初中数学1 因式分解同步练习题

专题15 因式分解 易错题之解答题（30题）

 因式分解 有关的易错题

1．（2020·宁波市七年级月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”．

（1）36和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？

【答案】（1）36和2020是“和谐数”；理由见解析；（2）这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．理由见解析

【分析】

(1)按照新定义的概念进行验算即可；

(2)读懂题目意思，应用因式分解，把化成4与整数的乘积的形式即可.

【详解】

(1)∵36＝102﹣82，2020＝5062﹣5042，

∴36和2020是“和谐数”；

故答案为：36和2020是和谐数.

(2)这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．理由如下：

∵;

∴两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．

故答案为：是4的倍数.

【点睛】

本题借助新定义题，用平方差公式考查因式分解，熟练掌握平方差公式，再读懂题目意思是解答本题的关键.

2．（2020·濮阳市九年级期末）（阅读学习）

课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：

（1）；

（2）．

（学以致用）

请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：

（1）；

（2）．

（拓展应用）

已知：，．求：的值．

【答案】（1）；（2）；

【拓展应用】．

【分析】

此题根据因式分解的常用方法，观察各式，参照例子把分为再提取公因式分解即可，把化为再利用完全平方和平方差分解；

把化为再因式分解代入即可．

【详解】

（1）

（2）

【拓展应用】

∵，，

代入得：原式=．

【点睛】

此题考查了因式分解所涉及的相关知识：完全平方公式，平方差公式，提取公因式法因式分解和分组结合等，也考查了学生对题文的理解能力．

3．（2020·北京海淀区八年级月考）已知a、b、c是△ABC的三边长，且a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．

【答案】△ABC是等边三角形．证明见解析

【分析】

直接利用因式分解法将原式变形进而分解因式即可.

【详解】

△ABC是等边三角形，

理由：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0

∴a2+b2+c2﹣2ba﹣2bc+b2=0，

∴（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，

则a=b，b=c，

故a=b=c，

则△ABC是等边三角形．

【点睛】

此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．

4．（2021·江西赣州市·八年级期末）仔细阅读下面的例题：

例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值．

解：设另一个因式为，得，

则，

，，

解得，，

∴另一个因式为，m的值为6．

依照以上方法解答下列问题：

（1）若二次三项式可分解为，则________；

（2）若二次三项式可分解为，则________；

（3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．

【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，k的值为5．

【分析】

（1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；

（2）（2x+3）（x﹣2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；

（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），可知2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，继而求出n和k的值及另一个因式．

【详解】

解：（1）∵＝x2+（a﹣1）x﹣a＝，

∴a﹣1＝﹣5，

解得：a＝﹣4；

故答案是：﹣4

（2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2﹣x﹣6＝2x2+bx﹣6，

∴b＝﹣1．

故答案是：﹣1．

（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），

则2x2+9x﹣k＝2x2+（2n﹣1）x﹣n，

∴2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，

解得n＝5，k＝5，

∴另一个因式为x+5，k的值为5．

【点睛】

本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．

5．（2021·社旗县八年级月考）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，求出原多项式．

【答案】

【分析】

由于含字母x的二次三项式的一般形式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0），所以可设原多项式为ax2+bx+c．看错了一次项系数即b值看错而a与c的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将2（x-1）（x-9）运用多项式的乘法法则展开求出a与c的值；同样，看错了常数项即c值看错而a与b的值正确，可将2（x-2）（x-4）运用多项式的乘法法则展开求出b的值，进而得出答案．

【详解】

解：设原多项式为（其中，，均为常数，且）．

因为，

所以，，

又因为，

所以，

所以原多项式为．

【点睛】

本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．本题中注意：如果一个二次三项式，看错了一次项系数，意思是二次项系数与常数项都没有看错．

Part2 与 提公因式法 有关的易错题

6．（2021·山东济宁市·八年级期末）已知

（1）求的值

（2）求的值

【答案】（1）84；（2）25．

【分析】

（1）先提取公因式将所求式子因式分解为，再将已知式子的值代入即可得；

（2）利用完全平方公式进行变形求值即可得．

【详解】

（1），

，

，

；

（2），

，

，

，

．

【点睛】

本题考查了利用因式分解和完全平方公式进行变形求值，熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式是解题关键．

