高中数学7.4 二项分布与超几何分布课后复习题

这是一份高中数学7.4 二项分布与超几何分布课后复习题，共7页。


1．已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率等于eq \f(C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(7)) ·C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(8)) ,C eq \\al(\s\up1(10),\s\d1(15)) )的是( )
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
2．一批产品共有50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽取2件，其中出现次品的概率是( )
A．eq \f(44,245)B．eq \f(9,49)
C．eq \f(46,245)D．eq \f(47,245)
3．有8名学生，其中有5名男生．从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X，则其数学期望E(X)＝( )
A．2B．2.5
C．3D．3.5
4．在一次抽奖中，一个箱子里有编号为1至10的10个号码球(球的大小、质地完全相同，但编号不同)，其中有n个号码为中奖号码，若从中任意取出4个号码球，其中恰有1个中奖号码的概率为eq \f(8,21)，则这10个小球中，中奖号码球的个数为( )
A．2B．3
C．4D．5
5．已知一盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子．任意取出2粒，若X表示取得白子的个数，则X的均值E(X)＝________．
6．某学校从4名男生和2名女生中任选3人作为参加两会的志愿者，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P(X≤1)＝________．
7．现有10张奖券，其中8张2元的、2张5元的，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．
8．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布．
(2)他能及格的概率．
9．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
[提能力]
10．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国的PM2.5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
某试点城市环保局从该市市区2020年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶).
(1)从这15天的PM2.5日均监测数据中随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
(2)从这15天的数据中任取三天的数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望．
11．为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到在高速公路上行驶时的平均车速情况：在55名男驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40名，不超过100km/h的有15名；在45名女驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20名，不超过100km/h的有25名．
(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100km/h的驾驶员中随机抽取2名，求这2名驾驶员中恰好有1名男驾驶员的概率；
(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中平均车速超过100km/h且为男驾驶员的车辆数为X，求X的分布列．
[战疑难]
12．一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中随机抽取n(n∈N*)件，用X表示所抽取的n件产品中不合格品的件数．
(1)若n＝2，求X的分布列；
(2)求使X＝1的概率取得最大值时的n的值．(参考数据：eq \r(9901)≈99.50)
课时作业(十二)
1．解析：X服从超几何分布，则P(X＝4)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(7)) C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(8)) ,C eq \\al(\s\up1(10),\s\d1(15)) ) ，故选C.
答案：C
2．解析：方法一 任意抽取的2件产品中次品数X服从超几何分布，其中P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(45)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(50)) ) ＝ eq \f(9,49) ，P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(45)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(50)) ) ＝ eq \f(2,245) ，因此出现次品的概率为P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝ eq \f(47,245) .
方法二 任意抽取的2件产品中次品数X服从超几何分布，其中P(X＝0)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(45)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(50)) ) ，故所求概率为P＝1－P(X＝0)＝1－ eq \f(C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(45)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(50)) ) ＝ eq \f(47,245) .故选D.
答案：D
3．解析：随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(4－k),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(8)) ) (k＝1，2，3，4).
所以，随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望E(X)＝1× eq \f(1,14) ＋2× eq \f(3,7) ＋3× eq \f(3,7) ＋4× eq \f(1,14) ＝ eq \f(5,2) ，故选B.
答案：B
4．解析：由题意，可得 eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10－n)) ,C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) ) ＝ eq \f(8,21) ，∴n(10－n)(9－n)(8－n)＝480，将选项中的值代入检验，知选C.
答案：C
5．解析：方法一 随机变量X的取值为0，1，2，则P(X＝0)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ) ＝ eq \f(7,15) ，P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(7)) ·C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ) ＝ eq \f(7,15) ，P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ) ＝ eq \f(1,15) .
∴E(X)＝0× eq \f(7,15) ＋1× eq \f(7,15) ＋2× eq \f(1,15) ＝ eq \f(3,5) .
方法二 由题意知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝2，则由超几何分布的均值公式和方差公式知E(X)＝ eq \f(nM,N) ＝ eq \f(2×3,10) ＝ eq \f(3,5) .
答案： eq \f(3,5)
6．解析：由题意可知X的可能取值为0，1，2，且X服从超几何分布，
即P(X＝k)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(3－k),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ) ，k＝0，1，2，
所以P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ) ＋ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) )＝ eq \f(1,5) ＋ eq \f(3,5) ＝ eq \f(4,5) .
