=2a1+λ,

∴a2=1+λ,由a2>0,得λ>-1.

若{an}是等比数列,则a1a3=, (10分)

即2(λ+1)=(λ+1)2,得λ=1. (11分)

经检验,λ=1符合题意.

故存在λ=1,使得数列{an}为等比数列. (12分)