7．（2021·山东威海市·八年级期末）（1）因式分解：；

（2）利用因式分解进行计算：．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）提取公因式2a，后用十字相乘法分解即可；

（2）反复使用提取公因式法化简即可．

【详解】

（1）

=

=；

（2）

=

=

=

=．

【点睛】

本题考查了提取公因式法，十字相乘法分解因式，熟练掌握因式分解的基本方法，并灵活选择方法是解题的关键．

8．（2021·安徽铜陵市·八年级期末）分解因式：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）

【答案】2m（m﹣n）（5m﹣n）

【分析】

直接找出公因式，进而提取公因式得出答案．

【详解】

解：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）

＝2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m]

＝2m（m﹣n）（5m﹣n）．

【点睛】

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

9．（2020·上海市期末）因式分解：

【答案】4（x+y）（x+2y）．

【分析】

首先提公因式2（x+y），再整理括号里面的3（x+y）﹣（x﹣y），再提公因式2即可．

【详解】

原式=2（x+y）[3（x+y）﹣（x﹣y）]

=2（x+y）（2x+4y）

=4（x+y）（x+2y）．

【点睛】

本题考查了提公因式法分解因式，关键是公因式提取要彻底．

10．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·九年级月考）分解因式：

【答案】．

【分析】

利用提公因式法分解因式即可得．

【详解】

原式，

，

，

．

【点睛】

本题考查了利用提公因式法分解因式，因式分解的主要方法包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键．

11．（2020·德州市八年级月考）已知，，求下列各式的值．

（1）；

（2）．

【答案】（1）；（2）68

【分析】

（1）根据完全平方公式的变形公式（x﹣y）2=(x+y)2﹣4xy进行求解即可；

（2）利用完全平方公式求解x2+y2，再将所求代数式因式分解，进而代入数值即可求解．

【详解】

解：（1）∵，，

∴（x﹣y）2=(x+y)2﹣4xy=52﹣4×4=9，

∴x﹣y=±3；

（2）∵（x+y）2= x2+y2+2xy，

∴x2+y2=52﹣2×4=17，

∴=xy(x2+y2)=4×17=68．

【点睛】

本题考查代数式求值、完全平方公式、平方根、因式分解、有理数的混合运算，熟记完全平方公式，灵活运用公式是解答的关键．

Part3 与 公式法 有关的易错题

12．（2020·湖北襄阳市·八年级期末）分解因式：

(1)；                        (2)

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可；

（2）直接利用平方差公式分解因式，即可得到答案.

【详解】

解：（1）

；

（2）

.

【点睛】

本题考查了分解因式，灵活运用提公因式法和公式法进行分解因式是解题的关键.

13．（2020·罗定市八年级月考）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．

【答案】等腰直角三角形

【分析】

首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．

【详解】

解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，

∴a4－b4－a2c2+b2c2=0，

∴（a4－b4）－（a2c2－b2c2）=0，

∴（a2+b2）（a2－b2）－c2（a2－b2）=0，

∴（a2+b2－c2）（a2－b2）=0

得：a2+b2=c2或a=b，或者a2+b2=c2且a=b，

即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．

考点：勾股定理的逆定理．

14．（2020·上海市期末）因式分解：

【答案】（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．

【分析】

因为﹣2×（－6）=12，﹣2+（－6）=﹣8，所以可利用十字相乘法分解因式；得到的两个因式，还可以用十字相乘法分解因式．

【详解】

原式=（a2+a﹣2）（a2+a﹣6）=（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．

【点睛】

本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察、体会它实质是二项式乘法的逆过程；并注意一定要分解完全．

15．（2020·四川省内江市九年级月考）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是25和－16，如图．

如，第一次按键后，，两区分别显示：

（1）从初始状态按2次后，分别求，两区显示的结果；

（2）从初始状态按4次后，计算，两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．

【答案】（1）；；（2）；和不能为负数，理由见解析．

【分析】

（1）根据题意，每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，区就会自动减去，可直接求出初始状态按2次后A，B两区显示的结果．

