人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用同步训练题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用同步训练题，共9页。


1．在疫情冲击下，地摊经济有利于缓解部分失业人群的燃眉之急，2020年5月底中央开始鼓励地摊经济，某地摊的日盈利y(单位：百元)与当天的平均气温x(单位：℃)之间有如下数据：
若y与x具有线性相关关系，则y与x的经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))必过的点为( )
A．(22，3) B．(22，5)
C．(24，3) D．(24，5)
2．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下，根据如表可得经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝8x＋11，则实数a的值为( )
A.34B．35
C．36D．37
3．已知两个随机变量x，y的取值如表，若x，y呈线性相关，且得到的经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，则( )
A.eq \(b,\s\up6(^))>0，4.5＝3.5eq \(b,\s\up6(^))＋eq \(a,\s\up6(^))B．eq \(b,\s\up6(^))<0，4.5＝3.5eq \(b,\s\up6(^))＋eq \(a,\s\up6(^))
C．eq \(b,\s\up6(^))>0，3＝4eq \(b,\s\up6(^))＋eq \(a,\s\up6(^))D．eq \(b,\s\up6(^))>0，3.5＝4.5eq \(b,\s\up6(^))＋eq \(a,\s\up6(^))
4．已知变量x与变量y的取值如表所示，且2.5A.eq \(y,\s\up6(^))＝0.8x＋2.3B．eq \(y,\s\up6(^))＝2x＋0.4
C．eq \(y,\s\up6(^))＝－1.5x＋8D．eq \(y,\s\up6(^))＝－1.6x＋10
5．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y(单位：千瓦·时)与气温x(单位：℃)之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：
由表中数据得经验回归方程：eq \(y,\s\up6(^))＝－2x＋eq \(a,\s\up6(^))，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为( )
A．56千瓦·时B．62千瓦·时
C．64千瓦·时D．68千瓦·时
6．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如表)，由最小二乘法求得经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9.
现发现表中有一个数据模糊看不清，则该数据为( )
A．68B．68.3
C．68.5D．70
7．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元).调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的经验回归方程：eq \(y,\s\up6(^))＝0.254x＋0.321.由经验回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
8．如图是一组数据(x，y)的散点图，经最小二乘估计公式计算，y与x之间的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋1，则eq \(b,\s\up6(^))＝________．
9．一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192，3246](单位：吨)，船员的人数5～32人，船员人数y关于吨位x的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝9.5＋0.0062x，
(1)若两艘船的吨位相差1000，求船员平均相差的人数．
(2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数．
10．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：
表1
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2012，z＝y－5得到下表2：
表2
(1)求z关于t的经验回归方程；
(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；
(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？
(附：对于经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，其中eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\(x,\s\up6(－))）2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－)))
[提能力]
11．(多选题)设某中学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)用最小二乘法建立的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，则下列结论中正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－)))
C．若该中学某个女生的身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该中学某个女生的身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg
12．(多选题)下列说法正确的是( )
A．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
B．某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学
C．回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好
D．在经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝0.1x＋10中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量多增加0.1个单位
13．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg/L)与消化系数如下表：
由此得经验回归方程的斜率是________(精确到0.01).
14．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：
小李这5天的平均投篮命中率为________；用经验回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．
15．下表给出的是某城市2015年至2018年，人均存款x(万元)，人均消费y(万元)的几组对照数据．
(1)试建立y关于x的经验回归方程；如果该城市2019年的人均存款为1.1万元，请根据经验回归方程预测2019年该城市的人均消费；
(2)计算R2＝1－eq \f(\i\su(i＝1,n,)（yi－\(y,\s\up6(^))i）2,\i\su(i＝1,n,)（yi－\(y,\s\up6(－))）2)，并说明经验回归方程的拟合效果．
附：回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\(x,\s\up6(－))）2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－)).
