数学选择性必修 第三册5.4 数列的应用学案设计

5.4　数列的应用

关键能力·素养形成

类型一　等差数列在实际问题中的应用

【典例】1.(2020·驻马店高二检测)朱世杰是中国历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千六百二十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多八人.其大意为“官府陆续派遣1 624人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人”,则在该问题中的1 624人全部派遣到位需要的天数为

(　　)

A.12　 B.14　 C.16　 D.18

2.(2020·全国Ⅱ卷) 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)              (　　)

A.3 699块 B.3 474块 C. 3 402块 D.3 339块

3.(2020·烟台高二检测)《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章,收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目:“今有五人分五钱,且五人所得

钱按序等次差,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”在此题中,任意两人所得的最大差值为多少?

【解析】1.选B.根据题意设每天派出的人数组成数列{an},分析可得数列{an}是首项a1=64,公差d=8的等差数列,设1 624人全部派遣到位需要的天数为n,则64n+×8=1 624,由n为正整数,解得n=14.

2.选C.设每一层有n环,由题可知从内到外每环的扇面形石板数之间构成等差数列,且公差d=9,首项a1=9,由等差数列的性质可知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,且-=n2d, 由题意得qn2=729,所以n=9,则三层共有扇面形石板为S3n=S27=27×9+×9=3 402(块).

3.设每人分到的钱数构成等差数列{an},公差d>0,由题意可得a1+a2+a3=a4+a5,S5=5,

故3a1+3d=2a1+7d,5a1+10d=5,

解可得a1=,d=,

故任意两人所得的最大差值4d=.

【类题·通】

关于等差数列在实际问题中的应用

首先注意递增(递减)方式,一般按照一定数值递增(递减)的为等差数列;其次注意分析数列的首项、公差、项数,是求和还是求项.

类型二　等比数列在实际问题中的应用

【典例】已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO.它指的是,在自然状况下(没有外力介入,同时所有人都没有免疫力),一个感染到某种传染病的人,会把疾病传染给多少人的平均数.它的简单计算公式是RO=1+确诊病例增长率×系列间隔,其中系列间隔是指在一个传播链中,两例连续病例的间隔时间(单位:天).根据统计,确诊病例的平均增长率为40%,两例连续病例的间隔时间的平均数5天,根据以上RO数据计算:(1)设第n轮的感染人数为an,求出an的表达式,并说明数列的特征;

(2)若甲得这种传染病,则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为多少?

【思维·引】(1)首先根据公式计算出RO,再根据疾病传染的方式求an,并判断数列的特征.

(2)根据数列知识求和.

【解析】(1)由题意知,RO=1+40%×5=3,

第n轮的感染人数为an=3×3n-1=3n,

可以看出,是等比数列.

(2)5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为:

3+32+33+34+35==363(人).

　【类题·通】

　关于等比数列在实际问题中的应用

(1)首先注意增长(衰减)方式,一般按照一定比例倍增(倍减)的为等比数列;其次注意分析数列的首项、公比、项数,是求和还是求项.

(2)等额本息还款法中的数量关系

设贷款时资金A0为现值,利率为r,分m期还清,每一期所还钱数为x,则x=.

【习练·破】

刚上班不久的小明于10月5日在某电商平台上通过零首付购买了一部售价6 000元的手机,约定从下月5日开始,每月5日按等额本息(每期以相同的额度偿还本金和利息)还款a元,1年还清;其中月利率为0.5%,则小明每月还款数a=________元(精确到个位).(参考数据:1.00511≈1.056;1.00512≈1.062;1.00513≈1.067) 

【解析】由题意,小明第1次还款a 元后,还欠本金及利息为6 000(1+0.5%)-a元;

第2次还款a元后,还欠本金及利息为6 000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a元;

第3 次还款a 元后,还欠本金及利息为6 000(1+0.5%)3-a(1+0.5%)2

-a(1+0.5%)-a元;

……则第12 次还款a 元后,还欠本金及利息为6 000(1+0.5%)12-

a(1+0.5%)11-a(1+0.5%)10-…-a(1+0.5%)-a 元;

此时已全部还清,则6 000(1+0.5%)12-a(1+0.5%)11-a(1+0.5%)10-…-a(1+0.5%)-a=0,

即6 000(1+0.5%)12=,

≈≈514 元.

