人教版新课标A必修5第一章 解三角形1.2 应用举例同步达标检测题

三角形中的几何计算

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.在△ABC中,已知2cos B=,则此三角形的形状为 (　　)

A.直角三角形   B.等腰三角形

C.等腰直角三角形  D.不能确定

【解析】选B.由余弦定理的推论可得:2cos B=2×=,

整理可得:c2-b2=0,即b=c,

则△ABC为等腰三角形.

2.等腰三角形一腰上的高是,这条高与底边的夹角为60°,则底边长等于

 (　　)

A.2   B.   C.3   D.2

【解析】选D.如图所示,BD=,∠DBC=60°,则∠DCB=30°.

在直角△BCD中,根据正弦定理可得

BC===2.

3.(2019·大庆高一检测)在△ABC中,a2+b2-ab=c2=2S△ABC,则△ABC一定是

 (　　)

A.等腰三角形  B.直角三角形

C.等边三角形  D.等腰直角三角形

【解析】选B.因为cos C===,又0<C<π,所以C=,

因为c2=2S△ABC=2absin C=ab,又===2R,

所以sin2 C=sin Asin B⇒sin Asin B=,又A+B=,所以sin Asin B=

sin Asin (-A)=sin A=,

所以sin (2A-)=,

因为0<A<,所以-<2A-<,

所以2A-=或,

解得:A=,B=或A=,B=,

所以△ABC一定是直角三角形.

4.设锐角△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,B=2A,则b的取值范围 (　　)

A.(,2)  B.(1,)  C.(,)  D.(0,2)

【解析】选C.锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=2A,,

解得A∈,

因为a=1,B=2A,

所以由正弦定理可得:===2cos A,

所以<2cos A<,则b的取值范围为(,).

5.(2019·湖北四校期中联考)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c2-a2-b2+ab=0,a+b=2c,S△ABC=.则边长c等于              (　　)

A.   B.4   C.2   D.

【解析】选C.因为a2+b2-c2=ab,

故cos C==,

因为C∈,故C=.

将c=代入a2+b2-c2=ab,

整理可得a2+b2-2ab=0,(a-b)2=0,

所以a=b,所以△ABC为等边三角形,

故S△ABC=c2=,解得c=2.

6.在△ABC中,三边长分别为a-2,a,a+2,最大角的正弦值为,则这个三角形的面积为 (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选B.因为三边不等,所以最大角大于60°,

设最大角为α,故α对的边长为a+2,因为sin α=,所以α=120°,

由余弦定理,得(a+2)2=(a-2)2+a2+a(a-2),即a2=5a,解得a=5,

所以三边长为3,5,7,S△ABC=×3×5×sin 120°=.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A=________. 

【解析】因为在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,所以AB=BC.

由余弦定理得AC=

==BC,

故BC·BC=AB·AC·sin A

=·BC·BC·sin A,所以sin A=.

答案:

8.等腰△ABC中,顶角A=120°,腰长AB=1,则底边BC长为________. 

【解析】易知∠B=∠C=30°,

由正弦定理知:=,所以BC=.

答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.(2019·泰州高一检测)如图,在平面四边形ABCD中,∠D=π,CD=,△ACD的面积为.

(1)求AC的长;

(2)若AB⊥AD,∠B=,求BC的长.

【解析】(1)因为∠D=π,CD=,△ACD的面积为,

所以S△ACD=AD·CD·sin D=×AD××=,所以AD=,

所以由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos D=6+6-2×6×(-)=18,

所以AC=3,

(2)由(1)知△ACD中AD=,CD=,∠D=π,

所以∠DAC=,因为AB⊥AD,所以∠BAC=,

又因为∠B= ,AC=3,

所以在△ABC中,由正弦定理得=,即=,所以BC=3.

10.在△ABC中,已知BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2x+2=0的两根,2cos(A+B)=1.

(1)求角C的度数及AB的长;

(2)求△ABC的面积.

