高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.1 函数的平均变化率学案及答案

第六章　导数及其应用

6.1　导　　数

6.1.1　函数的平均变化率

必备知识·素养奠基

1.函数的平均变化率

(1)定义:一般地,若函数y=f的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f,y2=f,则

①称Δx=x2-x1为自变量的改变量;

②称Δy=y2-y1(或Δf=f-f)为相应的因变量的改变量;

③称=(或=)为函数y=f在以x1,x2为端点的闭区间上的平均变化率,其中“以x1,x2为端点的闭区间”,在x1<x2时指区间,而x1>x2时指的是.

(2)实际意义:在以x1,x2为端点的闭区间上,自变量每增加1个单位,因变量平均将增加个单位.

(3)几何意义:函数在一个区间内的平均变化率,等于这个区间端点对应的函数图像上两点连线的斜率.近似地刻画了函数对应的曲线(即函数图像)在某一区间上的变换趋势,是曲线倾斜程度的“数量化”,曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”.

Δx一定是正的吗?如果用x1和Δx表示x2,那么平均变化率可以怎样表示?

提示:不一定,当x1>x2时是小于0的;x2=x1+Δx,平均变化率表示为=.

2.平均速度与平均变化率

如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h,则物体在(t1<t2时)或(t2<t1时)这段时间内的平均速度为.即物体在某段时间内的平均速度等于x=h在该段时间内的平均变化率.

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

(1)自变量的改变量Δx不能为0.　 (　　)

(2)因变量的改变量Δy一定大于0.　 (　　)

(3)函数的平均变化率不能为0.  (　　)

提示:(1)√.因为规定闭区间,x1≠x2,故Δx不等于0.

(2)×.因变量的改变量Δy可以等于0,也可以小于0.

(3)×.函数的平均变化率可以为0.

2.(教材例题改编)某物体的运动规律是s=s(t),则该物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是              (　　)

A.==　　 B.=

C.=      D.=

【解析】选A.由平均速度的定义可知,物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比.所以==.

3.已知函数y=f(x)=+3,当x由2变到1.5时,函数的增量Δy=________. 

【解析】Δy=f(1.5)-f(2)=-=-1=.

答案:

关键能力·素养形成

类型一　函数的平均变化率(数学抽象、数学运算)

【典例】1.已知函数f(x)=x2+1,当x=2,Δx=0.1时,Δy的值为 (　　)

A.0.40　　 B.0.41　  C.0.43　  D.0.44

2.求函数f(x)=3x2+2在下列区间上的平均变化率.

(1)[x0,x0+Δx];

(2)以x0=2,Δx=0.3为端点的闭区间.

3.求y=f(x)=2x2+1在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0=1,Δx=时平均变化率的值.

【解析】1.选B.因为x=2,Δx=0.1,所以Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2.1)-f(2)

=(2.12+1)-(22+1)=0.41.

2.(1)函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为===6x0+3Δx.

(2)当x0=2,Δx=0.3时,函数y=3x2+2在区间[2,2.3]上的平均变化率为6×2+3×0.3=12.9.

3.函数f(x)=2x2+1在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为=

==4x0+2Δx.

当x0=1,Δx=时,平均变化率为4×1+2×=5.

【类题·通】

　求平均变化率的三步骤

(1)计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1).

(2)计算自变量的改变量Δx=x2-x1.

(3)得平均变化率=.

类型二　物体的平均速度(数学抽象、数学运算)

【典例】已知物体运动位移x cm是时间t s的函数,而且t=0.1时,x=1.2;t=0.6时,x=2.2.

(1)求这个物体在时间段内的平均速度;

(2)估计t=0.3时物体的位移.

【思维·引】(1)利用位移除以时间求平均速度;

(2)将物体的运动看作直线运动,利用直线方程估计物体的位移.

【解析】(1)所求的平均速度为=2(cm/s);

(2)将x在上的图像看成直线,则由(1)可知,直线的斜率为2,且直线过点,因此,x与t的关系可以近似地表示为x-1.2=2.

在上式中令t=0.3,可求得x=1.6 cm.

即物体的位移可以估计为1.6 cm.

