高中数学9.1.2 余弦定理巩固练习

二　余 弦 定 理

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)

1.在△ABC中,若b=1,c=,C=,则a= (　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选A.由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得3=a2+1-2a×1×cos ,

即a2+a-2=0.

解之得a=-2(舍去)或a=1,所以a=1.

2.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a=3,b=,c=2,那么B等于 (　　)

A.30° B.45° C.60° D.120°

【解析】选C.因为a=3,b=,c=2,所以cos B===.

又因为B为三角形内角,所以B=60°.

3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos A=,a=7,c=6,则b= (　　)

A.8 B.7 C.6 D.5

【解析】选D.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,所以49=b2+36-2b·6·,整理得5b2-12b-65=0,解得b=5或b=-(舍去).

4.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC= (　　)

A. B. C. D.

【解析】选C.因为cos ∠BAC=

==-,

又因为0<∠BAC<π,所以∠BAC=.

【补偿训练】

在△ABC中,D为边BC的中点,AB=2,AC=4,AD=,则∠BAC为 (　　)

A.30°　　　B.60°　　　C.120°　　　D.150°

【解析】选B.如图,设BD=CD=x.

　在△ABD和△ACD中,由余弦定理及诱导公式,得

,

即14+2x2=20,

解得x=,即BC=2.

则cos∠BAC==,

所以∠BAC=60°.

5.(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则cos B= (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选A.由余弦定理可知cos C=

==,

可得=3,又由余弦定理可知:

cos B===.

6.(多选题)在△ABC中,a=1,b=2,cos C=,则 (　　)

A.c=1    B.c=2

C.sin A=   D.sin A=

【解析】选BD.根据余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=12+22-2×1×2×=4,解得c=2.

由a=1,b=2,c=2,

得cos A==,

所以sin A==.

二、填空题(每小题4分,共8分)

7.在△ABC中,已知a=4,b=5,c=6,则sin A=________. 

【解析】在△ABC中,已知a=4,b=5,c=6,由余弦定理得,cos A==,

则sin A==.

答案:

8.在△ABC中,已知BC=7,AC=8,AB=9,则AC边上的中线长为________. 

【解析】方法一:由条件知cos A===,

设中线长为x,由余弦定理知x2=+AB2-2××ABcos A

=42+92-2×4×9×=49,所以x=7.

所以AC边上的中线长为7.

方法二:设AC中点为M,连接BM(图略).

则=(+),

所以=(++2·)

=(92+72+2||||cos ∠ABC),

由余弦定理得2||||cos ∠ABC=||2+||2-||2=92+72-82,所以||2=(92+72+92+72-82)=49.所以BM=7,即AC边上的中线长为7.

答案:7

【补偿训练】

　　　在△ABC中,已知角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c,若a2=b2+c2,则=________. 

【解析】因为a2=b2+c2,所以c2=4a2-4b2,

又由余弦定理可得:cos B=.

所以==

===.

答案:

三、解答题(每小题14分,共28分)

9.在△ABC中,已知sin C=,a=2,b=2,求边c.

【解析】因为sin C=,且0<C<π,

所以C为或.

当C=时,cos C=,此时,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=4,即c=2.

当C=时,cos C=-,

此时,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=28,即c=2.所以边c的长为2或2.

10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4sin2+4sin Asin B=2+.

(1)求角C的大小.

(2)已知b=4,△ABC的面积为6,求边长c的值.

【解析】(1)由已知得2[1-cos(A-B)]+4sin Asin B=2+,化简得-2cos Acos B+2sin Asin B=,

故cos(A+B)=-,所以A+B=,从而C=.

(2)因为S△ABC=absin C,由S△ABC=6,b=4,C=,得a=3.由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C=10,得c=.

【补偿训练】

在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且满足cos 2A+2sin2(π+B)+

2cos2-1=2sin Bsin C.

(1)求角A的大小.

(2)若b=4,c=5,求sin B.

【解析】(1)因为cos 2A+2sin2(π+B)+

2cos2-1=2sin Bsin C,

所以sin2B+sin2 C-sin2A=sin Bsin C.

由正弦定理得b2+c2-a2=bc,

由余弦定理得cos A==,

因为0<A<π,

所以A=.

(2)因为a2=b2+c2-2bccos A=16+25-2×4×5×=21,

所以a=.

由正弦定理=,即=,

解得sin B=.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)

1.在△ABC中,a2+b2-c2+ab=0,则C等于 (　　)

A.30° B.45° C.120° D.135°

【解析】选D.由a2+b2-c2+ab=0知,c2=a2+b2+ab,由余弦定理得,cos C==-,

因为0°<C<180°,所以C=135°.

【补偿训练】

在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且a2=c2+b2+bc,则角A的大小为 (　　)

A. B. C. D.

【解析】选D.因为a2=b2+c2+bc,

所以b2+c2-a2=-bc.

