人教版新课标A选修1-12.1椭圆第2课时随堂练习题

椭圆标准方程及性质的应用

[A组　学业达标]

1．若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值是(　　)

A．－1　　　　　　　　　 B.

C．－1或1  D．－或

解析：由题意得椭圆的焦点为(0，±3)，

若l过一个焦点，则b＝±1.

故选C.

答案：C

2．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)

A．(0,1)   B.

C.   D.

解析：由题知，M的轨迹为以两焦点的连线为直径的圆，

c<b⇒c2<b2＝a2－c2⇒e2<，

又e∈(0,1)，所以e∈.

答案：C

3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：椭圆的方程可化为＋＝1，

∴F(－，0)．

又∵直线AB的斜率为，

∴直线AB的方程为y＝x＋.

由

得7x2＋12x＋8＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝，

∴|AB|＝＝.

答案：B

4．已知点F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，若△ABF2为等边三角形，则该椭圆的离心率e为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：∵△ABF2为等边三角形，∴∠AF2B＝60°，∠AF2F1＝30°，

∴|AF1|＝|F1F2|·tan 30°＝c，

|AF2|＝＝c.由椭圆的定义，得|AF1|＋|AF2|＝2a，

∴c＋c＝2a，

∴e＝＝.

答案：D

5．已知F1，F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P为(　　)

A．(－2,0)  B．(0,1)

C．(2,0)  D．(0,1)或(0，－1)

解析：由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，

∴|PF1|·|PF2|≤2＝4，

当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2，即P点坐标为(0，－1)或(0,1)时，取“＝”．

答案：D

6．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则＋＝1，①

＋＝1，②

①－②得，

＋＝0.

又M(1,1)是线段AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，

所以＋＝0，所以a2＝2b2，

所以e＝.

答案：

7．焦点分别为(0,5)和(0，－5)的椭圆截直线y＝3x－2所得椭圆的弦的中点的横坐标为，则此椭圆方程是________．

解析：设此椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

且a2－b2＝(5)2＝50，①

由

得(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0.

∵＝，

∴＝，

∴a2＝3b2，②

此时Δ>0，

由①②得a2＝75，b2＝25，

∴椭圆方程为＋＝1.

答案：＋＝1

8．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．

解析：椭圆的右焦点为F(1,0)，

∴lAB：y＝2x－2.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由

得3x2－5x＝0，

∴x＝0或x＝，

∴A(0，－2)，B，

∴S△AOB＝|OF|(|yB|＋|yA|)

＝×1×

＝.

答案：

9．已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．

解析：设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x－y＋a＝0，

联立方程得9y2－2ay＋a2－8＝0，

Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，

解得a＝3或a＝－3，

∴与直线l距离较近的切线方程为x－y＋3＝0，

所求最小距离为d＝＝.

10．若椭圆＋＝1(a>b>0)与直线y＝x交于A，B两点，且|AB|＝，求＋的值．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x1＝＝y1，x2＝y2＝－，故|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝2(x1－x2)2＝2×2＝＝，即＝，所以＋＝5.

[B组　能力提升]

11．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是(　　)

A．[6,10]  B．[6,8]

C．[8,10]  D．[16,20]

解析：由题意知a＝10，b＝8，不妨设椭圆为＋＝1，

椭圆上的点M(x0，y0)，由椭圆的范围知，

|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8，

点M到椭圆中心的距离d＝，

又因为＋＝1，

所以y＝64＝64－x，

则d＝＝，

因为0≤x≤100，

所以64≤x＋64≤100，所以8≤d≤10.故选C.

答案：C

12．已知c是椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距，则的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)  B．(，＋∞)

C．(1，]  D．(1，)

解析：2＝

＝

＝1＋≤1＋＝2，

当且仅当b＝c时取等号，a、b、c都大于0，

所以2＝1＋>1.

∴1<2≤2，∴1<≤.

答案：C

13．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则的值是________．

解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由消去y得，(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，

∴x1＋x2＝，

∴线段MN中点的横坐标为，

纵坐标为1－＝.

∴过原点与线段MN中点的直线的斜率为

＝＝.

答案：

14．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·等于________．

解析：由＋y2＝1，得a2＝2，b2＝1，c2＝a2－b2＝1，焦点为(±1,0)．

不妨设直线l过右焦点，倾斜角为45°，直线l的方程为y＝x－1.

代入＋y2＝1得x2＋2(x－1)2－2＝0，

即3x2－4x＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1·x2＝0，x1＋x2＝，y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1－＝－，

所以·＝x1x2＋y1y2＝0－＝－.

答案：－

15．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A，B两点，若＝3，求k的值．

解析：由椭圆C的离心率为，

得c＝a，b2＝，

∴椭圆C：＋＝1.

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，F.

∵＝3，

∴＝3，

∴a－xA＝3，－yA＝3yB，

即xA＋3xB＝2a，yA＋3yB＝0.

将A、B代入椭圆C方程相减得

＝8，＝8，

∴3xB－xA＝a，

∴xA＝a，xB＝a，

∴yA＝－a，yB＝a，

∴k＝＝＝.

16．椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)当△F2AB的面积为时，求直线的方程．

解析：(1)因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，

所以＋＝1.①

又因为离心率为，所以＝，

所以＝.②

解①②得a2＝4，b2＝3.

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)当直线的倾斜角为时，

A，B，

S△ABF2＝|AB|×|F1F2|＝×3×2＝3≠，不符合题意．

当直线的倾斜角不为时，设直线方程为y＝k(x＋1)，

代入＋＝1得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，

x1x2＝，

所以S△ABF2＝|y1－y2|×|F1F2|

＝|k|

＝|k|

＝＝，

所以17k4＋k2－18＝0，

解得k2＝1，

所以k＝±1，

所以所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.