　【类题·通】

　关于物体的平均速度

(1)如果已知物体运动的轨迹方程,则可以转化为计算函数的平均变化率来求物体运动的平均速度;

(2)如果物体的运动轨迹未知,只知道在某些时刻的位移,则可以“以直代曲”,将运动轨迹近似看成直线解决相关的问题.

【习练·破】

已知物体运动位移x cm是时间t s的函数,而且t=0.1时,x=4.7;t=0.2时x=4.4.

(1)求这个物体在时间段内的平均速度;

(2)估计t=0.05时物体的位移.

【解析】(1)所求的平均速度为=3(cm/s);

(2)将x在上图像看成直线,则由(1)可知,直线的斜率为-3,且直线过点,因此x与t的关系可以近似地表示为x-4.7=-3.

在上式中令t=0.05,可求得x=4.85 cm.

即物体的位移可以估计为4.85 cm.

类型三　平均变化率的意义及应用(逻辑推理、数学应用)

角度1　比较平均变化率的大小

【典例】已知函数f(x)=3-x2,计算当x0=1,2,3,Δx=时平均变化率的值,并比较函数f(x)=3-x2在哪一点附近的平均变化率最大?

【思维·引】通过计算平均变化率比较大小.

【解析】函数f(x)=3-x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为

=

==-2x0-Δx,

当x0=1,Δx=时,平均变化率的值为-,

当x0=2,Δx=时,平均变化率的值为-,

当x0=3,Δx=时,平均变化率的值为-,

因为->->-,所以函数f(x)=3-x2在x0=1附近的平均变化率最大.

【素养·探】

　本例中,求x0=1和Δx=-0.1时闭区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率.

【解析】函数f(x)=3-x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为===-2x0-Δx,

当x0=1,Δx=-0.1时,平均变化率的值为1.9.

角度2　根据图象判断速度的大小

【典例】汽车行驶的路程s和时间t之间的函数关系图像如图所示,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,,,则三者的大小关系为________. 

【思维·引】根据图像的上升的快慢进行判断.

【解析】==kOA,==kAB,==kBC,而由图像知kOA<kAB<kBC,所以<<.

答案:<<

【类题·通】

关于平均变化率的应用

根据平均变化率的意义,平均变化率可以衡量因变量变化的快慢,以及函数对应曲线倾斜程度的大小.平均变化率绝对值的大小对应于因变量变化快慢、曲线倾斜程度的大小.

【习练·破】

1.质点运动规律为s=2t2+5,则在时间(3,3+Δt)中相应的平均速度等于

(　　)

A.6+Δt　   B.12+Δt+

C.12+2Δt　   D.12

【解析】选C.==12+2Δt.

2.函数f(x)=2x2+1在x=1附近的平均变化率________在x=3附近的平均变化率(填“大于”“小于”“等于”). 

【解析】先求在x=3附近的平均变化率,

k1==

==2Δx+12;

再求在x=1附近的平均变化率可得k2==2Δx+4;因为k1-k2=2Δx+12-

2Δx-4=8>0,所以填“小于”.

答案:小于

3.如图所示,函数y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]这几个区间内,平均变化率最大的一个区间是________. 

【解析】由平均变化率的定义可知,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上的平均变化率分别为,,,结合图像可以发现函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3,x4].

答案:[x3,x4]

课堂检测·素养达标

1.已知函数y=,当x由2变为1.5时,函数值y的增量为 (　　)

A.1　  B.2　  C.   D.

【解析】选C.Δy=-=-1=.

2.函数f(x)=2x在x=1附近(即从1到1+Δx之间)的平均变化率是 (　　)

A.2+Δx     B.2-Δx

C.2　     D.(Δx)2+2

【解析】选C.Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)-2=2Δx.所以==2.

3.函数f(x)=5x-3在区间[a,b]上的平均变化率为________. 

【解析】Δx=b-a,Δy=f(b)-f(a)=5(b-a),==5.

答案:5

4.(教材例题改编)函数f(x)=x2+1在2到2.5之间的平均变化率为________. 

【解析】Δx=2.5-2=0.5,Δy=f(2.5)-f(2)=2.52-22=2.25,==4.5.

答案:4.5

5.已知函数y=x3,当x=1时,=________. 

【解析】因为Δy=(1+Δx)3-13=(Δx)3+3(Δx)2+3Δx,所以=(Δx)2+3Δx+3.

答案:(Δx)2+3Δx+3