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数学2.1 数列的概念与简单表示法评课课件ppt
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这是一份数学2.1 数列的概念与简单表示法评课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了一定顺序排列，每一个数，第一位，数列的分类，序号n，一个式子等内容，欢迎下载使用。
主题1 数列的有关概念①全体自然数按从小到大排成一列数:0,1,2,3,4,….②正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数:1,
③π精确到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排成一列数:3,3.1,3.14,3.141,….④无穷多个1排成一列数:1,1,1,1,1,….
⑤当n分别取1,2,3,4,5,…时,(-1)n的值排成一列数:-1,1,-1,1,-1,….
1.观察上面几列数,它们有什么共同特征?提示:这五列数的共同特征:都是按照一定顺序排列的一列数.2.这5列数,按项的个数来分,可以把数列分为几类?提示:从项数的多少可以把数列分为两类:有穷数列如②和无穷数列如①③④⑤.
3.这5列数,按项的大小又可以把数列分为哪几类?提示:从项的大小可以把数列分为递增数列如①③;递减数列如②;常数列如④;摆动数列如⑤.
结论:1.数列的概念(1)数列:按照_____________的一列数称为数列.(2)项:数列中的_________叫做这个数列的项,排在_______的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项).
(3)表示:数列的一般形式可以写成_______________,简记为____.
a1,a2,a3,…,an…
【对点训练】1.下列叙述正确的是( )A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B.数列0,1,2,3,…是有穷数列C.数列0,1,0,1,…是常数列D.数列 …是递增数列
【解析】选D.数列1,3,5,7与7,5,3,1是不同的两个数列;数列0,1,2,3…是无穷数列;数列0,1,0,1…是摆动数列不是常数列;数列 …是递增数列.
2.已知数列-1,0, …,则 是其( )A.第14项B.第12项C.第10项D.第8项【解析】选B.令 ,化为:5n2-72n+144=0,解得n=12,或n= (舍去).
3.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是 ( )A.1, …B.-1,-2,-3,-4,…C.-1, …D.
【解析】选C.对于A,它是无穷递减数列;对于B,它也是无穷递减数列;D是有穷数列;对于C,既是递增数列又是无穷数列,故C符合题意.
主题2 数列的表示法观察如图所示内容,回答下列问题:
1.在上面的数列中,你能表示项an与项的序号n之间的关系吗?提示:能,an=2n-1.
2.是否任意一个数列的第n项an与序号n之间都能用一个公式an=f(n)来表示?提示:不一定,如 精确到1,0.1,0.01,…的不足近似值构成的数列的第n项an与n之间就无法用一个公式an=f(n)来表示.
结论:1.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与______之间的关系可以用_________来表示,那么这个_____叫做这个数列的通项公式.
2.数列的表示法数列的表示法有三种,分别是_____法、_____法、_____法.
【对点训练】1.下列说法不正确的是( )A.数列可以用图象来表示B.数列的通项公式不唯一C.数列的项不能相等D.数列可以用一群孤立的点表示
【解析】选C.数列的项可以相等,例如数列1,1,2,3,所以C不正确.
2.数列 的一个通项公式为( )A.an=(-1)n· B.an=(-1)n· C.an=(-1)n+1· D.an=(-1)n+1·
【解析】选D.根据分子、分母还有正负号的变化,可知题干中数列的一个通项公式可以为an=(-1)n+1· .
3.根据下面数列{an}的通项公式,写出它的前5项:(1)an= .(2)an=(-1)nn.【解析】(1) .(2)a1=-1,a2=2,a3=-3,a4=4,a5=-5.
类型一 数列的概念与分类【典例1】(1)下列说法正确的是( )A.数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列
C.数列 的第k项是1+ D.数列0,2,4,6,8,…,可记为{2n}
(2)下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( ) 0,sin ,sin π,sin ,sin 2π,…C.-1, …D.1,
【解题指南】(1)根据数列的定义去判断.(2)结合无穷数列与递增数列的定义去判断.
【解析】(1)选C.A中的{1,2,3,5,7}表示集合而不是数列,故A错,B中的两个数列是不同的两个数列,因为1,0, -1,-2这四个数的顺序不一样,所表示的数列也不同,故B错误,数列0,2,4,6,8…可记为{2(n-1)},而不是{2n},故D错.
