高中数学人教版新课标A选修1-13.1变化率与导数随堂练习题

导数的概念

[A组　学业达标]

1．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy等于(　　)

A．f(x0＋Δx)　　　　　　 B．f(x0)＋Δx

C．f(x0)·Δx  D．f(x0＋Δx)－f(x0)

解析：∵自变量x由x0改变到x0＋Δx，

当x＝x0时，y＝f(x0)，

当x＝x0＋Δx时，y＝f(x0＋Δx)，

∴Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选D.

答案：D

2．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为(　　)

A．2.1  B．1.1

C．2  D．0

解析：＝＝＝2.1.

答案：A

3．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为(　　)

A.米/秒   B.米/秒

C．8 米/秒   D. 米/秒

解析：∵＝

＝

＝Δt＋8－，

∴ ＝8－＝.

答案：B

4．做直线运动的物体，其位移s和时间t的关系是s＝3t－t2，则它的初速度是(　　)

A．0  B．3

C．－2  D．3－2t

解析：初速度即为t＝0时的瞬时速度，＝＝＝3－Δt，

当Δt趋近于0时，趋近于3，故它的初速度为3.

答案：B

5．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于(　　)

A．－4  B．2

C．－2  D．±2

解析：∵＝＝＝，

∴f′(m)＝ ＝－，∴－＝－，

解得m＝±2.

答案：D

6.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为________．

解析：由图象知1＝kOA，2＝kAB，3＝kBC，kOA<kAB<kBC，所以1<2<3.

答案：1<2<3

7．已知函数y＝－x2＋x的图象上一点A(－1，－2)及邻近一点B(－1＋Δx，－2＋Δy)，则＝________.

解析：∵＝

＝＝－Δx＋3，

∴为3－Δx.

答案：3－Δx

8．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于________．

解析：∵f′(1)＝li

＝

＝a

∴f′(1)＝a＝3.

答案：3

9．已知一物体的运动方程为s(t)＝t2＋2t＋3，求该物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度．

解析：该物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的位移增量Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝[(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋3]－(12＋2×1＋3)＝(Δt)2＋4Δt，

则该物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为＝＝4＋Δt.

10．一辆汽车按s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，求a.

解析：∵s＝at2＋1，

∴s(2＋Δt)＝a(2＋Δt)2＋1＝4a＋4aΔt＋a(Δt)2＋1，

∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝4a＋4aΔt＋a(Δt)2＋1－(4a＋1)＝4aΔt＋a(Δt)2，

∴＝＝4a＋aΔt.

当Δt趋近于0时，趋近于4a.

依题意有4a＝12，∴a＝3.

[B组　能力提升]

11．设函数f(x)在x＝2处的导数存在，则 ＝(　　)

A．－2f′(2)  B．2f′(2)

C．－f′(2)   D.f′(2)

解析：因为函数f(x)在x＝2处的导数存在，所以

＝－ ＝－f′(2)．

答案：C

12．物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为0，则相应时刻为(　　)

A．t＝1  B．t＝2

C．t＝3  D．t＝4

解析：因为v＝

＝

＝－8t＋16－4Δt，

当Δt趋近于0时，v无限趋近于－8t＋16，所以由－8t＋16＝0，得t＝2.

答案：B

13．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率为2，则t＝________.

解析：函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是＝＝＝2，

即t2－t－6＝2t＋4，t2－3t－10＝0，

解得t＝5或t＝－2(舍去)．

所以当函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2时，t的值是5.

答案：5

14．对于函数y＝，其导数值等于函数值的点是________．

解析：设导数值等于函数值的点是(x0，f(x0))，

则f′(x0)＝

＝ ＝－.

由题意知f′(x0)＝f(x0)，

即－＝，

解得x0＝－2，从而y0＝.

答案：

15．若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．

解析：∵函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为

＝

＝

＝－3－Δx，

∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.

又∵Δx>0，

∴Δx的取值范围是(0，＋∞)．

16．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x0)＋2＝g′(x0)的x0的值．

解析：由导数的定义知，

f′(x0)＝ ＝2x0，

g′(x0)＝ ＝3x.

因为f′(x0)＋2＝g′(x0)，

所以2x0＋2＝3x，

即3x－2x0－2＝0.

解得x0＝或x0＝.