2021学年1.1.3集合的基本运算第1课时学案

1．1.3　集合的基本运算

第1课时　并集与交集

授课提示：对应学生用书第9页

[基础认识]

知识点一　并集

　已知下列集合：A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x∈N|1≤x≤4}，C＝{－1,1,2,3,4}．

(1)集合A与集合B各有几个元素？

提示：A＝{－1,1}，B＝{1,2,3,4}，即集合A有2个元素，集合B有4个元素．

(2)若将集合A与集合B的元素放在一起，构成一个新的集合是什么？

提示：{－1,1,2,3,4}．

(3)集合C中的元素与集合A，B有什么关系？

提示：集合C中元素属于集合A或属于集合B.　　　

　知识梳理　1.并集的定义与表示

2.并集的性质

(1)A∪B＝B∪A，即两个集合的并集满足交换律．

(2)A∪A＝A，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身．

(3)A∪∅＝∅∪A＝A，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身．

(4)A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)，即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集．

(5)若A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立，即任何集合同它的子集的并集，等于这个集合本身．

知识点二　交集

　已知A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，C＝{3,4}．

(1)集合A与集合B有公共元素吗？它们组成的集合是什么？

提示：有．{3,4}．

(2)集合C中的元素与集合A，B有什么关系？

提示：集合C中的元素既属于集合A又属于集合B.　　　

　知识梳理　1.交集的定义与表示

2.交集的性质

(1)A∩B＝B∩A，即两个集合的交集满足交换律．

(2)A∩A＝A，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身．

(3)A∩∅＝∅∩A＝∅，即任何集合与空集的交集等于空集．

(4)A∩B⊆A，A∩B⊆B，即两个集合的交集是其中任一集合的子集．

(5)若A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立，即若A是B的子集，则A，B的公共部分是A.

[自我检测]

1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝(　　)

A．{0,1}　　　　　　　　 B．{－1,0,2}

C．{－1,0,1,2}  D．{－1,0,1}

解析：M∪N＝{－1,0,1}∪{0,1,2}＝{－1,0,1,2}．

答案：C

2．已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝(　　)

A．∅  B．{2}

C．{0}  D．{－2}

解析：∵B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，又A＝{－2,0,2}，

∴A∩B＝{2}．

答案：B

3．设集合M＝{x|x＞1}，集合N＝{x|x＜2}，则M∪N＝__________，M∩N＝__________.

解析：由数轴

得M∪N＝R，M∩N＝{x|1＜x＜2}．

答案：R　{x|1＜x＜2}

授课提示：对应学生用书第10页

探究一　并集的运算

　[阅读教材P8思考]设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B.

题型：并集

[例1]　(1)已知集合A＝{1,3,5}，集合B＝{2,4,6}，那么A∪B＝__________.

(2)已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞4}，则M∪N等于(　　)

A．{x|x＜－5，或x＞－3}　　 B．{x|－5＜x＜4}

C．{x|－3＜x＜4}  D．{x|x＜－3，或x＞5}

[解析]　(1)由并集的概念可知A∪B＝{1,2,3,4,5,6}；

(2)借助数轴(如图)

∴M∪N＝{x|x＜－5，或x＞－3}．

[答案]　(1){1,2,3,4,5,6}　(2)A

方法技巧　并集的运算技巧：

(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．

(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但是要注意含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．

跟踪探究　1.已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q＝(　　)

A．{x|－1≤x＜3}  B．{x|－1≤x≤4}

C．{x|x≤4}  D．{x|x≥－1}

解析：在数轴上表示两个集合，如图：

答案：C

探究二　交集

　[阅读教材P12习题1.1A组6题]设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，求A∪B，A∩B.

题型：并集、交集的运算

[例2]　(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　)

A．{x|0≤x≤2}  B．{x|1≤x≤2}

C．{x|0≤x≤4}  D．{x|1≤x≤4}

(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)

A．5  B．4

C．3  D．2

解析：(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}．

如图，

故A∩B＝{x|0≤x≤2}．

(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，

∴8∈A,14∈A，

∴A∩B＝{8,14}，故选D.

答案：(1)A　(2)D

方法技巧　求交集运算应关注两点

(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合．

(2)利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性．

跟踪探究　2.已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝(　　)

A．{0,2}  B．{1,2}

C．{0}  D．{－2，－1,0,1,2}

解析：由题意知A∩B＝{0,2}．

答案：A

3．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是(　　)

A．－1<a≤2  B．a>2

C．a≥－1  D．a>－1

解析：因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示：

易知a>－1.

答案：D

探究三　并集、交集性质的应用

[例3]　已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．

[解析]　(1)当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.

(2)当B≠∅时，要使A∪B＝A，

只需解得2≤k≤.

综合(1)(2)可知k≤.

延伸探究　1.把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．

解析：由A∩B＝A可知A⊆B.

所以，即所以k∈∅.

所以k的取值范围为∅.

2．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3<x≤5}”，求k的值．

解析：由题意可知，解得k＝3.

所以k的值为3.

方法技巧　1.此类问题常借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．

2．当集合的元素离散时，常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解，但求解后要代入检验是否符合题意．

跟踪探究　4.A＝{x|x≤－1，或x≥3}，B＝{x|a<x<4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是(　　)

A．3≤a<4  B．－1<a<4

C．a≤－1  D．a<－1

解析：利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1.

答案：C

5．若集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋9}，A∪B＝B，则m的取值范围是__________．

解析：∵A∪B＝B，∴A⊆B，如图所示，

∴解得－2≤m≤－1.

答案：－2≤m≤－1

授课提示：对应学生用书第11页

[课后小结]

1．在解决有关集合运算的题目时，关键是准确理解题目中符号语言的含义，善于将其转化为文字语言．

2．集合的运算可以用Venn图帮助思考，实数集合的交集、并集运算可借助数轴求解，体现了数形结合思想的应用．

3．对于给出集合是否为空集，集合中的元素个数是否确定，都是常见的讨论点，解题时要注意分类讨论思想的应用．

[素养培优]

　转化思想在集合运算中的应用

已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C.

解析：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，

∴A＝{1,2}．

又A∪B＝A，∴B⊆A.

①若B＝∅，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0.

②若B≠∅，则B＝{1}或B＝{2}．

当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；

当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.

综上可知，适合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1,2}．