答案:514

类型三　与数列有关的综合性问题

【典例】(2020·杨浦区高二检测)某地出现了虫害,农业科学家引入了“虫害指数”数列{In},{In}表示第n周的虫害的严重程度,虫害指数越大,严重程度越高,为了治理虫害,需要环境整治、杀灭害虫,然而由于人力资源有限,每周只能采取以下两个策略之一;

策略A:环境整治,“虫害指数”数列满足=1.02In-0.20;

策略B:杀灭害虫,“虫害指数“数列满足=1.08In-0.46;

(1)设第一周的虫害指数I1∈[1,8],用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小?

(2)设第一周的虫害指数I1=3,如果每周都采用最优的策略,虫害的危机最快在第几周解除?

【解析】(1)策略A:=1.02In-0.20,

策略B:=1.08In-0.46,

当1.02I1-0.20=1.08I1-0.46时,可得I1=,

当I1=时,两者相等,当I1∈时,策略B的I2更小;

当I1∈(,8]时,策略A的I2更小.

(2)当I1=3时,选择策略B,当In=0时,

则-=·1.08n-1,可得=1.08n-1,所以n=+1≈11,

所以虫害的危机最快在第11周解除.

【类题·通】

关于数列在实际问题中的综合应用

首先注意分清涉及的数列是等差数列还是等比数列,其次是注意解题时要结合数列中通项公式、求和公式、递推关系、单调性等知识.

　【习练·破】

　某地为践行绿水青山就是金山银山的理念,大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩,计划每年种植一些树苗,且森林面积的年增长率相同,当面积是原来的2倍时,所用时间是10年.

(1)求森林面积的年增长率;

(2)到今年为止,森林面积为原来的倍,则该地已经植树造林多少年?

(3)为使森林面积至少达到6a亩,至少需要植树造林多少年?(参考数据:lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)

【解析】(1)设森林面积的年增长率为x,

则a(1+x)10=2a,解得x=-1,

所以森林面积的年增长率为:-1;

(2)设已经植树造林n年,则由题意可知:

a(1+x)n=a,所以a×=a,

所以=,所以n=5,所以已经植树造林5年.

(3)设为使森林面积至少达到6a亩,需要植树造林m年,则a(1+x)m≥6a,所以≥6,

所以≥log26==,

所以m≥10×≈26,故为使森林面积至少达到6a亩,至少需要植树造林26年.

课堂检测·素养达标

1.我国北方某地区长期受到沙尘暴的困扰.2019年,为响应党中央提出的“防治土地荒漠化　助力脱贫攻坚战”的号召,当地政府积极行动,计划实现本地区的荒漠化土地面积每年平均比上年减少10%.已知2019年该地区原有荒漠化土地面积为7万平方公里,则2025年该地区的荒漠化土地面积(单位:万平方公里)为

(　　)

A.7×0.94　   7×0.95

C.7×0.96　   7×0.97

【解析】选C.设从2019年后的第n年的沙漠化土地面积为y,则y=7×(1-10%)n,

故2025年的沙漠化土地面积为7×0.96.

2.(教材练习改编)《九章算术》有如下问题:“今有金棰,长五尺,斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?意思是:“现在有一根金棰,长五尺,在粗的一端截下一尺,重4斤;在细的一端截下一尺,重2斤,问各尺依次重多少?”假设金棰由粗到细各尺质量依次成等比数列,则从粗端开始的第三尺的质量是              (　　)

A.2斤  B.2斤  C.2斤  D.3斤

【解析】选A.由题意知,金棰由粗到细各尺质量依次成等比数列,在这个等比数列{an}中,

首项a1=4,则a5=2,

所以a3===2.

即从粗端开始的第三尺的质量是2斤.

3.2019年度,国内某电信企业甲投入科研经费115亿美元,国外一家电信企业乙投入科研经费156亿美元.从2020年开始,若企业甲的科研经费每年增加x%,计划用3年时间超过企业乙的年投入量(假设企业乙每年的科研经费投入量不变).请写出一个不等式来表达题目中所描述的数量关系:________.(所列的不等式无需化简) 

【解析】由题意可得:115(1+x%)3>156.

答案:115(1+x%)3>156

4.假设一个人的日薪按这样的方式增长,第一天发3元,第二天发6元,第三天发12元,……从第二天起每天发的工资是前一天的2倍,则连续十四天后此人日薪总和________(填“大于”等于”或“小于”)4.8万元. 

【解析】一个人的日薪按这样的方式增长:第一天发3元,第二天发6元,第三天发12元,……从第二天起每天发的工资是前一天的2倍,则这个人的日薪构成一个以3为首项,2为公比的等比数列,所以连续十四天后此人日薪总和为S14==49 149(元)>4.8万元.

答案:大于