高中数学人教版新课标A必修11.3.2奇偶性学案设计

1．3.2　奇偶性

授课提示：对应学生用书第27页

[基础认识]

知识点　奇偶性

在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象：美丽的蝴蝶，盛开的花朵，六角形的雪花晶体，建筑物和它在水中的倒影……一些函数图象也有很好的对称性，本节我们从图形和数量关系两方面来研究函数图象的对称性．

观察下列函数图象：

(1) 各个图象有怎样的对称性？

提示：它们都关于y轴对称．

(2) 观察一对关于y轴对称的点的坐标有什么关系？

提示：若点(x，f(x))在函数图象上，则相应的点(－x，f(x))也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等.

　(3)你能从函数y＝x2的图象上任意两点的关系上说明图象为什么关于y轴对称吗？

提示：对于R内任意的一个x，都有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，即图象上总存在任意的两点(x，f(x))，(－x，f(x))关于y轴对称．

(4)观察函数f(x)＝x和f(x)＝的图象(如图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？

提示：定义域关于原点对称，图象关于原点对称.

　知识梳理　1.奇偶函数的定义

(1)偶函数的定义

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．

(2)奇函数的定义

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

2．奇偶函数图象特点

(1)奇函数的图象关于原点对称；

(2)偶函数的图象关于y轴对称．

[自我检测]

1．函数f(x)＝|x|＋1是(　　)

A．奇函数　　　　　　　　 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数  D．非奇非偶函数

解析：函数定义域为R，f(－x)＝|－x|＋1＝f(x)，

所以f(x)是偶函数．

答案：B

2．函数f(x)＝x2＋的奇偶性为(　　)

A．奇函数  B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数  D．非奇非偶函数

解析：函数f(x)的定义域为{x|x≥0}，不关于原点对称．

答案：D

3．f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝__________.

解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.

答案：0

授课提示：对应学生用书第28页

探究一　判断函数的奇偶性

　[阅读教材P35例5]判断下列函数的奇偶性：

(1) f(x)＝x4；(2) f(x)＝x5；(3) f(x)＝x＋；(4)f(x)＝.

题型：判断奇偶性

方法步骤：

第1步，判断定义域；

第2步，判断f(－x)与f(x)的关系；

第3步，结论．

[例1]　判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝2－|x|；

(2)f(x)＝＋；

(3)f(x)＝.

[解析]　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，

又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，

∴f(x)为偶函数．

(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，

关于原点对称，且f(x)＝0，

∴f(x)既是奇函数又是偶函数．

(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，显然不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．

方法技巧　函数奇偶性判断的方法

(1)定义法：

(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在选择、填空题中．

跟踪探究　1.判断下列函数的奇偶性

(1)f(x)＝x2(x2＋2)；

(2)f(x)＝x|x|.

解析：(1)∵x∈R，

∴－x∈R，

又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，

∴f(x)为偶函数．

(2)∵x∈R，∴－x∈R，

又∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数．

探究二　利用函数的奇偶性求函数值(参数)

[例2]　(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是定义在[2b－5,2b－3]上的奇函数，则f的值为(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C．1  D．无法确定

(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝__________.

[解析]　(1)由题意可知2b－5＋2b－3＝0，即b＝2.

又f(x)是奇函数，故f(－x)＋f(x)＝0，

所以2ax2＋2c＝0对任意x都成立，则a＝c＝0，

∴f＝＋2×＝＋1＝.

(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，

∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，

∴g(3)＝5.

又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.

[答案]　(1)B　(2)7

延伸探究　1.本例(1)的条件改为“f(x)＝ax2＋bx＋b＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数”，求f的值．

解析：由题意可知∴a＝，b＝0，

∴f(x)＝x2＋1，∴f＝＋1＝.

2．把本例(2)的条件“f(－3)＝－3”换为“f(d)＝10”，求f(－d)的值．

解析：令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，易知g(x)为奇函数，∴f(d)＝g(d)＋2＝10，即g(d)＝8.

所以f(－d)＝g(－d)＋2＝－g(d)＋2＝－8＋2＝－6.

方法技巧　利用奇偶性求参数的常见类型及策略

(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．

(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解．

跟踪探究　2.已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝__________.

解析：当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x.

又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x2＋x，

即ax2＋x＝x2＋x，∴a＝1.

答案：1

探究三　利用函数的奇偶性求解析式

[例3]　已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x.

(1)求出函数f(x)在R上的解析式；

(2)画出函数f(x)的图象．

[解析]　(1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，

则f(0)＝0.

当x＜0时，－x＞0.

∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]

＝－x2－2x.

综上，f(x)＝

(2)f(x)的图象如图所示．

方法技巧　利用奇偶性求解析式的方法

首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．

跟踪探究　3.已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式．

解析：设x<0，则－x>0，

∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1.

∴f(－x)＝x2－x－1.

∵函数f(x)是偶函数，

∴f(－x)＝f(x)．

∴f(x)＝x2－x－1.

∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x－1.

授课提示：对应学生用书第29页

[课后小结]

1．奇偶函数的定义

对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数．

2．奇偶函数的性质

(1)函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称．

(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．

(3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.

3．奇偶性的判断方法

判断函数奇偶性时，需先依据解析式求出定义域，在定义域关于原点对称的前提下，判断解析式是否满足f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)．

[素养培优]

　函数奇偶性判断题的求解误区

下列说法正确的是(　　)

A．f(x)＝x3＋是奇函数

B．f(x)＝|x－2|是偶函数

C．f(x)＝是奇函数

D．f(x)＝0，x∈[－6,6)既是奇函数又是偶函数

易错分析：对于选项C，易忽视函数的定义域，将其化简为f(x)＝x致误；对于选项D，易忽视定义域关于原点不对称，只看解析式致误．

自我纠正：f(x)＝x3＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且满足f(－x)＝－f(x)，所以是奇函数，A正确；f(x)＝|x－2|的图象是由f(x)＝|x|的图象向右平移了两个单位得到的，已经不关于y轴对称，所以B不正确；f(x)＝的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，函数不具有奇偶性，C不正确；

f(x)＝0，x∈[－6,6)的定义域不关于原点对称，所以f(x)在[－6,6)是非奇非偶函数，所以D不正确．

答案：A