【解析】(1)因为2cos(A+B)=1,

所以A+B=60°,

故C=120°.

由a,b是方程x2-2x+2=0的两根,

得a+b=2,ab=2,

又AB2=c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-2ab-2abcos C

=12-4-4×=10.

所以AB=.

(2)S△ABC=absin C=·2·=.

(45分钟　75分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.在△ABC中,AB=2,∠C=,则AC+BC的最大值为 (　　)

A.2   B.3   C.4   D.5

【解析】选C.根据正弦定理得到

===,

AC+BC=sin B+sin A

=sin B+sin=4sin,

因为角B∈,故B+∈,

故得到4sin∈(2,4].故最大值为4.

2.在△ABC中,D为BC的中点,满足∠BAD+∠C=,则△ABC的形状一定是

 (　　)

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等边三角形

D.等腰三角形或直角三角形

【解析】选D.如图所示,因为D为BC的中点,所以BD=CD,

因为∠BAD+∠C=,

所以∠CAD+∠B=,

sin ∠BAD=cos C,sin ∠CAD=cos B,

在△ABD中,由正弦定理==,

同理,=,

所以=,

即=,

所以sin Bcos B=sin Ccos C,

即sin 2B=sin 2C,

所以2∠B=2∠C,或2∠B+2∠C=π,

即∠B=∠C,或∠B+∠C=∠A=,

所以△ABC的形状一定是等腰三角形或直角三角形.

3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=3,tan B=2tan A,则△ABC的面积为 (　　)

A.2   B.3   C.3   D.4

【解析】选B.因为tan B=2tan A,可得:=,

即:2sin Acos B=cos Asin B,

所以sin C=sin Acos B+cos Asin B=3sin Acos B,

由正弦定理得:c=3acos B,

因为a=2,c=3,所以cos B=,

因为B∈(0,π),得:sin B=.

所以S△ABC=acsin B=×2×3×=3.

4.已知锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,b2+c2-bc=4,

则△ABC的面积的取值范围是 (　　)

A.   B.(0,]

C.   D.

【解析】选C.因为a=2,b2+c2-bc=4,

所以cos A===.

已知A为锐角,可得A=,sin A=,B+C=,

因为由正弦定理可得==,

可得b=sin B,c=sin,

所以S△ABC=bcsin A=××sin B×sin

=sinB=sin 2B-cos2B+=sin+,

因为B,C为锐角,

可得<B<,<2B-<,

可得sin∈,

所以S△ABC=sin+∈.

5.在△ABC中,∠C=90°,M是BC中点,若sin∠BAM=,则tan∠ABC的值为

 (　　)

A.   B.   C.2  D.

【解析】选B.如图所示,

令BC=a,AB=c,AC=b,CM=MB=,

在△AMB中,由正弦定理得=,

即=,解得sin∠AMB=,

所以cos∠MAC=cos=sin∠AMC=sin(π-∠AMB)=sin∠AMB=,

在直角△ACM中cos∠MAC==,所以=,

化简可得a4-4a2b2+4b4=(a2-2b2)2=0,

解得a=b,

故tan∠ABC===.

二、填空题(每小题5分,共20分)

6.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=,点O是△ABC外一点,OA=4,OB=2,则平面四边形OACB面积的最大值是________. 

【解题指导】利用余弦定理,设∠AOB=α,设AC=BC=m,则AB=m.由余弦定理把m表示出来,利用四边形OACB面积为S=S四边形OACB=4sin α+S△ABC=4sin α+.转化为三角函数问题求解最值.

【解析】△ABC为等腰直角三角形,

因为OA=2OB=4,不妨设AC=BC=m,角O为α,

则AB=m.

由余弦定理,42+22-2m2=16cos α,

所以m2=10-8cos α.

所以S四边形OACB=4sin α+S△ABC=4sinα+=4sinα-4cos α+5= 4sin+5≤4+5.

当α=π时取到最大值5+4.

