人教版新课标A必修11.1.3集合的基本运算第2课时导学案

第2课时　补集及综合应用

授课提示：对应学生用书第11页

[基础认识]

知识点　全集与补集

　(1)方程(x－2)(x2－3)＝0的解集在有理数范围内与在实数范围内有什么不同？通过这个问题你得到什么启示？

提示：方程在有理数范围内的解集为{2}，在实数范围内的解集为{2，，－}，数学学科中很多问题都是在某一范围内进行研究．如本问题中在有理数范围内求解与在实数范围内求解是不同的．类似这些给定的集合就是全集．

(2)U＝{全班同学}、A＝{全班参加足球队的同学}、B＝{全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？

提示：U＝A∪B，集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合．　　　

　知识梳理　1.如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.

2．补集

思考：对于数集来说，全集就是实数集R吗？

提示：不一定．由全集的定义可知，我们所研究的问题并不一定是实数集，也有可能为整数集、自然数集或有理数集等．

[自我检测]

1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁UA＝(　　)

A．{1,2}　　　　　　　 B．{3,4,5}

C．{1,2,3,4,5}  D．∅

解析：∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁UA＝{3,4,5}．

答案：B

2．已知全集U＝R，A＝{x|x＜2}，则∁UA等于(　　)

A．{x|x＞2}  B．{x|x＜2}

C．{x|x≥2}  D．{x|x≤2}

解析：∵全集为R，A＝{x|x＜2}，

∴∁UA＝{x|x≥2}．

答案：C

3．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁AB＝{5}，则实数m＝__________.

解析：∵∁AB＝{5}，

∴5∈A，

∴m＝5.

答案：5

授课提示：对应学生用书第12页

探究一　全集与补集

　[阅读教材P11例8]设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，求∁UA，∁UB.

题型：补集的运算

方法步骤：第1步　先确定全集；

第2步　利用数轴或Venn图求解．

[例1]　已知全集U，A＝{x|2<x≤3}，∁UA＝{x|x>3}，B＝{x|4≤x＜6}，求∁UB.

[解析]　因为A＝{x|2<x≤3}，∁UA＝{x|x>3}，如数轴：

所以U＝A∪(∁UA)＝{x|x>2}．

所以∁UB＝{x|2<x<4，或x≥6}．

方法技巧　1.解答本题，依据A∪(∁UA)＝U求全集U是关键环节．

2．求补集运算， 一是利用补集定义或性质；二是借助于Venn图或数轴来求解．

跟踪探究　1.已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜1或x＞2}，集合B＝{x|x＜－3或x≥1}，求∁RA，∁RB.

解析：借助数轴，由图可知：

∁RA＝{x|1≤x≤2}，∁RB＝{x|－3≤x＜1}．

探究二　交、并、补的综合运算

　[阅读教材P12习题1.1A组10题]已知集合A＝{x|3≤x＜7}，集合B＝{x|2＜x＜10}，求∁R(A∪B)，∁R(A∩B)，A∩(∁RB)．

　题型：集合的混合运算

[例2]　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，∁U(A∪B)．

[解析]　如图所示：

∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，

U＝{x|x≤4}，

∴∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，

∁UB＝{x|x<－3，或2<x≤4}，

A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x＜3}．

故(∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，

A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}，

∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．

方法技巧　解决集合交、并、补运算的技巧

(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．

(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．

跟踪探究　2.(1)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝(　　)

A．{1,3}　　　　　　　 B．{3,7,9}

C．{3,5,9}  D．{3,9}

(2)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁UB)＝(　　)

A．{3}  B．{4}

C．{3,4}  D．∅

解析：(1)由Venn图知A＝{3,9}，

故选D.

(2)因为U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，

所以A∪B＝{1,2,3}，又因为B＝{1,2}，所以{3}⊆A⊆{1,2,3}，

所以∁UB＝{3,4}，A∩(∁UB)＝{3}．

答案：(1)D　(2)A

探究三　与补集有关的参数值的求解

[例3]　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围．

[解析]　法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}．

因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，

所以－m≤－2，即m≥2，

所以m的取值范围是m≥2.

法二：(集合间的关系)：由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A，

又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，

结合数轴：

得－m≤－2，即m≥2.

延伸探究　1.将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？

解析：由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x<－m}，又(∁UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4.

2．将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？

解析：由已知A＝{x|x≥－m}，

∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}．

又(∁UB)∪A＝R，

所以－m≤－2，

解得m≥2.

方法技巧　由集合的补集求解参数的方法

(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解．

(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解．

跟踪探究　3.已知全集U＝R，集合A＝{x|x－1<0}，B＝{x|x>a}，且∁UA⊆B，求实数a的取值范围．

解析：∵A＝{x|x<1}，U＝R，

∴∁UA＝{x|x≥1}，

∵∁UA⊆B，如图所示：

∴a<1.

∴实数a的取值范围为{a|a<1}．

授课提示：对应学生用书第13页

[课后小结]

1．全集与补集互相依存的关系

(1)全集并非含有任何元素的集合，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集，因此，全集因研究问题而异．

(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．

(3)∁UA的数学意义包括两个方面：一是A⊆U；二是∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．

2．补集思想：做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.

[素养培优]

　补集思想的应用

　已知集合A＝{y|y＞a2＋1，或y＜a}，B＝{y|2≤y≤4}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．

解析：因为A＝{y|y＞a2＋1或y＜a}，B＝{y|2≤y≤4}，所以不妨先求当A∩B＝∅时a的取值范围，如图所示：

由题意可得

解得a≤－或≤a≤2.

即当A∩B＝∅时，a的取值范围为{a|a≤－，或≤a≤2}，

故A∩B≠∅时，a的取值范围为{a|－＜a＜，或a＞2}．

点评：对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确、难以从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，往往能化难为易，化隐为显，从而将问题解决．这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现．