高中数学2.2.2对数函数及其性质第2课时导学案

第2课时　对数函数及其性质的应用

授课提示：对应学生用书第50页

探究一　对数值的大小比较

　[阅读教材P72例8]比较下列各组数中两个值的大小：

(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)．

题型：比较大小

[例1]　比较下列各组数的大小．

(1)log3.10.5与log3.10.2；

(2)log8与log4；

(3)log56与log65；

(4)loga3.2与loga3.7(a＞0，且a≠1)．

[解析]　(1)因为y＝log3.1x在(0，＋∞)上是增函数，

所以log3.10.5＞log3.10.2.

(2)因为y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，

所以log8＜log4.

(或log8＝－3，log4＝－2，则由－3＜－2知log8＜log4)

(3)因为log56＞log55＝1，log65＜log66＝1.

所以log56＞log65.

(4)当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，

所以loga3.2＜loga3.7；

当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，

所以loga3.2＞loga3.7.

方法技巧　对数值大小比较的两种情况

(1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论．

(2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间变量．

①如果不同底同真数，可利用图象的高低与底数的大小关系解决，或利用换底公式化为同底的再进行比较．

②若底数、真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较．

跟踪探究　1.已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　　)

A．a>b>c　　　　　　 B．a>c>b

C．b>a>c  D．c>a>b

解析：因为a＝log23.6>1,0<c＝log43.6<1,1>c＝log43.6>b＝log43.2，故选B.

答案：B

探究二　解对数不等式

[例2]　(1)已知loga>1，求a的取值范围；

(2)已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范围．

[解析]　(1)由loga>1，得loga>logaa.

①当a>1时，有a<，此时无解；

②当0<a<1时，有<a，从而<a<1.

∴a的取值范围是.

(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，

∴由log0.7(2x)<log0.7(x－1)，

得解得x>1.

∴x的取值范围为(1，＋∞)．

方法技巧　常见的对数不等式的三种类型

(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论．

(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．

(3)形如logax>logbx的不等式，可利用图象求解．

跟踪探究　2.若－1<loga<1(a>0，且a≠1)，求实数a的取值范围．

解析：∵－1<loga<1，∴loga<loga<logaa.

当a>1时，<<a，则a>；

当0<a<1时，>>a，则0<a<.

故实数a的取值范围是∪.

探究三　对数函数性质的综合应用

[例3]　(1)已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为(　　)

A．(0,1)  B．(1,2)

C．(0,2)  D．[2，＋∞)

(2)函数f(x)＝log(x2＋2x＋3)的值域是__________．

[解析]　(1)∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，且y＝2－ax在[0,1]上是减函数，

∴

即∴∴1＜a＜2.

(2)f(x)＝log(x2＋2x＋3)＝log[(x＋1)2＋2]，

因为(x＋1)2＋2≥2，

所以log[(x＋1)2＋2]≤log2＝－1，所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]．

[答案]　(1)B　(2)(－∞，－1]

延伸探究　1.求本例(2)的函数f(x)在[－3,1]上的值域．

解析：∵x∈[－3,1]，

∴2≤x2＋2x＋3≤6，

∴log6≤log(x2＋2x＋3)≤log2，

即－log26≤f(x)≤－1，

∴f(x)的值域为[－log26，－1]．

2．若本例(2)中的函数在(－∞，a]上单调递增，求a的取值范围．

解析：由复合函数的单调性可知，

函数g(x)＝x2＋2x＋3在(－∞，a]上单调递减，所以a≤－1，即实数a的取值范围为(－∞，－1]．

方法技巧　1.已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．

2．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．

授课提示：对应学生用书第51页

[课后小结]

1．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性．若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和0<a<1两类分别求解．

2．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．

[素养培优]

　换元法在求函数值域中的应用

设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，≤x≤4.若t＝log2x.

(1)求t的取值范围．

(2)求f(x)的值域．

思路探究：(1)利用函数的单调性求解；(2)利用t＝log2x，≤x≤4，将所求函数的值域问题转化为二次函数的值域问题求解．

解析：(1)因为t＝log2x，≤x≤4，所以log2≤t≤log24，即－2≤t≤2.

(2)函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，

即f(x)＝(log2x)2＋3log2x＋2，又t＝log2x，则

y＝t2＋3t＋2＝2－(－2≤t≤2)．

当t＝－时，即log2x＝－，f(x)min＝－；

当t＝2时，即log2x＝2，x＝4时，f(x)max＝12.

综上可得，函数f(x)的值域为.