答案:5+4

7.(2019·丹东高一检测)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,若sin B=,AD=7,则sin ∠ADB=__________;AB=__________. 

【解析】记∠BAD=α,则由∠C=90°得cos 2α=sin B=,

cos 2α=2cos 2α-1=,所以cos α=,

所以sin ∠ADB=sin ∠ADC=cos ∠DAC=cos α=,又AD=7,

所以sin ∠ADC=,即=,AC=,

又sin B=,AB==×=15.

答案:　15

8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,=,则b+2c的最大值等于________. 

【解析】原等式可化为=,整理,得b2+c2-a2=bc,

故cos A==⇒A=.

因为===2⇒b+2c=2sin B+4sin C=2sin B+4sin=4sin B+2cos B

=2sin(B+θ),

其中θ为锐角,tan θ=.

因为B∈,

故当B+θ=时,b+2c取得最大值为2.

答案:2

9.在△ABC中,点D在AC边上,cos∠ABC=-,AB=,BC=BD=1,则∠ADB= ________. 

【解题指导】在△ABC中由余弦定理可得AC=2,令AD=x,则DC=2-x.然后在△ADB和△CDB中分别由余弦定理的推论得到cos∠ADB和cos∠CDB,由

cos∠ADB+cos∠CDB=0可求得x=.进而可得cos∠ADB=-,于是得到

∠ADB=.

【解析】在△ABC中由余弦定理可得AC2=()2+12-2××1×=12,

所以AC=2.设AD=x,则DC=2-x.

在△ADB和△CDB中分别由余弦定理的推论得

cos∠ADB==,cos∠CDB==,

由题意得∠ADB+∠CDB=π,

所以cos∠ADB+cos∠CDB=0,

所以+=0,

解得x=.所以cos∠ADB==-,

又0<∠ADB<π,

所以∠ADB=π.

答案:π

三、解答题(每小题10分,共30分)

10.已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2).

(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;

(2)若m⊥p,边长c=2,角C=,求△ABC的面积.

【解析】(1)因为m∥n,所以asin A=bsin B,

即a·=b·,

其中R是△ABC外接圆半径,所以a=b.

所以△ABC为等腰三角形.

(2)由题意知m·p=0,

即a(b-2)+b(a-2)=0.

所以a+b=ab.

由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,

即(ab)2-3ab-4=0.

所以ab=4(舍去ab=-1),

所以=absin C=×4×sin=.

11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且2sin2(B+C)-3cos A=0.

(1)求角A的大小.

(2)若B=,a=2,求边长c.

【解析】(1)因为A+B+C=π,2sin2(B+C)-3cos A=0,

所以2sin2A-3cos A=0,2(1-cos2A)-3cos A=0,

所以2cos2A+3cos A-2=0,

即(2cos A-1)(cos A+2)=0.

因为cos A∈(-1,1),

所以cos A=,

因为A∈(0,π),所以A=.

(2)sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B

=×+×=.

在△ABC中,由正弦定理得=,

所以=,

解得c=+.

12.如图△ABC中,点D在BC边上,满足AB=3,BD=,sin∠BAC=,且·=0.

(1)求AD的长;

(2)求cos C.

【解题指导】(1)通过向量的数量积,判断垂直关系,求出cos∠BAD的值,在△ABD中,由余弦定理求AD的长;

(2)在△ABD中,由正弦定理,求出sin∠ADB,通过三角形是直角三角形,即可求cos C.

【解析】(1)因为·=0,所以AC⊥AD,

所以sin∠BAC=sin=cos∠BAD,

因为sin∠BAC=,所以cos∠BAD=.

在△ABD中,由余弦定理可知BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD,

即AD2-8AD+15=0,

解得AD=5或AD=3.

由于AB>AD,所以AD=3.

(2)在△ABD中,由正弦定理可知=,

又由cos∠BAD=,可知sin∠BAD=,

所以sin∠ADB==,

因为∠ADB=∠DAC+∠C,∠DAC=,cos C=.