人教版新课标A必修12.1.1指数与指数幂的运算第2课时导学案

第2课时　指数幂及运算

授课提示：对应学生用书第35页

[基础认识]

知识点一　分数指数幂的意义

　牛顿是大家所熟悉的物理学家，你知道他在数学上的贡献吗？他在1676年6月13日写给莱布尼兹的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa…写成a2，a3，a4…，所以可将，，…写成a，a，…；将，，，…写成a－1，a－2，a－3…”．这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的扩充过程．

能否把，，写成下列形式：

＝a(a>0)；

＝b(b>0)；

＝c(c>0)．

提示：能．　　　

　知识梳理　1.规定正数的正分数指数幂的意义是：

a ＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．

2．规定正数的负分数指数幂的意义是：

a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．

3．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

知识点二　有理数指数幂的运算性质

　(1)整数指数幂的运算性质有哪些？

提示：①am·an＝am＋n；

②(am)n＝am·n；

③＝am－n(m＞n，a≠0)；

④(a·b)m＝am·bm.

(2)零和负整数指数幂是如何规定的？

提示：规定：a0＝1(a≠0)；00无意义，a－n＝(a≠0)．　　　

　知识梳理　1.有理数指数幂的运算性质

(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

2．无理数指数幂

一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

[自我检测]

1．等于(　　)

A．25　　　　　　　　　　 B.

C.    D.

解析：＝＝，故选B.

答案：B

2．已知a>0，则等于(　　)

A.   B.

C.  D．－

解析：＝＝.

答案：B

3．()4＋(－1)0＝__________.

解析：()4＋(－1)0＝m2＋1.

答案：m2＋1

授课提示：对应学生用书第36页

探究一　根式与分数指数幂的互化

[例1]　(1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)

(2)用分数指数幂的形式表示下列各式：

④法一：从外向里化为分数指数幂：

法二：从里向外化为分数指数幂：

[答案]　(1)C　(2)见解析

方法技巧　根式与分数指数幂的互化技巧

(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：，其中字母a要使式子有意义．

(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂．

跟踪探究　1.用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a＞0)：

(1)a3·；

(2)

探究二　利用分数指数幂求值

　[阅读教材P51例2]求值：

题型：分数指数幂求值

[例2]　计算下列各式：

方法技巧　利用指数幂的运算性质化简求值的方法

(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．

(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．

(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．

跟踪探究　2.计算下列各式(式中字母都是正数)：

探究三　指数幂运算中的条件求值

[例3]　已知a＋a－＝4，求下列各式的值：

(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.

[解析]　(1)将a＋a－＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.

(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.

延伸探究　1.在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．

解析：令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，

∴t2＋2＝194，即t2＝192，

∴t＝±8，即a－a－1＝±8.

2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．

解析：由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8×14＝±112.

方法技巧　解决条件求值的思路

(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．

(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．

授课提示：对应学生用书第37页

[课后小结]

1.＝a(a>0)可以实现分数指数幂与根式的互化，但要注意根指数是分数指数的分母．

2．在应用分数指数幂进行根式的计算时，应注意把根式统一化为分数指数幂的形式．当所求根式含有多重根号时，应由里向外用分数指数幂写出，然后再利用性质运算．

3．对于已知数值条件的化简求值问题，常利用“整体代入”的思想求解．

[素养培优]

　忽略运算性质的条件而致误

求的值．

易错分析：原式＝1－－－1＋213÷214

＝1－－(－1)－1＋2－1＝－2.

自我纠正：原式＝－1－(－1)－1＋2－1＝－.