人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.1 数列的概念学案设计

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.1 数列的概念学案设计，共12页。学案主要包含了思维·引，内化·悟，类题·通，习练·破，加练·固，素养·探，新情境·新思维等内容，欢迎下载使用。
第五章　数　　列5.1　数 列 基 础新版课程标准学业水平要求1.通过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)2.了解数列是一种特殊函数1.借助教材实例了解数列的相关概念.(数学抽象)2.了解数列的函数特性、数列的通项公式、数列的前n项和.(数学抽象)3.借助教材实例理解递推公式的含义,能根据递推公式写出数列的前几项.(数学运算)4.能根据数列的前几项写出数列的通项公式.能利用数列的前n项和求数列的通项公式.(数学建模)5.1.1　数列的概念必备知识·素养奠基1.数列及其相关概念(1)定义:按照一定次序排列的一列数称为数列.(2)项:数列中的每一个数都称为这个数列的项.项数:组成数列的数的个数称为数列的项数.(3)通项:a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an},其中an表示数列的第n项(也称n为an的序号,其中n为正整数,即n∈N+),称为数列的通项. (1)如果组成两个数列的数相同但排列次序不同,那么它们是相同的数列吗?提示:从数列的定义可以看出,组成数列的数是按一定顺序排列的,如果组成数列的数相同但排列次序不同,那么它们就不是同一数列.(2)同一个数在数列中可以重复出现吗?提示:在数列的定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.例如:1,-1,1,-1,1,…;2,2,2,….2.数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列3.数列的通项公式:如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用an=f(n)来表示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的一个通项公式.4.函数与数列的关系数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数,数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值,而数列的通项公式就是相应函数的解析式.函数y=2x与数列{an}的通项公式an=2n有什么区别?提示:函数y=2x的自变量是连续变化的,图象是连续的直线.an=2n的自变量是离散的,图象是由离散的点构成.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列. (　　)(2){an}与an是一样的,都表示数列. (　　)(3)所有数列都能写出其通项公式且一个数列的通项公式是唯一的. (　　)(4)数列3,1,-1,-3,-5,-10的通项公式为an=5-2n.(　　)提示:(1)×.两个数列相同,每一项都必须相同,而且数列具有顺序性.(2)×.因为{an}代表一个数列,而an只是这个数列中的第n项,故{an}与an是不一样的.(3)×.有的数列就没有通项公式,而且有的数列的通项公式不唯一.(4)×. 第六项为-10,不符合an=5-2n,故an=5-2n不是此数列的通项公式.2.数列3,4,5,6,…的一个通项公式为 (　　)A.an=n,n∈N+       B.an=n+1,n∈N+C.an=n+2,n∈N+      D.an=2n,n∈N+【解析】选C.这个数列的前4项都比序号大2,所以,它的一个通项公式为an=n+2,n∈N+.3.已知数列{an}的通项公式是an=n2+1,则122是该数列的 (　　)A.第9项   B.第10项   C.第11项   D.第12项【解析】选C.令n2+1=122,则n2=121,所以n=11或n=-11(舍去).4.已知数列{an}的通项公式是an=2n-1,则a8=________. 【解析】a8=2×8-1=15.答案:15关键能力·素养形成类型一　数列的概念以及分类【典例】1.下列说法错误的是 (　　)A.数列4,7,3,4的首项是4B.数列{an}中,若a1=3,则从第2项起,各项均不等于3C.数列1,2,3,…就是数列{n}D.数列中的项不能是三角形2.已知下列数列:①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016;②1,,,…,,…;③1,-,,…,,…;④1,0,-1,…,sin,…;⑤2,4,8,16,32,…;⑥-1,-1,-1,-1.其中,有穷数列是________,无穷数列是________,递增数列是________,递减数列是________,常数列是________,摆动数列是________(填序号). 【思维·引】1.依据数列的定义逐项判断.2.依据数列分类中有关数列的定义,逐个判断.【解析】1.选B.由数列的相关概念可知,数列4,7,3,4的首项是4,故A正确.同一个数在数列中可以重复出现,故B错误.按一定顺序排列的一列数称为数列,所以数列1,2,3,…就是数列{n},故C正确.数列中的项必须是数,不能是其他形式,故D正确.2.①为有穷数列且为递增数列;②为无穷数列、递减数列;③为无穷数列、摆动数列;④是摆动数列,也是无穷数列;⑤为递增数列,也是无穷数列;⑥为有穷数列,也是常数列.