（2）依据题意，分别求出初始状态下按4次后A，B两区显示的代数式，再求A，B两区显示的代数式的和，判断能否为负数即可．

【详解】

解：（1）A区显示结果为： ，

B区显示结果为：；

（2）初始状态按4次后A显示为：

B显示为：

∴A+B=

=

=

∵恒成立，

∴和不能为负数．

【点睛】

本题考查了代数式运算，合并同类项，完全平方公式问题，解题关键在于理解题意，列出代数式进行正确运算，并根据完全平方公式判断正负．

16．（2020·郑州市八年级月考）因式分解：（1）

（2）

【答案】（1）-4（3a+b）（a+3b）（2）−2（a＋3b）（3a＋2b）

【分析】

（1）根据公式法即可因式分解；

（2）根据十字相乘法即可因式分解．

【详解】

（1）

=

=（2a−2b+4a+4b）（2a−2b-4a-4b）

=（6a+2b）（-2a-6b）

=-4（3a+b）（a+3b）

（2）

＝[（a−b）−2（a＋b）][（a−b）＋5（a＋b）]

=（a−b−2a-2b）（a−b＋5a＋5b）

=（−a-3b）（6a＋4b）

＝−2（a＋3b）（3a＋2b）．

【点睛】

此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知公式法与十字相乘法的应用．

17．（2020·湖北襄阳市·八年级期末）(1)分解下列因式，将结果直接写在横线上：

x2+4x+4＝　   　，16x2+24x+9＝　   　，9x2﹣12x+4＝　   　

(2)观察以上三个多项式的系数，有42＝4×1×4，242＝4×16×9，(﹣12)2＝4×9×4，于是小明猜测：若多项式ax2+bx+c(a＞0)是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系．

①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系；

②解决问题：若多项式x2﹣2(m﹣3)x+(10﹣6m)是一个完全平方式，求m的值．

【答案】(1)（x+2）2，（4x+3）2，（3x﹣2）2；（2）①b2=4ac，②m=±1

【分析】

（1）根据完全平方公式分解即可；

（2）①根据已知等式得出b2=4ac，即可得出答案；

②利用①的规律解题．

【详解】

（1）x2+4x+4=（x+2）2，16x2+24x+9=（4x+3）2，9x2-12x+4=（3x-2）2，

故答案为（x+2）2，（4x+3）2，（3x-2）2；

（2）①b2=4ac，

故答案为b2=4ac；

②∵多项式x2-2（m-3）x+（10-6m）是一个完全平方式，

∴[-2（m-3）]2=4×1×（10-6m），

m2-6m+9=10-6m

m2=1

m=±1．

【点睛】

本题考查了对完全平方公式的理解和应用，能根据完全平方公式得出b2=4ac是解此题的关键．

18．（2020·重庆市八年级月考）因式分解

（1）   

（2）

（3）   

（4）

（5）

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）

【分析】

（1）先提取公因式，得到，再利用十字相乘法分解即可；

（2）直接应用平方差公式和完全平方公式逐步分解即可；

（3）将多项式整理成，利用平方差公式计算多项式得到，再利用平方差公式和十字相乘法逐步分解即可；

（4）先计算，再合并同类项得到，直接利用提公因式法分解因式即可；

（5）根据时，，可得有一个因式为，即可求解．

【详解】

解：（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

；

（5）当时，，

∴．

【点睛】

本题考查分解因式，熟练应用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．

19．（2020·南阳市八年级月考）（1）填空：____________；

（2）阅读，并解决问题：分解因式

解：设，则原式

这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式，换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决.请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解：

①

②

【答案】（1）9，3；（2）①，②

【分析】

（1）根据完全平方公式可得到结论；

（2）①根据换元法设，根据完全平方公式可得结论；

②先将原式x2－4x看作整体，根据换元法设x2－4x=a，化简，再根据完全平方公式可得结论．

【详解】

解：（1）a2+6a+9=(a+3)2，

故答案为9，3；

（2）①，

设，则原式；

②，

设，

.

【点睛】

本题考查了运用公式法和换元法分解因式，掌握数学中的换元思想，正确应用公式是解题关键．

20．（2020·陕西榆林市·八年级期末）已知，，求下列式子的值：

（l）；

（2）．

【答案】（1）12；（2）144

【分析】

（1）先提公因式，再代数求值；

（2）先提公因式，再用完全平方公式分解因式，最后代数求值．

【详解】

解：（1）

∵，，

∴；

（2）

，

∴．

【点睛】

本题考查化简求值，熟练掌握因式分解是关键．