选修1-1第二章 圆锥曲线与方程2.3抛物线课后测评

抛物线的简单几何性质

[A组　学业达标]

1．抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为(　　)

A．4　　　　　　　 B．9

C．10  D．18

解析：抛物线y2＝2px的焦点为，

准线方程为x＝－.

由题意可得4＋＝9，解得p＝10，

所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.

答案：C

2．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　)

A．有且仅有一条  B．有且仅有两条

C．有无穷多条  D．不存在

解析：当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意．

当斜率存在时，由焦点坐标为(1,0)，

可设直线方程为y＝k(x－1)，

由

得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，

∴x1＋x2＝＝5，

∴k2＝，即k＝±  .

因而这样的直线有且仅有两条．

答案：B

3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于(　　)

A．4  B．8

C．8  D．16

解析：由抛物线方程y2＝8x，可得准线l：x＝－2，焦点F(2,0)，设点A(－2，n)，

∴－＝，

∴n＝4.

∴P点纵坐标为4.

由(4)2＝8x，得x＝6，

∴P点坐标为(6,4)，

∴|PF|＝|PA|＝|6－(－2)|＝8，故选B.

答案：B

4．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于(　　)

A．2  B．3

C．5  D．7

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2.

由得x2－5x＋4＝0，

∴x1＋x2＝5，x1＋x2＋2＝7.

答案：D

5．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是(　　)

A．(2，±2)  B．(1，±2)

C．(1,2)  D．(2,2)

解析：由题意知F(1,0)，设A，则＝，＝.

由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选B.

答案：B

6．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4，则焦点F到直线AB的距离为________．

解析：由抛物线的方程可知F(1,0)，由|AB|＝4且AB⊥x轴得y＝(2)2＝12，

∴xA＝＝3，

∴所求距离为3－1＝2.

答案：2

7．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则|AB|＝________.

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为抛物线的准线方程为x＝－1，焦点为F(1,0)，则根据抛物线的定义可知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，所以|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝2xM＋2＝2×2＋2＝6.

答案：6

8．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB＝________.

解析：由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称．

设A，B，

则S△AOB＝·2a·＝16，解得a＝4，

∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°.

答案：90°

9．直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．

解析：因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，

若l与x轴垂直，则|AB|＝4，不符合题意，

所以可设所求直线l的方程为y＝k(x－1)．

由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，

则由根与系数的关系，得x1＋x2＝.

又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，

所以＝6，解得k＝±1.

所以所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.

10．已知抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，O为坐标原点．

(1)求证：l与C必有两交点．

(2)设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．

解析：(1)证明：联立抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，可得2x2－kx－1＝0，

所以Δ＝k2＋8>0，所以l与C必有两交点．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1①，因为y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，代入①，得2k＋＝1②，由(1)可得x1＋x2＝k，x1x2＝－，代入②得k＝1.

[B组　能力提升]

11．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝(　　)

A．2或－1  B．－1

C．2  D．3

解析：由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，因为AB中点的横坐标为2，则＝4，即k＝2或k＝－1，又由Δ＝16(k＋2)2－16k2>0，知k＝2.

答案：C

12．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·＝0，则k＝(　　)

A.   B.

C.  D．2

解析：由题意可知，抛物线的焦点为(2,0)．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝k(x－2)．

由得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，

则x1＋x2＝，x1·x2＝4.

y1＋y2＝k(x1－2)＋k(x2－2)＝k(x1＋x2－4)＝，

y1·y2＝－＝－16.

∴·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)

＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋4

＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4－16－＋4＝0，

解得k＝2，故选D.

答案：D

13．动圆经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程是________．

解析：设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，所以p＝6，所以动圆圆心的轨迹方程为y2＝12x.

答案：y2＝12x

14．过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则|FA|·|FB|的值为________．

解析：过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为的直线方程为y＝x－1，

联立得x2－6x＋1＝0，

Δ＝36－4＝32>0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>0，x2>0，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，F(1,0)，

|FA|·|FB|＝·

＝·

＝·

＝(x1＋1)(x2＋1)

＝x1x2＋(x1＋x2)＋1

＝1＋6＋1＝8.

答案：8

15.如图，已知直线与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D(不为原点)．

(1)求点D的轨迹方程；

(2)若点D的坐标为(2,1)，求p的值．

解析：(1)设点A的坐标(x1，y1)，点B的坐标(x2，y2)，点D的坐标(x0，y0)(x0≠0)，由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0.

由已知，得直线AB的方程为y0y＝－x0x＋x＋y.

又y＝2px1，y＝2px2，yy＝(2px1)·(2px2)，则x1x2＝，

由x1x2＋y1y2＝0得y1y2＋4p2＝0.

把y0y＝－x0x＋x＋y代入y2＝2px，并消去x得

x0y2＋2py0y－2p(x＋y)＝0，

则y1y2＝，

代入y1y2＋4p2＝0，

得x＋y－2px0＝0(x0≠0)，

故所求点D的轨迹方程为x2＋y2－2px＝0(x≠0)．

(2)将x＝2，y＝1代入方程x2＋y2－2px＝0中，得p＝.

16．已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．

(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

(2)求证：A为线段BM的中点．

解析：(1)把P(1,1)代入y2＝2px得p＝，

∴抛物线C的方程为y2＝x.

∴焦点坐标为，准线方程为x＝－.

(2)证明：设l：y＝kx＋(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线OP的方程为y＝x，

直线ON的方程为y＝x.

由题意知A(x1，x1)，B，

由得k2x2＋(k－1)x＋＝0，

则x1＋x2＝，x1·x2＝.

∵y1＋＝kx1＋＋

＝2kx1＋

＝2kx1＋

＝2kx1＋(1－k)·2x1

＝2x1，

∴＝x1.

又M(x1，y1)，B，

∴＝x1，

∴线段BM的中点坐标为(x1，x1)，与A(x1，x1)坐标相同，

∴A为线段BM的中点．