高中数学人教版新课标A选修1-1第三章 导数及其应用3.1变化率与导数复习练习题

导数的几何意义

[A组　学业达标]

1．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则(　　)

A．f′(x0)>0　　　　　　　 B．f′(x0)<0

C．f′(x0)＝0  D．f′(x0)不存在

解析：因为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数就是切线的斜率，又切线2x－y＋1＝0的斜率为2，所以f′(x0)>0.

答案：A

2．若曲线f(x)的导函数为f′(x)＝2x＋3，则f′(3)等于(　　)

A．0  B．2

C．3  D．9

解析：由f′(x0)与f′(x)的关系可得，f′(3)＝2×3＋3＝9.

答案：D

3．曲线f(x)＝2x－在x＝1处的切线的斜率为(　　)

A．－1  B．1

C．2  D．3

解析：因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)－－＝2Δx＋1－＝2Δx＋，所以＝＝2＋，所以li ＝li ＝2＋1＝3，所以f′(1)＝3，即所求切线的斜率为3.

答案：D

4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a的值为(　　)

A．1   B.

C．－  D．－1

解析：∵y′|x＝1＝

＝ (2a＋aΔx)＝2a，

∴2a＝2，则a＝1.故选A.

答案：A

5．已知曲线y＝x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为(　　)

A．30°  B．45°

C．135°  D．165°

解析：∵y＝x2－2，

∴y′＝

＝

＝ ＝x.

∴y′|x＝1＝1.∴点P处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.

答案：B

6．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．

解析：设点P(x0,2x＋4x0)．

则y′|x＝x0

＝

＝ ＝4x0＋4，

令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30)．

答案：(3,30)

7．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为________．

解析：由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(1)＝4.又切线在y轴上的截距为－1，所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1，所以切点坐标为(1,3)，所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2.

答案：2

8．曲线y＝f(x)＝x2＋1在点P(1,2)处的切线方程为________．

解析：y′|x＝1＝ ＝ ＝2，所以所求切线的斜率为2，因此所求的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.

答案：2x－y＝0

9．已知曲线y＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标和实数a的值．

解析：设切点P的坐标为(x0，y0)，切线斜率为k.

由y′＝ ＝ ＝ (4x＋2Δx)＝4x，

得k＝y′|x＝x0＝4x0.

根据题意得4x0＝8，x0＝2，

分别代入y＝2x2＋a和y＝8x－15，得y0＝8＋a＝1，得

故切点P(2,1)，a＝－7.

10．在曲线y＝x2上哪一点处的切线，

(1)平行于直线y＝4x－5；

(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；

(3)与x轴成135°的倾斜角？

解析：f′(x)＝

＝ ＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点．

(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，

所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，

即P(2,4)是满足条件的点．

(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，

所以2x0·＝－1，得x0＝－，

y0＝，

即P是满足条件的点．

(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，

所以其斜率为－1，即2x0＝－1，

得x0＝－，y0＝，

即P是满足条件的点．

[B组　能力提升]

11．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)

解析：由函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左到右先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小．故选B.

答案：B

12．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于(　　)

A．2   B.

C．－  D．－2

解析：∵y＝，

∴y′＝

＝－，

∴y′|x＝3＝－.由题意可知－a＝2，解得a＝－2，故选D.

答案：D

13．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.

解析：∵

＝ (aΔx＋2a)＝2a＝2，∴a＝1.

又3＝a×12＋b，∴b＝2，∴＝2.

答案：2

14．曲线f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a围成的三角形的面积为，则a＝________.

解析：因为f′(a)＝ ＝3a2，所以曲线在点(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)．令y＝0，得切线与x轴的交点为，

由题设知三角形的面积为

·|a3|＝，解得a＝±1.

答案：±1

15．已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直．

(1)求实数a，b的值；

(2)求过已知函数图象上某点处切线的斜率的取值范围．

解析：(1)y′＝f′(x)

＝

＝3ax2＋2bx.

∵f(x)＝ax3＋bx2的图象过点M(1,4)，

∴a＋b＝4.

又∵曲线在点M处的切线与直线x＋9y＝0垂直，

∴f′(1)＝9，∴3a＋2b＝9.

由 得

(2)由(1)知y′＝f′(x)＝3ax2＋2bx＝3x2＋6x＝3(x＋1)2－3≥－3.

∴过已知函数图象上某点处的切线的斜率的取值范围是[－3，＋∞)．

16．已知曲线y＝x2＋1，问：是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

解析：假设存在实数a满足题意．

由＝＝2x＋Δx，

得y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.

设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率k＝2x0.

由点斜式得切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)．

又切线过点(1，a)，y0＝x＋1，

∴a－(x＋1)＝2x0(1－x0)，即x－2x0＋a－1＝0.

∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，

解得a<2.

故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，实数a的取值范围是(－∞，2)．