答案:①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④【内化·悟】1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项的性质具有哪些特点?提示:(1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性;(2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异性);(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性);(4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.2.如何判断两个数列是相同数列?提示:组成数列的数相同,且排列次序也相同的两个数列才是相同的数列.　【类题·通】数列概念的三个注意点(1)数列{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,不是表示一个集合,与集合表示有本质的区别.(2)从数列的定义可以看出,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列;在定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.(3)数列中各项的次序揭示了数列的规律性,是理解、把握数列的关键.【习练·破】下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是 (　　)A.1,,,,…B.sin ,sin ,sin ,sin ,…C.-1,-,-,-,…D.1,2,3,4,…,30【解析】选C.数列1,,,,…是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减数列;数列sin ,sin ,sin ,sin ,…是无穷数列,但它既不是递增数列,又不是递减数列;数列-1,-,-,-,…是无穷数列,也是递增数列;数列1,2,3,4,…,30是递增数列,但不是无穷数列.【加练·固】下列数列(1)1,2,22,23,…,263;(2)0,10,20,30,…,1 000;(3)2,4,6,8,10,…;(4)-1,1,-1,1,-1,…;(5)7,7,7,7,…;(6),,,,….其中有穷数列是________,无穷数列是________,递增数列是________,递减数列是________,摆动数列是________,常数列是________.(填序号) 【解析】根据数列的概念知有穷数列是(1)(2),无穷数列是 (3)(4)(5)(6),递增数列是(1)(2)(3),递减数列是(6),摆动数列是 (4),常数列是(5).答案:(1)(2)　(3)(4)(5)(6)　(1)(2)(3)　(6)　(4)　(5)类型二　观察法写出数列的通项公式【典例】1.(2020·徐州高一检测)数列3,6,11,20,…的一个通项公式为 (　　)A.an=3n       B.an=n(n+2)C.an=n+2n       D.an=2n+12.写出下列数列的一个通项公式:(1),2,,8,,…;(2)1,-3,5,-7,9,…;(3)9,99,999,9 999,…;(4),,,,…;(5),,,,…;(6)4,0,4,0,4,0,….【思维·引】1.根据特点,观察、分析,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系,归纳出一个通项公式即可.2.首先要熟悉一些常见数列的通项公式,然后对于复杂数列的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发现,要将数列各项的结构形式加以变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.【解析】1.选C.依题意,a1=3=1+21;a2=6=2+22;a3=11=3+23;a4=20=4+24;…,所以an=n+2n.2.(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察:,,,,,…,所以,它的一个通项公式为an=.(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(3)各项加1后,分别变为10,100,1 000,10 000,…此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,分子的后一部分是减去一个从1开始的自然数,综合得原数列的一个通项公式为an==.(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=(-1)n·.(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项公式,即an=又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通项公式又可表示为an=2+2×(-1)n+1.【素养·探】在与观察法写出数列的通项公式有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过研究数列的前几项与项的序号之间的关系,归纳出数列的通项公式.将本例2(6)的数列改为“3,5,3,5,3,5,…”,如何写出其通项公式?【解析】此数列的奇数项为3,偶数项为5,故通项公式可写为an=此数列两项3与5的平均数为=4,奇数项为4-1,偶数项为4+1,故通项公式还可写为an=4+(-1)n.