(2)选C.A中数列是递减数列,B中数列是摆动数列,C中数列是递增数列,又是无穷数列,D中数列是有穷数列,故C正确.
【方法总结】数列分类问题的关注点(1)有穷数列与无穷数列.判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需观察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项,则是有穷数列,否则为无穷数列.
(2)数列的单调性.若满足anan+1 (n∈N*),则是递减数列;若满足an=an+1(n∈N*),则是常数列;若an与an+1(n∈N*)的大小关系不确定时,则是摆动数列.
【跟踪训练】若数列{an}满足an=2n,则数列{an}是( )A.递增数列 B.递减数列C.常数列 D.摆动数列
【解析】选A.an+1-an=2n+1-2n=2n>0,所以an+1>an,即{an}是递增数列.
【补偿训练】已知下列数列:(1)0,0,0,0,0,0;(2)0,-1,2,-3,4,-5,…;(3)0, ;(4)1,0.2,0.22,0.23,…;(5)0,-1,0,…,cs π,….
其中,________是有穷数列,________是无穷数列, ________是递增数列,________是递减数列,________是常数列,________是摆动数列(填序号).
【解析】由数列中项的多少可知(1)是有穷数列, (2)(3)(4)(5)是无穷数列,根据数列单调性的定义知(3)是递增数列,(4)是递减数列,(1)是常数列,(2)(5)是摆动数列.答案:(1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1) (2)(5)
类型二 用观察法求数列的通项公式【典例2】(1)数列 …的一个通项公式是( ) A.an= B.an= C.an= D.an=
(2)(2019·无锡高二检测)观察下列等式,1=12, 2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,则第n个式子为________. 【解题指南】分析数列的前几项,探索变化部分的规律与对应序号间的函数关系式.
【解析】(1)选B.通过观察,各项分母是2n的形式,符号与项数存在(-1)n的关系,所以an= .
(2)根据题意,第一个式子从1开始,左边按顺序相加,有1项,和为12;第二个式子从2开始,有3项,和为32;第三个式子从3开始,有5项,和为52,于是可归纳出,第n个式子从n开始,有2n-1项,和为(2n-1)2,于是答案为: n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2
【方法总结】求数列通项公式的常用方法主要靠观察、比较、归纳、转化、联想等方法.具体关注点为:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;
④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同.对于分式,还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母的关系.
【跟踪训练】 根据数列的前4项,写出下列数列的一个通项公式.(1)0.9,0.99,0.999,0.999 9,….(2) ….(3) ….
【解析】(1)0.9=1-0.1=1-10-1,0.99=1-10-2,0.999=1-10-3,0.999 9=1-10-4,故an=1-10-n(n∈N*).(2)故an=n+ (n∈N*).
(3) 故an= (n∈N*).
【补偿训练】已知数列{an},{bn}的前4项分别为: 写出数列{an},{bn}的通项公式.
【解析】数列{an}中的第n项的分母是项数加1,分子是项数加1的平方再减去1,故an= .数列{bn}中的第n项分母是3n+1,分子是3n-2,故bn= .
类型三 数列通项公式的简单应用【典例3】已知数列{an}的通项公式为an= .(1)写出数列的第4项和第6项.(2)试问 是该数列中的项吗?若是,是第几项?若不是请说明理由.
【解题指南】(1)利用通项公式an= ,分别令n=4与n=6即可求出a4与a6.(2)解答本题的关键是看方程an= 有无正整数解,若有,则该方程的正整数解即为项数,若没有则 不是该数列中的项.
【解析】(1)因为an= ,所以a4= ,a6= .(2) 是该数列中的项,令an= = ,整理得n2+3n-40=0,解得n=5,n=-8(舍),故 是数列{an}中的第5项.
【方法总结】1.利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.
2.判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程解为正整数,则是数列中的一项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列中的一项.
【补偿训练】已知数列{an}的通项公式是an= ,其中n∈N*.(1)写出a10,an+1和 .(2)79 是不是这个数列中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由.
【解析】(1)a10= ,an+1= , .(2)令an= ,整理得n2+n-240=0,解得n=15或n=-16(舍),故79 是该数列中的第15项.
【补偿训练】已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足 f(lg2an)=-2n(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式.(2)讨论数列{an}的单调性,并证明你的结论.
