数学人教B版 (2019)6.2.1导数与函数的单调性导学案

这是一份数学人教B版 (2019)6.2.1导数与函数的单调性导学案，共9页。

最新课程标准
1.理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)
3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)
[教材要点]
知识点一 用函数的导数判定函数单调性的法则
(1)如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；
(2)如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间．
知识点二 一般地，在区间(a，b)内函数的单调性
与导数有如下关系
[基础自测]
1．函数y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能是( )
2．已知函数f(x)＝eq \r(x)＋ln x，则有( )
A．f(2)＜f(e)＜f(3) B．f(e)＜f(2)＜f(3)
C．f(3)＜f(e)＜f(2) D．f(e)＜f(3)＜f(2)
3．函数y＝f(x)的图像如图所示，则( )
A．f′(3)>0 B．f′(3)<0
C．f′(3)＝0 D．f′(3)的正负不确定
4．已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－x，则f(x)的单调递增区间为________．
题型一 函数单调性与导数的正负的关系
例1 (1)函数y＝f(x)的图像如图所示，给出以下说法：
①函数y＝f(x)的定义域是[－1,5]；
②函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2,4]；
③函数y＝f(x)在定义域内是增函数；
④函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0.
其中正确的序号是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能为( )
(3)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)的图像只可能是所给选项中的( )
eq \x(状元随笔) 研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
方法归纳
1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可．
2．通过图像研究函数单调性的方法
(1)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；
(2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与x轴的交点，分析导数的正负．
跟踪训练1 (1)函数y＝f(x)的图像如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图像可能是( )
(2)函数y＝f(x)在定义域R上可导，其导函数的图像如图所示，则函数y＝f(x)的单调递增区间为________________．
题型二 利用导数求函数的单调区间
例2 (1)求函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间．
(2)求函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a≠0)的单调区间．
eq \x(状元随笔) 求出导数f ′(x)，分a>0和a<0两种情况．由f ′(x)>0求得单调增区间，由f ′(x)<0求得单调减区间．
方法归纳
利用导数求函数单调区间的步骤
1．确定函数f(x)的定义域．
2．求导数f′(x)．
3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．
4．结合定义域写出单调区间．
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
(2)函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间是( )
A．(－∞，1) B．(0,1)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
题型三 已知函数的单调性求参数的取值范围
eq \x(状元随笔)
1．已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，如何求实数a的取值范围．
[提示] 由已知得f ′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f ′(x)＝3x2－a＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a＜3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a＜0.
又因为a＝0时，f ′(x)＝3x2≥0，
f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.
2．若函数f(x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1,1)，如何求a的取值范围．
[提示] 由f ′(x)＝3x2－a，
①当a≤0时，f ′(x)≥0，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±eq \f(\r(3a),3)，
当－eq \f(\r(3a),3)＜x＜eq \f(\r(3a),3)时，f ′(x)＜0.
∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3a),3)，\f(\r(3a),3)))上为减函数，
∴f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3a),3)，\f(\r(3a),3)))，
∴eq \f(\r(3a),3)＝1，即a＝3.
例3 已知关于x的函数y＝x3－ax＋b.
(1)若函数y在(1，＋∞)内是增函数，求a的取值范围；
(2)若函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a的值．
eq \x(状元随笔) (1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y ′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a的取值范围．
(2)函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a的值．
方法归纳
1．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.
2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．
跟踪训练3 将上例(1)改为“若函数y在(1，＋∞)上不单调”，则a的取值范围又如何？
eq \x(温馨提示：请完成课时分层作业十五)
6．2 利用导数研究函数的性质
6．2.1 导数与函数的单调性
新知初探·自主学习
知识点一
(1)f′(x)>0 (2)f′(x)<0
知识点二
f′(x)≥0 f′(x)≤0 f′(x)＝0
[基础自测]
1．解析：∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.
答案：D
2．解析：因为在定义域(0，＋∞)上，f′(x)＝eq \f(1,2\r(x))＋eq \f(1,x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．故选A.
答案：A
3．解析：由图像可知，函数f(x)在(1,5)上单调递减，则在(1,5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0.
答案：B
4．解析：∵f′(x)＝x－1，令f′(x)>0，解得x>1，
故f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
课堂探究·素养提升
例1 解析：(1)由图像可知，函数的定义域为[－1,5]，值域为(－∞，0]∪[2,4]，故①②正确，选A.
(2)由函数的图像可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
(3)∵导数的正负确定了函数的单调性，
∴从函数f′(x)的图像可知，令f′(x)＝0，
得x＝0或x＝a(a>0)，
∴函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，故选C.
答案：(1)A (2)D (3)C
跟踪训练1 解析： (1)由函数y＝f(x)的图像可知其单调性从左向右依次为单调递增、单调递减、单调递增、单调递减，所以其导函数y＝f′(x)的图像从左向右依次在x轴上方、下方、上方、下方．通过观察可知，只有选项A符合题意．
(2)函数y＝f(x)的单调递增区间为其导函数的图像在x轴上方的部分对应的区间，观察图像知，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－2，－1)，(1,3)，(4，＋∞)．
答案：(1)A (2)(－2，－1)，(1,3)，(4，＋∞)
例2 解析：(1)f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.∴f(x)的单调减区间为(1,2)．
(2)f(x)＝x＋eq \f(a,x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－eq \f(a,x2).
当a>0时，
令f′(x)＝1－eq \f(a,x2)>0，解得x>eq \r(a)或x<－eq \r(a)；
令f′(x)＝1－eq \f(a,x2)<0，解得－eq \r(a)当a<0时，f′(x)＝1－eq \f(a,x2)>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－eq \r(a))和(eq \r(a)，＋∞)；单调递减区间为(－eq \r(a)，0)和(0，eq \r(a))．
当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
跟踪训练2 解析：(1)∵f′(x)＝(ex－ex)′＝ex－e，
由f′(x)＝ex－e>0，可得x>1.
即函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调增区间为
(1，＋∞)，故选D.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝eq \f(1,x)－1，
由f′(x)＝eq \f(1,x)－1>0，得0所以函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间是(0,1)，故选B.
答案：(1)D (2)B
例3 解析：y′＝3x2－a.
(1)若函数y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)内是增函数．
则y′＝3x2－a≥0在x∈(1，＋∞)时恒成立，
即a≤3x2在x∈(1，＋∞)时恒成立，
则a≤(3x2)最小值．
因为x>1，所以3x2>3.
所以a≤3，即a的取值范围是(－∞，3]．
(2)令y′>0，得x2>eq \f(a,3).
若a≤0，则x2>eq \f(a,3)恒成立，即y′>0恒成立，
此时，函数y＝x3－ax＋b在R上是增函数，与题意不符．
若a>0，令y′>0，得x>eq \r(\f(a,3))或x<－eq \r(\f(a,3)).
因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以eq \r(\f(a,3))＝1，即a＝3.
跟踪训练3 解析：y′＝3x2－a，
当a≤0时，y′＝3x2－a>0，函数在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意．
当a＞0时，函数y在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有根．由3x2－a＝0可得x＝eq \r(\f(a,3))或x＝－eq \r(\f(a,3))(舍去)．
依题意，有eq \r(\f(a,3))>1，∴a>3，
所以a的取值范围是(3，＋∞)．
函数的单调性
导数
单调递增
________
单调递减
________
常函数
________