高中数学人教版新课标A必修12.2.1对数与对数运算第2课时学案设计

第2课时　对数的运算

授课提示：对应学生用第45页

[基础认识]

知识点一　对数的运算性质

(1)我们知道am＋n＝am·an，那么loga(M·N)＝logaM·logaN正确吗？举例说明．

提示：不正确．例如log24＝log2(2×2)＝log22·log22＝1×1＝1，而log24＝2.

(2)你能推出loga(MN)(M>0，N>0)的表达式吗？

提示：能．令am＝M，an＝N，

∴MN＝am＋n.

由对数的定义知logaM＝m，logaN＝n，loga(MN)＝m＋n，∴loga(MN)＝logaM＋logaN.　　　

　知识梳理　若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，

(2)loga＝logaM－logaN，

(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．

知识点二　换底公式

　(1)①log28；②log232；③log832各为何值？

提示：①log28＝3；②log232＝5；③log832＝log88＝.

(2) log832＝成立吗？

提示：成立．　　　

　知识梳理　1.若c>0且c≠1，则logab＝(a>0，且a≠1，b>0)．

2．换底公式常用推论

loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；

logambn＝logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；

logab·logba＝1(a>0，b>0，a≠1，b≠1)；

logab·logbc·logcd＝logad(a>0，a≠1，b>0，b≠1，c>0，c≠1，d>0)．

[自我检测]

1．计算：log62＋log63＝(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．0

C．－1  D．2

解析：log62＋log63＝log6(2×3)＝log66＝1.

答案：A

2．log29·log34＝(　　)

A.  B.

C．2  D．4

解析：log29·log34＝·＝·＝4.

答案：D

3.＝__________.

解析：＝log39＝log332＝2.

答案：2

授课提示：对应学生用书第46页

探究一　对数运算性质的应用

　[阅读教材P65例4]求下列各式的值：

(1)log2(47×25)；(2)lg.

题型：对数化简求值

[例1]　计算下列各式的值：

(1)lg－lg＋lg；

(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；

(3).

[解析]　(1)原式＝(5lg 2－2lg 7)－·lg 2＋(2lg 7＋lg 5)

＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5

＝lg 2＋lg 5

＝(lg 2＋lg 5)

＝lg 10＝.

(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2

＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2

＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.

(3)原式＝

＝

＝

＝.

方法技巧　解决对数运算的常用方法

解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算性质．常用方法有：

(1)将真数化为“底数”“已知对数的数”的幂的积，再展开；

(2)将同底数的对数的和、差、倍合并；

(3)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.

跟踪探究　1.计算：(1)2log122＋log123；(2)lg 500－lg 5；

(3)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求lg.

解析：(1)原式＝log1222＋log123＝log124＋log123＝log1212＝1.

(2)原式＝lg＝lg 100＝lg 102＝2lg 10＝2.

(3)∵lg＝lg 45＝lg(5×9)＝(lg 5＋lg 9)＝＝(1－lg 2＋2lg 3)，

又∵lg 2＝0.301 0，

lg 3＝0.477 1，

∴lg ＝(1－0.301 0＋2×0.477 1)＝0.826 6.

探究二　换底公式的应用

[例2]　计算：

(1)lg 20＋log10025；

(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52).

[解析]　(1)lg 20＋log10025＝1＋lg 2＋＝1＋lg 2＋lg 5＝2.

(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52)＝log25·(1＋1＋1)log52＝·3＝13.

方法技巧　换底公式的应用技巧

(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．

(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．

跟踪探究　2.计算(log43＋log83)×.

解析：原式＝×

＝×＋×

＝＋＝.

探究三　对数的综合应用

　[阅读教材P66例5]

题型：对数的应用

[例3]　(1)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝2 000(e为自然对数的底)．(ln 3≈1.099)，当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．

(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)

[解析]　(1)因为v＝ln2 000

＝2 000·ln，

所以v＝2 000·ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)．

故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.

(2)因为18b＝5，所以b＝log185.

所以log3645＝＝

＝＝

＝＝

＝.

延伸探究　1.若本例(2)条件不变，如何求log1845(用a，b表示)?

解析：因为18b＝5，所以log185＝b，所以log1845＝log189＋log185＝a＋b.

2．若将本例(2)条件“log189＝a,18b＝5”改为“log94＝a,9b＝5”，则又如何求解呢？

解析：因为9b＝5，所以log95＝b.

所以log3645＝＝

＝＝.

方法技巧　解对数应用题的步骤

授课提示：对应学生用书第47页

[课后小结]

1．在应用对数运算性质解题时，要保证每个对数式都有意义，避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式上的错误．

2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法：

(1)“合”：将同底的对数的和(差)合为积(商)的对数；

(2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底数的对数的和(差)．

3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．

4．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．

[素养培优]

　对数运算中忽视隐含条件致误

已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则的值为__________．

易错分析：在对数运算中，易忽视隐含条件真数大于0致误．

自我纠正：因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，即(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y，所以＝1或＝4.

由已知等式知，x>0，y>0，x－2y>0，而当＝1时，x－2y<0，此时lg(x－2y)无意义，所以＝1不符合题意，应舍去；

当＝4时，将x＝4y代入已知条件，符合题意，所以＝4.

答案：4