【解析】(1)因为f(x)=2x-2-x,f(lg2an)=-2n,所以有即an- =-2n,所以 +2nan-1=0,解得an=-n± .因为an>0,所以an= -n(n∈N*).
(2)因为 <1,又an>0,所以an+1
主题1 数列的有关概念①全体自然数按从小到大排成一列数:0,1,2,3,4,….②正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数:1,
③π精确到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排成一列数:3,3.1,3.14,3.141,….④无穷多个1排成一列数:1,1,1,1,1,….
⑤当n分别取1,2,3,4,5,…时,(-1)n的值排成一列数:-1,1,-1,1,-1,….
1.观察上面几列数,它们有什么共同特征?提示:这五列数的共同特征:都是按照一定顺序排列的一列数.2.这5列数,按项的个数来分,可以把数列分为几类?提示:从项数的多少可以把数列分为两类:有穷数列如②和无穷数列如①③④⑤.
3.这5列数,按项的大小又可以把数列分为哪几类?提示:从项的大小可以把数列分为递增数列如①③;递减数列如②;常数列如④;摆动数列如⑤.
结论:1.数列的概念(1)数列:按照_____________的一列数称为数列.(2)项:数列中的_________叫做这个数列的项,排在_______的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项).
(3)表示:数列的一般形式可以写成_______________,简记为____.
a1,a2,a3,…,an…
【对点训练】1.下列叙述正确的是( )A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B.数列0,1,2,3,…是有穷数列C.数列0,1,0,1,…是常数列D.数列 …是递增数列
【解析】选D.数列1,3,5,7与7,5,3,1是不同的两个数列;数列0,1,2,3…是无穷数列;数列0,1,0,1…是摆动数列不是常数列;数列 …是递增数列.
2.已知数列-1,0, …,则 是其( )A.第14项B.第12项C.第10项D.第8项【解析】选B.令 ,化为:5n2-72n+144=0,解得n=12,或n= (舍去).
3.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是 ( )A.1, …B.-1,-2,-3,-4,…C.-1, …D.
【解析】选C.对于A,它是无穷递减数列;对于B,它也是无穷递减数列;D是有穷数列;对于C,既是递增数列又是无穷数列,故C符合题意.
主题2 数列的表示法观察如图所示内容,回答下列问题:
1.在上面的数列中,你能表示项an与项的序号n之间的关系吗?提示:能,an=2n-1.
2.是否任意一个数列的第n项an与序号n之间都能用一个公式an=f(n)来表示?提示:不一定,如 精确到1,0.1,0.01,…的不足近似值构成的数列的第n项an与n之间就无法用一个公式an=f(n)来表示.
结论:1.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与______之间的关系可以用_________来表示,那么这个_____叫做这个数列的通项公式.
2.数列的表示法数列的表示法有三种,分别是_____法、_____法、_____法.
【对点训练】1.下列说法不正确的是( )A.数列可以用图象来表示B.数列的通项公式不唯一C.数列的项不能相等D.数列可以用一群孤立的点表示
【解析】选C.数列的项可以相等,例如数列1,1,2,3,所以C不正确.
2.数列 的一个通项公式为( )A.an=(-1)n· B.an=(-1)n· C.an=(-1)n+1· D.an=(-1)n+1·
【解析】选D.根据分子、分母还有正负号的变化,可知题干中数列的一个通项公式可以为an=(-1)n+1· .
3.根据下面数列{an}的通项公式,写出它的前5项:(1)an= .(2)an=(-1)nn.【解析】(1) .(2)a1=-1,a2=2,a3=-3,a4=4,a5=-5.
类型一 数列的概念与分类【典例1】(1)下列说法正确的是( )A.数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列
C.数列 的第k项是1+ D.数列0,2,4,6,8,…,可记为{2n}
(2)下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( ) 0,sin ,sin π,sin ,sin 2π,…C.-1, …D.1,
【解题指南】(1)根据数列的定义去判断.(2)结合无穷数列与递增数列的定义去判断.
【解析】(1)选C.A中的{1,2,3,5,7}表示集合而不是数列,故A错,B中的两个数列是不同的两个数列,因为1,0, -1,-2这四个数的顺序不一样,所表示的数列也不同,故B错误,数列0,2,4,6,8…可记为{2(n-1)},而不是{2n},故D错.