[战疑难]
16．2013年1月，北京经历了59年来雾霾天气最多的一个月．据气象局统计，北京市2013年从1月1日至1月30日这30天里有26天出现雾霾天气，《环境空气质量指数(AQI)技术规定(试行)》将空气质量指数分为六级，如表1：
表1
表2是某气象观测点记录的连续4天里AQI与当天的空气水平可见度y(单位：km)的情况．
表2
设x＝eq \f(M,100)，其中M为AQI，根据表2的数据，那么y关于x的经验回归方程为________________．
课时作业(十五)
1．解析：由表中数据，计算 eq \(x,\s\up9(－)) ＝ eq \f(1,5) ×(20＋22＋24＋21＋23)＝22，
eq \(y,\s\up9(－)) ＝ eq \f(1,5) ×(1＋3＋6＋2＋3)＝3，
所以y与x的经验回归方程必过样本中心点(22，3).故选A.
答案：A
2．解析： eq \(x,\s\up9(－)) ＝ eq \f(2＋3＋4＋5,4) ＝3.5， eq \(y,\s\up9(－)) ＝ eq \f(30＋a＋40＋50,4) ＝ eq \f(120＋a,4) .
则样本点的中心坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3.5，\f(120＋a,4))) ，
代入经验回归方程，得 eq \f(120＋a,4) ＝8×3.5＋11，
解得a＝36.故选C.
答案：C
3．解析：由y随着x的增大而增大，可得 eq \(b,\s\up9(^)) >0，又 eq \(x,\s\up9(－)) ＝4.5， eq \(y,\s\up9(－)) ＝3.5，∴3.5＝4.5 eq \(b,\s\up9(^)) ＋ eq \(a,\s\up9(^)) .故选D.
答案：D
4．解析：由表格中的数据可知，两个变量是正相关关系，所以排除C、D选项． eq \(x,\s\up9(－)) ＝3.5， eq \(y,\s\up9(－)) ＝ eq \f(2.5＋m＋n＋6.5,4) ＝ eq \f(9＋m＋n,4) ∈(3.5，5.5)，
把 eq \(x,\s\up9(－)) ＝3.5分别代入A、B选项，对于A，有 eq \(y,\s\up9(^)) ＝5.1∈(3.5，5.5)，符合题意；对于B，有 eq \(y,\s\up9(^)) ＝7.4∉(3.5，5.5)，不符合题意；故选A.
答案：A
5．解析： eq \(x,\s\up9(－)) ＝ eq \f(1,4) (17＋14＋10－1)＝10， eq \(y,\s\up9(－)) ＝ eq \f(1,4) (24＋34＋38＋64)＝40，代入： eq \(y,\s\up9(^)) ＝－2x＋ eq \(a,\s\up9(^)) ，得 eq \(a,\s\up9(^)) ＝60，∴经验回归方程为 eq \(y,\s\up9(^)) ＝－2x＋60，取x＝2，得y＝56千瓦·时，故选A.
答案：A
6．解析：设表中模糊不清的数据为m，由表中数据得 eq \(x,\s\up9(－)) ＝30， eq \(y,\s\up9(－)) ＝ eq \f(62＋m＋75＋81＋89,5) ＝ eq \f(307＋m,5) ，
∴ eq \f(307＋m,5) ＝0.67×30＋54.9，即m＝68.故选A.
答案：A
7．解析：家庭收入每增加1万元，对应经验回归方程中的x增加1，相应的 eq \(y,\s\up9(^)) 的值增加0.254，即年饮食支出平均增加0.254万元．
答案：0.254
8．解析：由题图知 eq \(x,\s\up9(－)) ＝ eq \f(0＋1＋3＋4,4) ＝2，
eq \(y,\s\up9(－)) ＝ eq \f(0.9＋1.9＋3.2＋4.4,4) ＝2.6，
将(2，2.6)代入 eq \(y,\s\up9(^)) ＝ eq \(b,\s\up9(^)) x＋1中，解得 eq \(b,\s\up9(^)) ＝0.8.
答案：0.8
9．解析：(1)设两艘船的吨位分别为x1，x2，则 eq \(y,\s\up9(^)) 1－ eq \(y,\s\up9(^)) 2＝9.5＋0.006 2x1－(9.5＋0.006 2x2)＝0.006 2×1 000≈6，即船员平均相差6人．
(2)当x＝192时， eq \(y,\s\up9(^)) ＝9.5＋0.006 2×192≈10，当x＝3 246时， eq \(y,\s\up9(^)) ＝9.5＋0.006 2×3 246≈29.