答案： eq \f(4,5)
7．解析：设所得金额为X，则X的所有可能取值为6，9，12.
P(X＝6)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ) ＝ eq \f(7,15) ，P(X＝9)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(8)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ) ＝ eq \f(7,15) ，P(X＝12)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(8)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ) ＝ eq \f(1,15) .
故X的分布列为
8.解析：(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，
则P(X＝r)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(3－r),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ) (r＝0，1，2，3).
所以P(X＝0)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ) ＝ eq \f(1,30) ，
P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ) ＝ eq \f(3,10) ，
P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ) ＝ eq \f(1,2) ，
P(X＝3)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ) ＝ eq \f(1,6) .
所以X的概率分布为
(2)能及格的概率为：P(ξ≥2)＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,6) ＝ eq \f(2,3) .
9．解析：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则
P(A)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ·C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ＋C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(3)) ·C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ) ＝ eq \f(49,60) .
故选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为 eq \f(49,60) .
(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝k)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(4)) ·C eq \\al(\s\up1(3－k),\s\d1(6)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ) (k＝0，1，2，3).
随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望E(X)＝0× eq \f(1,6) ＋1× eq \f(1,2) ＋2× eq \f(3,10) ＋3× eq \f(1,30) ＝ eq \f(6,5) .
10．解析：(1)由题意知，这15天中达到一级标准的有5天，未达到一级标准的有10天．记“从这15天的PM2.5日均监测数据中随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ×C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(15)) ) ＝ eq \f(45,91) .
(2)由题意知，这15天中，超标的有5天，未超标的有10天．
根据条件，ξ服从超几何分布，其中N＝15，M＝5，n＝3，
ξ所有可能的取值为0，1，2，3，
P(ξ＝k)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(3－k),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(15)) ) (k＝0，1，2，3).
ξ的分布列为
E(ξ)＝ eq \f(nM,N) ＝ eq \f(3×5,15) ＝1.
11．解析：(1)平均车速不超过100 km/h的驾驶员有40名，从中随机抽取2名的方法总数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(40)) .
记“这2名驾驶员中恰好有1名男驾驶员”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(15)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(25)) ，
所以所求的概率P(A)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(15)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(25)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(40)) ) ＝ eq \f(15×25,20×39) ＝ eq \f(25,52) .
(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h且为男驾驶员的概率为 eq \f(40,100) ＝ eq \f(2,5) ，故X～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(2,5))) ，
所以P(X＝0)＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up12(0) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))) eq \s\up12(3) ＝ eq \f(27,125) ，
P(X＝1)＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(54,125) ，
P(X＝2)＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up12(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))) ＝ eq \f(36,125) ，
P(X＝3)＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up12(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))) eq \s\up12(0) ＝ eq \f(8,125) ，
所以X的分布列为
12.解析：(1)当n＝2时，X的所有可能取值为0，1，2，则
P(X＝0)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(97)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(100)) ) ＝ eq \f(776,825) ，P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(97)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(100)) ) ＝ eq \f(97,1 650) ，P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(97)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(100)) ) ＝ eq \f(1,1 650) ，
所以X的分布列为
(2)X＝1的概率为P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(n－1),\s\d1(97)) ,C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(100)) ) ＝ eq \f(n（n－99）（n－100）,323 400) ，1≤n≤98，且n∈N*.记函数f(n)＝n(n－99)(n－100)，则由f′(n)＝3n2－398n＋9 900＝0，得n＝ eq \f(199±\r(9 901),3)，由参考数据 eq \r(9 901)≈99.50知，n1≈33.17或n2＝99.50(舍去)，而f(33)－f(34)＝33×66×67－34×65×66＝66>0，结合函数f(n)的图象性质可知，当n＝33时，X＝1的概率取得最大值．
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,14)
eq \f(3,7)
eq \f(3,7)
eq \f(1,14)
X
6
9
12
P
eq \f(7,15)
eq \f(7,15)
eq \f(1,15)
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,30)
eq \f(3,10)
eq \f(1,2)
eq \f(1,6)
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,2)
eq \f(3,10)
eq \f(1,30)
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(24,91)
eq \f(45,91)
eq \f(20,91)
eq \f(2,91)
X
0
1
2
3
P
eq \f(27,125)
eq \f(54,125)
eq \f(36,125)
eq \f(8,125)
X
0
1
2
P
eq \f(776,825)
eq \f(97,1 650)
eq \f(1,1 650)