(2)选C.A中数列是递减数列,B中数列是摆动数列,C中数列是递增数列,又是无穷数列,D中数列是有穷数列,故C正确.
【方法总结】数列分类问题的关注点(1)有穷数列与无穷数列.判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需观察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项,则是有穷数列,否则为无穷数列.
(2)数列的单调性.若满足an
【跟踪训练】若数列{an}满足an=2n,则数列{an}是( )A.递增数列 B.递减数列C.常数列 D.摆动数列
【解析】选A.an+1-an=2n+1-2n=2n>0,所以an+1>an,即{an}是递增数列.
【补偿训练】已知下列数列:(1)0,0,0,0,0,0;(2)0,-1,2,-3,4,-5,…;(3)0, ;(4)1,0.2,0.22,0.23,…;(5)0,-1,0,…,cs π,….
其中,________是有穷数列,________是无穷数列, ________是递增数列,________是递减数列,________是常数列,________是摆动数列(填序号).
【解析】由数列中项的多少可知(1)是有穷数列, (2)(3)(4)(5)是无穷数列,根据数列单调性的定义知(3)是递增数列,(4)是递减数列,(1)是常数列,(2)(5)是摆动数列.答案:(1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1) (2)(5)
类型二 用观察法求数列的通项公式【典例2】(1)数列 …的一个通项公式是( ) A.an= B.an= C.an= D.an=
(2)(2019·无锡高二检测)观察下列等式,1=12, 2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,则第n个式子为________. 【解题指南】分析数列的前几项,探索变化部分的规律与对应序号间的函数关系式.
【解析】(1)选B.通过观察,各项分母是2n的形式,符号与项数存在(-1)n的关系,所以an= .
(2)根据题意,第一个式子从1开始,左边按顺序相加,有1项,和为12;第二个式子从2开始,有3项,和为32;第三个式子从3开始,有5项,和为52,于是可归纳出,第n个式子从n开始,有2n-1项,和为(2n-1)2,于是答案为: n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2
【方法总结】求数列通项公式的常用方法主要靠观察、比较、归纳、转化、联想等方法.具体关注点为:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;
④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同.对于分式,还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母的关系.
【跟踪训练】 根据数列的前4项,写出下列数列的一个通项公式.(1)0.9,0.99,0.999,0.999 9,….(2) ….(3) ….
【解析】(1)0.9=1-0.1=1-10-1,0.99=1-10-2,0.999=1-10-3,0.999 9=1-10-4,故an=1-10-n(n∈N*).(2)故an=n+ (n∈N*).
(3) 故an= (n∈N*).
【补偿训练】已知数列{an},{bn}的前4项分别为: 写出数列{an},{bn}的通项公式.
【解析】数列{an}中的第n项的分母是项数加1,分子是项数加1的平方再减去1,故an= .数列{bn}中的第n项分母是3n+1,分子是3n-2,故bn= .
类型三 数列通项公式的简单应用【典例3】已知数列{an}的通项公式为an= .(1)写出数列的第4项和第6项.(2)试问 是该数列中的项吗?若是,是第几项?若不是请说明理由.
【解题指南】(1)利用通项公式an= ,分别令n=4与n=6即可求出a4与a6.(2)解答本题的关键是看方程an= 有无正整数解,若有,则该方程的正整数解即为项数,若没有则 不是该数列中的项.
【解析】(1)因为an= ,所以a4= ,a6= .(2) 是该数列中的项,令an= = ,整理得n2+3n-40=0,解得n=5,n=-8(舍),故 是数列{an}中的第5项.
【方法总结】1.利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.
2.判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程解为正整数,则是数列中的一项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列中的一项.
【补偿训练】已知数列{an}的通项公式是an= ,其中n∈N*.(1)写出a10,an+1和 .(2)79 是不是这个数列中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由.
【解析】(1)a10= ,an+1= , .(2)令an= ,整理得n2+n-240=0,解得n=15或n=-16(舍),故79 是该数列中的第15项.
【补偿训练】已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足 f(lg2an)=-2n(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式.(2)讨论数列{an}的单调性,并证明你的结论.
【解析】(1)因为f(x)=2x-2-x,f(lg2an)=-2n,所以有即an- =-2n,所以 +2nan-1=0,解得an=-n± .因为an>0,所以an= -n(n∈N*).
(2)因为 <1,又an>0,所以an+1
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