【类题·通】　(1)用观察法求数列通项公式的策略(2)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号问题.(3)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.【习练·破】写出下列数列的一个通项公式:(1)0,3,8,15,24,…;(2)1,2,3,4,…;(3)1,11,111,1 111,….【解析】(1)观察数列中的数,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,所以它的一个通项公式是an=n2-1(n∈N+).(2)此数列的整数部分1,2,3,4,…恰好是序号n,分数部分与序号n的关系为,故所求的数列的一个通项公式为an=n+=(n∈N+).(3)原数列的各项可变为×9,×99,×999,×9 999,…,易知数列9,99,999,9 999,…的一个通项公式为an=10n-1,所以原数列的一个通项公式为an=(10n-1)(n∈N+).【加练·固】根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1) 3,5,7,9,11,13,…; (2), ,,,, …;(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,…; (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9,…;(5) 2, -6, 12, -20, 30, -42,….【解析】(1)从3开始的奇数列,an=2n+1.(2)分子为偶数,分母为相邻两奇数的积an=;(3)an=或an=; 　(4) 将数列变形为1+0, 2+1, 3+0, 4+1, 5+0, 6+1, 7+0, 8+1, …, 所以an=n+;(5) 将数列变形为1×2, -2×3, 3×4, -4×5, 5×6,…,所以an=(-1)n+1n(n+1).类型三　数列通项公式的简单应用【典例】已知数列{an}的通项公式为an=.(1)求a10.(2)判断是否为该数列中的项.若是,它为第几项?若不是,请说明理由.(3)求证:0<an<1.【思维·引】(1)将n=10代入{an}的通项公式即可求a10.(2)令an=,若n为正整数,则是{an}的项,否则,不是{an}的项.(3)分离常数后可证.【解析】(1)根据题意可得a10==.(2)令an=,即=,解得n=3,所以为数列{an}中的项,为第3项.(3)由题知an==1-,因为n∈N+,所以3n+1>3,所以0<<1,所以0<1-<1,即0<an<1.【类题·通】1.利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.2.判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程解为正整数则是数列的一项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列的一项.【习练·破】数列{an}的通项公式为an=30+n-n2.(1)-60是否是{an}中的一项?(2)当n分别取何值时,an=0,an>0,an<0?【解析】(1)假设-60是{an}中的一项,则-60=30+n-n2.解得n=10或n=-9(舍去).所以-60是{an}的第10项.(2)分别令30+n-n2=0;30+n-n2>0;30+n-n2<0,解得n=6;0<n<6;n>6,即n=6时,an=0;当0<n<6且n∈N+时,an>0;当n>6且n∈N+时,an<0.【加练·固】已知数列{an}的通项公式为an=.(1)写出数列的第4项和第6项.(2)试问是该数列的项吗?若是,是第几项?若不是,请说明理由.【解析】(1)因为an=,所以a4==,a6==.(2)令=,则n2+3n-40=0,解得n=5或n=-8,注意到n∈N+,故将n=-8舍去,所以是该数列的第5项.课堂检测·素养达标1.有下列命题:①数列,,,,…的一个通项公式是an=;②数列的图象是一群孤立的点;③数列1,-1,1,-1,…与数列-1, 1,-1,1,…是同一数列;④数列,,…,是递增数列.其中正确命题的个数为 (　　)A.1    B.2    C.3    D.0【解析】选A.由通项公式知a1=≠,故①不正确;易知②正确;由于两数列中数的排列次序不同,因此不是同一数列,故③不正确;④中的数列为递减数列,所以④不正确.2.数列,,2,,…的一个通项公式是 (　　)A.an= B.an=C.an= D.an=【解析】选B.因为数列,,2,,…的第三项可写成,这样,每一项都是含根号的数,且每一个被开方数比前一项的被开方数多3,所以an=.3.在数列{an}中,an=51-n,则a3等于________. 【解析】由已知得a3=51-3=.答案:4.(2020·南通高一检测)在数列{an}中,已知an=,n∈N+,则是数列中的第________项. 【解析】根据题意,数列{an}中,已知an=,若=,即n2+n-1=19,解得:n=4或-5(舍).答案:4【新情境·新思维】大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,求该数列的第18项.【解析】由题意得,偶数项分别为2,8,18,32,50,…可发现规律为:2=2×1=2×12=2×,8=2×4=2×22=2×,18=2×9=2×32=2×,32=2×16=2×42=2×,50=2×25=2×52=2×,…则该数列第18项为2×=2×92=2×81=162.