由余弦定理的推论得cos A==

=-,又因为0<A<π,所以A=.

2.在△ABC中,a∶b∶c=3∶5∶7,那么△ABC是 (　　)

A.直角三角形  B.钝角三角形　　

C.锐角三角形  D.非钝角三角形

【解析】选B.因为a∶b∶c=3∶5∶7,所以可设a=3t,b=5t,c=7t,由余弦定理可得cos C==-,因为0<C<π,所以C=120°,故△ABC是钝角三角形.

3.(多选题)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=5,b=7,c=8,则 (　　)

A.B=45°  B.B=60°

C.cos C=  D.sin A=

【解题指南】利用余弦定理的变形公式计算三角形内角的余弦值,再计算角.

【解析】选BCD.最小的角为A,最大的角为C,则cos A==,

cos B==,cos C==,

则sin A==,

又0°<B<180°,所以B=60°.

4.在△ABC中,sin B=,BC边上的高为AD,D为垂足,且BD=2CD,则cos∠BAC= (　　)

A.-  B.  C.-  D.

【解析】选A.依题意设CD=x,AD=y,则BD=2x,BC=3x.

因为sin B=,所以AB==3y.

因为BC边上的高为AD,如图所示,

所以AB2=AD2+BD2=y2+4x2=9y2,即x=y.

所以AC===y.

根据余弦定理得cos∠BAC====-.

二、填空题(每小题4分,共16分)

5.已知在△ABC中,B=60°,b2=ac,则△ABC一定是________三角形. 

【解析】因为B=60°,b2=ac,

由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B,

得ac=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,所以a=c.

又B=60°,所以△ABC是等边三角形.

答案:等边

6.如图所示,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin ∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为________. 

【解析】因为sin ∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos ∠BAD=,所以在△ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos ∠BAD,所以BD2=18+9-2×3×3×=3,所以BD=.

答案:

7.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ac=b2-a2,A=,则B=________. 

【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-bc,

与ac=b2-a2联立,得ac+c2-bc=0,

即c=b-a,代入ac=b2-a2,

得a(b-a)=b2-a2,解得b=a,

所以c=b-a=2a,

所以cos B===,

又因为B∈(0,π),所以B=.

答案:

8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+b2=4 037c2,则的值为________. 

【解析】

=·

=·=cos C·

=cos C·

=·=

==

=2 018.

答案:2 018

三、解答题(共38分)

9.(12分)(2020·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.

(1)若a=c,b=2,求△ABC的面积;

(2)若sin A+sin C=,求C.

【解析】(1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-2×c2×cos 150°,

解得c=-2(舍去),c=2,从而a=2.

△ABC的面积为×2×2×sin 150°=;

(2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,

所以sin A+sin C=sin(30°-C)+sin C=

sin(30°+C),故sin(30°+C)=.

而0<C<30°,

所以30°+C=45°,故C=15°.

10.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos=,·=3.

(1)求△ABC的面积.

(2)若c=1,求a的值.

【解析】(1)cos A=2cos2-1=2×-1=,

又A∈(0,π),sin A==,

而·=||·||·cos A=bc=3,

所以bc=5,所以△ABC的面积为bcsin A=×5×=2.

(2)由(1)知bc=5,而c=1,得b=5,

所以a===2.

11.(14分)已知在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量p=(sin A-cos A,1-sin A),q=(2+2sin A,sin A+cos A),p与q是共线向量,且≤A≤.

(1)求角A的大小.

(2)若sin C=2sin B,且a=,试判断△ABC的形状,并说明理由.

【解析】(1)因为p∥q,

所以(sin A-cos A)(sin A+cos A)-

2(1-sin A)(1+sin A)=-cos2A-2cos2A=0,

所以1+2cos2A=0,所以cos2A=-.

因为≤A≤,所以≤2A≤π,

所以2A=,所以A=.

(2)△ABC是直角三角形.理由如下:

由cos A=,a=及余弦定理得b2+c2-bc=3.

又sin C=2sin B,由正弦定理得c=2b.

联立可得解得

所以a2+b2=()2+12=4=c2,所以△ABC是直角三角形.

【补偿训练】

已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=,b=,4a-3cos A=0.

(1)求a的值.

(2)若B=λA,求λ的值.

【解析】(1)因为4a-3cos A=0,

故4a=3cos A,

由余弦定理4a=3×,

因为c=,b=,所以12a2+80a-147=0,

解得a=或a=-(舍去),故a=.

(2)由(1)可知cos A=×=,

所以sin A=,故cos 2A=cos2 A-sin2 A=,

因为a=,c=,b=,

所以cos B==,

所以cos 2A=cos B,

因为在△ABC中,c>b>a,故B=2A,

即λ的值为2.