即估计吨位最大和最小的船的船员数分别为29人和10人．
10．解析：(1) eq \(t,\s\up9(－))＝3， eq \(z,\s\up9(－))＝2.2， eq \i\su(i＝1,5,t)izi＝45， eq \i\su(i＝1,5,t) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) ＝55，
eq \(b,\s\up9(^))＝ eq \f(45－5×3×2.2,55－5×9)＝1.2，
eq \(a,\s\up9(^))＝ eq \(z,\s\up9(－))－ eq \(b,\s\up9(^)) eq \(t,\s\up9(－))＝2.2－3×1.2＝－1.4，
所以 eq \(z,\s\up9(^))＝1.2t－1.4.
(2)将t＝x－2 012，z＝y－5，代入 eq \(z,\s\up9(^))＝1.2t－1.4，
得y－5＝1.2(x－2 012)－1.4，即 eq \(y,\s\up9(^))＝1.2x－2 410.8.
(3)因为 eq \(y,\s\up9(^))＝1.2×2 022－2 410.8＝15.6，
所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元．
11．解析：由最小二乘法建立的回归方程可知，回归直线 eq \(y,\s\up9(^))＝0.85x－85.71一定过样本点中心( eq \(x,\s\up9(－))， eq \(y,\s\up9(－)))，因此B正确；由x的系数0.85>0可知变量y与x具有正的线性相关关系，因此A正确；由x的系数为0.85可知，若某个女生的身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg，因此C正确；当某个女生的身高为160 cm时，体重约为50.29 kg，不是一定为50.29 kg，因此D不正确．故选ABC.
答案：ABC
12．解析：对于A，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故A错误；对于B，6月9日本地降水概率为90%，只是表明下雨的可能性是90%，有可能这天不下雨，不能说明天气预报并不科学，故B错误；在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故C正确；在经验回归方程 eq \(y,\s\up9(^))＝0.1x＋10中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y增加0.1个单位，故D正确．故选CD.
答案：CD
13．解析：由回归系数 eq \(b,\s\up9(^))的几何意义知，经验回归直线的斜率即是回归系数 eq \(b,\s\up9(^))，据 eq \(b,\s\up9(^))＝ eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\(x,\s\up9(－)) \(y,\s\up9(－)),\i\su(i＝1,5,x)2－5\(x,\s\up9(－))2)计算可得： eq \(b,\s\up9(^))≈38.14.
答案：38.14
14．解析：小李这5天的平均投篮命中率 eq \(y,\s\up9(－))＝ eq \f(1,5)(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5， eq \(x,\s\up9(－))＝3， eq \(b,\s\up9(^))＝ eq \f(0.1,10)＝0.01， eq \(a,\s\up9(^))＝ eq \(y,\s\up9(－))－ eq \(b,\s\up9(^)) eq \(x,\s\up9(－))＝0.5－0.03＝0.47.
∴经验回归方程为 eq \(y,\s\up9(^))＝0.01x＋0.47，
则当x＝6时，y＝0.53.
∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53.
