高中人教版新课标A2.3 幂函数学案

2.3　幂函数

授课提示：对应学生用书第52页

[基础认识]

知识点一　幂函数的概念

　教材P77的5个问题中的函数有什么共同特征？

提示：问题中涉及到的函数，都是形如y＝xα的函数，其中x是自变量，α是常数．　　　

　知识梳理　一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

知识点二　幂函数的图象与性质

　(1)在同一坐标系中，试作出幂函数y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的图象．

提示：如图所示：

(2)在第一象限，图象有何特点？

提示：都过点(1,1)；只有y＝x－1随x增大而减小，但不与x轴相交，其他的都随x增大而增大．

(3)这几个函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？

提示：y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数；y＝x2是偶函数；y＝x是非奇非偶函数．　　　

知识梳理　

[自我检测]

1．下列函数中，不是幂函数的是(　　)

A．y＝2x　　　　　　　　 B．y＝x－1

C．y＝  D．y＝x2

解析：由幂函数定义知y＝2x不是幂函数，而是指数函数．

答案：A

2．函数y＝x3的图象关于__________对称．

解析：函数y＝x3为奇函数，其图象关于原点对称．

答案：原点

授课提示：对应学生用书第53页

探究一　幂函数的概念

[例1]　(1)下列函数为幂函数的是(　　)

A．y＝2x3－1　　　　　 B．y＝

C．y＝  D．y＝2x2

(2)若函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为幂函数，则m＝__________.

[解析]　(1)幂函数的表达式y＝xα(α∈R)的要求比较严格，系数是1，底数是x，α∈R为常数，选项A、B、D都是幂函数类型的函数，选项C中y＝x－2是幂函数．

(2)令m2－m－1＝1，

∴m＝2或m＝－1.

当m＝2时，函数y＝x－13，

当m＝－1时，函数y＝x2，都是幂函数．

[答案]　(1)C　(2)2或－1

方法技巧　判断一个函数是否为幂函数的方法

判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.

跟踪探究　1.函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．

解析：根据幂函数的定义得

m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1.

当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；

当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．

故f(x)＝x3.

探究二　幂函数的图象

[例2]　如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为(　　)

A．－2，－，，  B．2，，－，－2

C．－，－2,2，  D．2，，－2，－

[解析]　考虑幂函数在第一象限内的增减性．注意当n＞0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n＜0时看|n|的大小．

根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n＞0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故c1的n＝2，c2的n＝，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n＝－，曲线c4的n＝－2，故选B.

[答案]　B

方法技巧　解决幂函数图象问题应把握的两个原则

(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．

(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．

跟踪探究　2.如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)

A．－1＜n＜0＜m＜1  B．n＜－1,0＜m＜1

C．－1＜n＜0，m＞1  D．n＜－1，m＞1

解析：在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示．根据点低指数大，有0＜m＜1，n＜－1.

答案：B

探究三　幂函数性质的综合应用

[例3]　(1)比较下列各组中幂值的大小．

①30.8,30.7；②0.213,0.233；④，，.

(2)探讨函数f(x)＝的单调性.

[解析]　(1)①∵函数y＝3x是增函数，且0.8＞0.7，

∴30.8>30.7.

②∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233.

③∵函数是增函数，且2＞1.8，∴.

又∵y＝1.8x是增函数，且>，

∴.

④

∵1.2>>1.1，且y＝x在[0，＋∞)上单调递增，

∴

(2)f(x)＝的定义域为(0，＋∞)．

任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，

则

＝－

＝

＝.

因为x2>x1>0，所以x1－x2<0，且·(＋)>0，

于是f(x2)－f(x1)<0，

即f(x2)<f(x1)，

所以f(x)＝x－在区间(0，＋∞)上是减函数．

延伸探究　1.本例(2)若增加条件“”求实数a的取值范围．

解析：因为在区间(0，＋∞)内是减函数．

所以等价于

解得<a<.

所以实数a的取值范围是.

2．把本例(1)的各组数据更换如下，再比较其大小关系．

(1)0.5与0.5；(2)－1与－1；

(3)

解析：(1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又>，所以0.5>0.5.

(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，

又－<－，所以－1>－1.

(3)因为函数y1＝x为R上的减函数，又>，

所以.

又因为函数y2＝x在(0，＋∞)上是增函数，且>，

所以，

所以.

方法技巧　比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同．若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小．

授课提示：对应学生用书第54页

[课后小结]

1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．

幂函数与指数函数形同而实异，幂函数的自变量在底数位置上，指数函数的自变量在指数位置上．

2．已知幂函数的图象和性质求解析式时，常用待定系数法．

3．幂函数y＝xα在第一象限的图象特征．①当α＞1时，图象过点(0,0)，(1,1)，递增，如y＝x2；②当0＜α＜1时，图象过点(0,0)，(1,1)，递增，如y＝；③当α＜0时，图象过点(1,1)，递减，且以两坐标轴为渐近线，如y＝x－1，y＝等．

4．比较大小．①若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；②若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；③若指数与底数都不同，则考虑插入中间数．

[素养培优]

　幂函数的性质及应用

已知幂函数y＝x3m－9(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围．

思路探究：(1)先由f(x)在(0，＋∞)的单调性，求出参数m的取值范围，再由f(x)的奇偶性舍根，然后借助幂函数y＝xα的单调性解不等式．

(2)由f(x1)<f(x2)得x1与x2的大小关系时，如果f(x)的单调区间不止一个，那么需要对x1，x2的范围进行讨论．这时可借助函数y＝f(x)的图象，直观地进行分析，得出结果．

解析：∵函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上单调递减，

∴3m－9＜0，

解得m＜3.

又m∈N＋，

∴m＝1,2.

又函数图象关于y轴对称，

∴3m－9为偶数，故m＝1.

∴有.

又∵y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)均是减函数，但是在整个定义域内不单调．

∴分类讨论如下：

(1)当a＋1<0<3－2a，即a<－1时，有；

(2)当a＋1<0,3－2a<0时，由，得a＋1>3－2a，

即a满足此时无解.

(3)当a＋1>0,3－2a>0时，由，得a＋1>3－2a.

即a满足

解得<a<.

综上所述，a的取值范围是(－∞，－1)∪.