高中数学人教版新课标A选修1-1第二章 圆锥曲线与方程2.2双曲线第1课时课后练习题

双曲线的简单几何性质

[A组　学业达标]

1．已知双曲线－＝1的实轴的一个端点为A1，虚轴的一个端点为B1，且|A1B1|＝5，则双曲线的方程是(　　)

A.－＝1　　　　　　　 B.－＝－1

C.－＝1   D.－＝－1

解析：由题意知a＝4，又∵|A1B1|＝5，

∴c＝5，b＝＝＝3.

∴双曲线方程为－＝1.

答案：A

2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　)

A．－  B．－4

C．4  D.

解析：由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，

则双曲线方程可化为y2－＝1，

则a2＝1，即a＝1，

又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，

∴－＝b2＝4，

∴m＝－，故选A.

答案：A

3．中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x  B．y＝±x

C．y＝±x  D．y＝±x

解析：∵＝，∴＝＝，

∴＝，∴＝，∴＝.

又∵双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程－＝1(a>0，b>0)，

∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，

∴所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.

答案：D

4．双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：－y2＝1的顶点坐标为(±2,0)，渐近线为－y2＝0，即x±2y＝0.代入点到直线距离公式d＝＝.

答案：C

5．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为(　　)

A．y2－3x2＝36  B．x2－3y2＝36

C．3y2－x2＝36  D．3x2－y2＝36

解析：椭圆4x2＋y2＝64，即＋＝1，焦点为(0，±4)，离心率为，所以双曲线的焦点在y轴上，c＝4，e＝，所以a＝6，b2＝12，所以双曲线方程为y2－3x2＝36.

答案：A

6．双曲线－＝－3的渐近线方程为________．

解析：令－＝0，得y＝±x，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.

答案：y＝±x

7．焦点为(0，±6)且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是________．

解析：与双曲线－y2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－y2＝λ(λ≠0)，

又∵双曲线的焦点在y轴上，

∴方程可写为－＝1.

又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，

∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12，

∴双曲线方程为－＝1.

答案：－＝1

8．若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________．

解析：由渐近线方程为y＝±x＝±x，

得m＝3，所以c＝，又焦点在x轴上，

则焦点为(±，0)．

答案：(±，0)

9．已知圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆C：＋＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．

解析：椭圆C：＋＝1的两焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，

故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.

设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，则G的渐近线方程为y＝±x，

即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25.

∵圆M的圆心为(0,5)，半径为r＝3.

∴＝3⇒a＝3，b＝4.

∴双曲线G的方程为－＝1.

10．根据条件，求双曲线的标准方程．

(1)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3,2)；

(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．

解析：(1)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，

由题意可知－＝λ，

解得λ＝.

∴所求双曲线的标准方程为－＝1.

(2)设所求双曲线方程为－＝1(16－k>0,4＋k>0)，

∵双曲线过点(3，2)，

∴－＝1，

解得k＝4或k＝－14(舍去)．

∴所求双曲线的标准方程为－＝1.

[B组　能力提升]

11．点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且PF1⊥PF2，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于(　　)

A．4  B．5

C．6  D．7

解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，

则

解得

所以a＋b＝7，故选D.

答案：D

12．已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，点(1，－)在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的方程为(　　)

A．y2－＝1   B.－x2＝1

C.－＝1   D.－＝1

解析：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意得c＝2，即a2＋b2＝4，渐近线方程为y＝±x，可得a＝b，解得a＝，b＝1，所以双曲线的方程为－x2＝1.

答案：B

13．双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．

解析：＝⇒＝＝⇒m＝9.

答案：9

14．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e＝________.

解析：以线段F1F2为边作正△MF1F2，则M在y轴上，可设|F1F2|＝2c，M在y轴正半轴，则M(0，c)，又F1(－c,0)，则边MF1的中点为，代入双曲线方程，可得－＝1，由于b2＝c2－a2，e＝，则有e2－＝4，即有e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4±2，由于e>1，即有e＝1＋.

答案：＋1

15．双曲线与圆x2＋y2＝17有公共点A(4，－1)，圆在点A的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程．

解析：因为点A与圆心O连线的斜率为－，所以过点A的切线的斜率为4，

所以双曲线的渐近线方程为y＝±4x.

设双曲线方程为x2－＝λ(λ≠0)．

因为点A(4，－1)在双曲线上，

所以16－＝λ，λ＝.

故双曲线的标准方程为－＝1.

16．已知双曲线与椭圆＋＝1有相同焦点，且经过点(4,6)．

(1)求双曲线方程；

(2)若双曲线的左，右焦点分别是F1，F2，试问在双曲线上是否存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|?

解析：(1)椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且c＝＝4，即焦点为(±4,0)，于是可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则有解得a2＝4，b2＝12，故双曲线方程为－＝1.

(2)假设在双曲线上存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|，则点P只能在右支上．由于在双曲线－＝1中，由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝4，于是得|PF1|＝5，|PF2|＝1.但当点P在双曲线右支上时，点P到左焦点F1的距离的最小值应为a＋c＝6，故不可能有|PF1|＝5，即在双曲线上不存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|.