答案：0.5 0.53
15．解析：(1)∵ eq \(x,\s\up9(－))＝ eq \f(1,4) eq \i\su(i＝1,4,x)i＝ eq \f(1,4)(0.6＋0.7＋0.8＋0.9)＝0.75，
eq \(y,\s\up9(－))＝ eq \f(1,4) eq \i\su(i＝1,4,y)i＝ eq \f(1,4)(0.35＋0.45＋0.45＋0.55)＝0.45，
eq \i\su(i＝1,4, )(xi－ eq \(x,\s\up9(－)))(yi－ eq \(y,\s\up9(－)))＝(－0.15)×(－0.1)＋(－0.05)×0＋0.05×0＋0.15×0.1＝0.03，
eq \i\su(i＝1,4, )(xi－ eq \(x,\s\up9(－)))2＝(－0.15)2＋(－0.05)2＋0.052＋0.152＝0.05，
∴ eq \(b,\s\up9(^))＝ eq \f(\i\su(i＝1,4, )（xi－\(x,\s\up9(－))）（yi－\(y,\s\up9(－))）,\i\su(i＝1,4, )（xi－\(x,\s\up9(－))）2)＝ eq \f(0.03,0.05)＝0.6， eq \(a,\s\up9(^))＝ eq \(y,\s\up9(－))－ eq \(b,\s\up9(^)) eq \(x,\s\up9(－))＝0.45－0.6×0.75＝0，
∴所求经验回归方程为 eq \(y,\s\up9(^))＝0.6x，
当x＝1.1时， eq \(y,\s\up9(^))＝0.6×1.1＝0.66，预计该国家2019年的人均存款为0.66万元．
(2)由回归方程计算得， eq \(y,\s\up9(^))1＝0.36， eq \(y,\s\up9(^))2＝0.42， eq \(y,\s\up9(^))3＝0.48， eq \(y,\s\up9(^))4＝0.54，
所以， eq \i\su(i＝1,4, )(yi－ eq \(y,\s\up9(^))i)2＝(0.35－0.36)2＋(0.45－0.42)2＋(0.45－0.48)2＋(0.55－0.54)2＝0.002，
eq \i\su(i＝1,4, )(yi－ eq \(y,\s\up9(－)))2＝(0.35－0.45)2＋(0.45－0.45)2＋(0.45－0.45)2＋(0.55－0.45)2＝0.02，
R2＝1－ eq \f(\i\su(i＝1,4, )（yi－\(y,\s\up9(^))i）2,\i\su(i＝1,4, )（yi－\(y,\s\up9(－))）2)＝1－ eq \f(0.002,0.02)＝0.9，
说明人均存款解释了90%的人均消费的变化，x、y具有较好的拟合效果．
16．解析：由x与y的值作散点图(图略)可知，y与x具有线性相关关系．
因为 eq \(x,\s\up9(－))＝ eq \f(9＋7＋3＋1,4)＝5，
eq \(y,\s\up9(－))＝ eq \f(0.5＋3.5＋6.5＋9.5,4)＝5，
eq \i\su(i＝1,4,x)iyi＝9×0.5＋7×3.5＋3×6.5＋1×9.5＝58，
eq \i\su(i＝1,4,x) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) ＝92＋72＋32＋12＝140，
所以 eq \(b,\s\up9(^))＝ eq \f(58－4×5×5,140－4×52)＝－1.05，
eq \(a,\s\up9(^))＝ eq \(y,\s\up9(－))－ eq \(b,\s\up9(^)) eq \(x,\s\up9(－))＝5－(－1.05)×5＝10.25.
所以y关于x的经验回归方程为 eq \(y,\s\up9(^))＝10.25－1.05x.
答案： eq \(y,\s\up9(^))＝10.25－1.05xx/℃
20
22
24
21
23
y/百元
1
3
6
2
3
零件数x(个)
2
3
4
5
加工时间y(分钟)
30
a
40
50
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
x
2
3
4
5
y
2.5
m
n
6.5
x(单位：℃)
17
14
10
－1
y(单位：千瓦·时)
24
34
38
64
零件数x个
10
20
30
40
50
加工时间y/min
62
75
81
89
年份x
2016
2017
2018
2019
2020
储蓄存款
y(千亿元)
5
6
7
8
10
时间代号t
1
2
3
4
5
z
0
1
2
3
5
尿汞含量(x)
2
4
6
7
10
消化系数(y)
64
138
205
285
360
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
年份
2015
2016
2017
2018
人均存款x(万元)
0.6
0.7
0.8
0.9
人均消费y(万元)
0.35
0.45
0.45
0.55
AQI
级别
状况
0～50
Ⅰ
优
51～100
Ⅱ
良
101～150
Ⅲ
轻度污染
151～200
Ⅳ
中度污染
201～300
Ⅴ
重度污染
>300
Ⅵ
严重污染
AQI
900
700
300
100
空气水平可见度y/km
0.5
3.5
6.5
9.5