人教版新课标A选修1-12.1椭圆课时训练

椭圆及其标准方程

[A组　学业达标]

1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　)

A．5　　　　　　　　　 B．6

C．7  D．8

解析：设到另一焦点的距离为x，则x＋2＝10，x＝8.

答案：D

2．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C．x2＋＝1   D.＋＝1

解析：由题意知a2－2＝4，∴a2＝6.

∴所求椭圆的方程为＋＝1.

答案：D

3．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于(　　)

A．4  B．5

C．7  D．8

解析：∵焦距为4，

∴m－2－(10－m)＝2，

∴m＝8.

答案：D

4．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

解析：∵S△PF1F2＝×8b＝12，∴b＝3，

又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25，

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

答案：B

5．“m2>5”是“方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m2－1>3，所以m2>4.

所以“m2>5”是“方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件．

答案：A

6．椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标是________．

解析：由25x2＋16y2＝1知焦点在y轴上，

且a2＝，b2＝，c2＝－＝，∴c＝.

∴焦点坐标为.

答案：

7．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程是________．

解析：由|AF1|＋|AF2|＝2a＝4得a＝2，

∴原方程化为＋＝1，将A代入方程得b2＝3，

∴椭圆C的方程为＋＝1.

答案：＋＝1

8．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.

解析：由椭圆定义，

得|PF1|＋|PF2|＝2a，

∴|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2.

又∵⊥，

∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，

∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，

∴|PF1||PF2|＝2b2，

S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝b2＝9，

∴b＝3.

答案：3

9．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程．

(1)焦点在坐标轴上，且经过点A(，－2)，B(－2，1)；

(2)与椭圆＋y2＝1有相同焦点且经过点M(，1)．

解析：(1)设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)，根据题意，得解得

∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)由椭圆＋y2＝1，知焦点在x轴上，

则a2＝3，b2＝1，c2＝a2－b2＝3－1＝2，

∴c＝，∴椭圆的两个焦点分别为(－，0)和(，0)．

设所求椭圆的方程为＋＝1(a2>2)，

把(，1)代入方程，得＋＝1，

化简，得a4－5a2＋4＝0，

∴a2＝4或a2＝1(舍)，

∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.

10．若长度为8的线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，点M在AB上且＝2，求点M的轨迹方程．

解析：设A(x0,0)，B(0，y0)，M(x，y)，

∵＝2，

∴(x－x0，y)＝2(－x，y0－y)，

∴

∵|AB|＝8，∴＝8，

∴x＋y＝64.

把x0＝3x，y0＝y代入x＋y＝64中，

得(3x)2＋2＝64，

即x2＋y2＝1为点M的轨迹方程．

[B组　能力提升]

11．已知椭圆M：x2＋＝λ经过点(1,2)，则M上一点到两焦点的距离之和为(　　)

A．2　　　　　　　　 B．2

C．4  D．4

解析：因为椭圆M：x2＋＝λ经过点(1,2)，代入可得λ＝2，即椭圆的方程为＋＝1，则a＝2，所以根据椭圆的定义可得椭圆上的点到两焦点的距离之和为2a＝4.

答案：D

12．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

解析：由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(如图)．

由|OP|＝|OF|＝|OF′|，

知∠PFF′＝∠FPO，

∠OF′P＝∠OPF′，

∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，

∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.

在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8.由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，得a2＝49，于是b2＝a2－c2＝72－52＝24，所以椭圆的方程为＋＝1.

答案：C

13．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.

解析：由题意知，

|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10，

由正弦定理得＝＝＝.

答案：

14．已知椭圆的焦距是2，且过点P(－，0)，则其标准方程是________．

解析：(1)若椭圆的焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知得c＝1，且椭圆过点P(－，0)，

∴解得

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)若椭圆的焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，则有

解得

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

综上所述，椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

答案：＋＝1或＋＝1

15．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.

(1)求此椭圆的标准方程；

(2)若点P满足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．

解析：(1)由已知得|F1F2|＝2，

∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，

∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝4－1＝3，

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)在△PF1F2中，由余弦定理得

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 120°，

即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1||PF2|，

∴4＝(2a)2－|PF1||PF2|＝16－|PF1|·|PF2|，

∴|PF1||PF2|＝12，

∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin 120°＝×12×＝3.

16．点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹．

解析：方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆．