高中数学人教版新课标A必修11.1.1集合的含义与表示第1课时学案设计

1．1　集合

1．1.1　集合的含义与表示

第1课时　集合的概念

授课提示：对应学生用书第1页

[基础认识]

知识点一　元素与集合的概念

如果说人生是一本书，那么，军训的生活便是书中最美丽的彩页；如果说人生是一台戏，那么，军训的生活便是戏中最精彩的一幕．的确，几天的军训是短暂的，但它给我们留下的美好回忆却是永恒的．

(1)军训的时候我们经常听到教官喊“集合”，请问这个集合是指全体同学还是个别同学呢？

提示：全体同学．

(2)如果教官喊“全体高个子同学集合”，你还去集合吗？

提示：不知道，有些同学很难判断自己到底是不是高个子，高个子没有统一的标准，这要看和谁比．　　　

　知识梳理　1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．

2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合．

3．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．

4．集合的相等：构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．

延伸探究　1.确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．

2．互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．

3．无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集合与3,2,1构成的集合是同一个集合．

知识点二　元素与集合的关系

　如果教官喊“一班的同学集合”，你会立即去集合吗？

提示：如果属于一班就会立即去集合，如果不属于一班，就不去集合．　　　

　知识梳理　1.属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.

2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.

3．常用数集及符号表示

[自我检测]

1．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．2

C．3   D．4

解析：由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．

答案：C

2．用“∈”或“∉”填空：

__________N；－3__________Z；__________Q；0__________N*；__________R.

答案：∉　∈　∉　∉　∈

3．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝__________.

解析：由题意可知a＋1＝4，即a＝3.

答案：3

授课提示：对应学生用书第2页

探究一　集合的基本概念

[例1]　考察下列每组对象，能构成集合的是(　　)

①中国各地的美丽乡村；

②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；

③不小于3的自然数；

④2018年感动中国人物．

A．③④　　　　　　　　 B．②③④

C．②③  D．②④

[解析]　①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.

[答案]　B

方法技巧　判断一组对象能否组成集合的标准

判断一组对象能否组成集合，关键是看这些元素是否具有确定性、互异性、无序性，如果条件满足就可以断定这些元素可以组成集合，否则不能组成集合．

跟踪探究　1.下列各项中，不可以组成集合的是(　　)

A．所有的正数   B．等于2的数

C．接近于0的数  D．不等于0的偶数

解析：选项C中接近于0的数不具有确定性，不可以组成集合．

答案：C

探究二　元素与集合的关系

[例2]　(1)设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是(　　)

A．0∈A  B．a∉A

C．a∈A  D．a＝A

(2)下列所给关系正确的个数是(　　)

①π∈R；②∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.

A．1  B．2

C．3  D．4

[解析]　(1)由元素与集合的关系可知，a∈A.

(2)①π∈R显然是正确的；②是无理数，而Q表示有理数集，∴∉Q，正确；③N*表示不含0的自然数集，∴0∉N*，③错误；④|－4|＝4∈N*，④错误，所以①②是正确的．

[答案]　(1)C　(2)B

方法技巧　判断元素与集合间关系的方法

判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．

跟踪探究　2.给出下列说法：

①R中最小的元素是0；

②若a∈Z，则－a∉Z；

③若a∈Q，b∈N*，则a＋b∈Q.

其中正确的个数为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确．

答案：B

探究三　集合中元素特性的应用

[例3]　已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．

[解析]　由题意可知，a＝1或a2＝a，

(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.

(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．

综上可知，实数a的值为0.

延伸探究　本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．

解析：由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1.

方法技巧　利用集合元素互异性求参数问题

(1)根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．

(2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．

跟踪探究　3.若集合A中有且仅有三个数1,0，a，若a2∈A，求a的值．

解析：若a2＝0，则a＝0，不符合集合中元素的互异性，所以a2≠0.若a2＝1，则a＝±1，由元素的互异性知a≠1，所以当a＝－1时适合．

若a2＝a，则a＝0或1，由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求．

综上可知，a＝－1.

授课提示：对应学生用书第3页

[课后小结]

1．判断一组对象的全体能否构成集合的依据是元素的确定性，若考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合．

2．集合中的元素具有三个特性：确定性、互异性、无序性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．

3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，用到分类讨论时，必须明确分类标准，才能做到不重不漏．

[素养培优]

　忽视集合中元素的互异性致误

已知集合A中含有两个元素为a和a2，若1∈A，则实数a的值为__________．

易错分析：(1)缺乏分类讨论的意识，看到1∈A，就想当然地认为a＝1，而忽视分类讨论；

(2)对元素的互异性缺乏理解，忽视对a＝1和a＝－1的检验致误．

自我纠正：根据题意知集合A中含有两个元素为a和a2，且1∈A，

所以a＝1或a2＝1，即a＝1或a＝－1.

当a＝1时，a2＝1，

不符合集合元素的互异性，

故a≠1.

当a＝－1时，集合A的元素是1和－1，

符合集合元素的互异性．

故a＝－1.

综上所述，a的值为－1.

答案：－1