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高中数学人教版新课标A必修52.2 等差数列课文内容ppt课件
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这是一份高中数学人教版新课标A必修52.2 等差数列课文内容ppt课件，共51页。PPT课件主要包含了同一个常数等内容，欢迎下载使用。
主题1 等差数列的概念1.观察下面几组数列,思考每个数列从第二项起每一项与前一项的差满足什么条件?(1)2,4,6,8,10,12,…(2)1,1,1,1,1,1,…
(3)1,3,5,7,9,11,…提示:上述每个数列从第二项起每一项与前一项的差都等于同一个常数.
2.若满足上述条件的数列我们称之为等差数列,试判断满足2A=a+b的三个数a,A,b成等差数列吗?提示:因为2A=a+b,所以A-a=b-A,故a,A,b成等差数列.
结论:1.等差数列(1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于___________,那么这个数列就叫做等差数列.
(2)公差:这个_____叫做等差数列的公差,通常用字母__表示.
2.等差中项若三个数a,A,b构成等差数列,则A叫做a,b的等差中项,并且A= .
【对点训练】1.已知a=1,b=3,则a,b的等差中项为( ) A.1B.2C.3D.4【解析】选B. .
2.下列数列是等差数列的是( )A. B.C.1,-1,1,-1 D.0,0,0,0
【解析】选D.因为 ,故排除A;又 ,故排除B;又-1-1≠1-(-1),故排除C.
3.lg( )与lg( )的等差中项是________. 【解析】等差中项A=答案:0
主题2 等差数列的通项公式1.由等差数列的定义知a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d, a4=a3+d=a1+3d……由此你能写出an与n,d的关系式吗?提示:an=a1+(n-1)d.
2.除了上述方法外,你还能用其他方法推导等差数列的通项公式吗?提示:能.方法如下:因为
将以上(n-1)个等式两边分别相加,可得an-a1=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d.
结论: 等差数列的通项公式(1)条件:等差数列{an}的首项为a1,公差为d.(2)通项公式:____________.
an=a1+(n-1)d
【对点训练】1.在等差数列{an}中,a2=-5,a6=a4+6,则a1等于( )A.-9 B.-8 C.-7 D.-4
【解析】选B.方法一:由题意,得 解得a1=-8.
方法二:由an=am+(n-m)d(m,n∈N*),得d= ,所以d= =3,a1=a2-d=-8.
2.已知等差数列{an}的通项公式为an=3-4n,则数列{an}的首项与公差分别是( )A.1,4 B.-1,-4 C.4,1D.-4,-1【解析】选B.当n=1时,a1=-1,当n=2时,a2=3-4×2=-5,所以公差d=a2-a1=-4.
3.等差数列{an}中,首项a1=3,公差d=3,若an=2 016,则n=________. 【解析】由题意知,an=a1+(n-1)d=3+3(n-1)=2 016,解得n=672.答案:672
类型一 等差数列的判定与证明【典例1】已知数列{an}满足a1=4,an=4- (n>1,n∈N*),记bn= ,试判断数列{bn}是否为等差数列?说明理由.
【解题指南】欲判断数列{bn}是否为等差数列,只需说明bn+1-bn为常数是否成立.
【解析】数列{bn}是等差数列.因为bn+1-bn= 又b1= 所以数列{bn}是以 为首项, 为公差的等差数列.
【方法总结】1.定义法判定等差数列(1)条件:an+1-an=d(常数)(n∈N*)或an-an-1=d(常数) (n>1,n∈N*).(2)结论:{an}是等差数列.(3)应用范围:通常用于解答题.
2.通项公式法判定等差数列(1)条件:数列{an}的通项公式满足函数关系式an=kn+b(k,b是常数).(2)结论:{an}是等差数列.(3)应用范围:通常用于选择、填空题.
【跟踪训练】已知a,b,c成等差数列,那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列?
【解析】因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.又因为a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0,所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a).所以a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差数列.
【补偿训练】若数列{an}的通项公式为an=10+lg 2n (n∈N*),求证:数列{an}为等差数列.
【证明】因为an=10+lg 2n=10+nlg 2,所以an+1=10+(n+1)lg 2.所以an+1-an=[10+(n+1)lg 2]-(10+nlg 2)=lg 2(n∈N*).所以数列{an}为等差数列.
类型二 等差中项及其应用【典例2】(1)等差数列1+x,2x+2,5x+1,…,的第四项等于( )A.10 B.6 C.8 D.12(2)在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列.
【解题指南】(1)根据等差中项的定义,求出x的值,再求第四项.(2)根据5个数成等差数列,利用等差中项的计算公式求解.
【解析】(1)选C.由题意可得,(1+x)+(5x+1)=2(2x+2)解得x=1,所以这个数列为2,4,6,8,…,即第四项为8.
(2)因为-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是-1与7的等差中项,则b= =3,又a是-1与3的等差中项,所以a= =1.又c是3与7的等差中项,所以c= =5.所以该数列为-1,1,3,5,7.
【方法总结】等差中项的求法及应注意的两个问题(1)求法:已知实数a,b,求a,b的等差中项A,只需求出a与b 的算术平均数即可,即A= .
(2)注意:①唯一性:任意两个常数存在唯一的等差中项;②任意性:等差数列中不连续的三项,如ak-s,ak,ak+s中,ak是ak-s与ak+s的等差中项,因为其下标k-s,k,k+s成等差数列.
提醒:等差数列中项的下标成等差数列,相应项也成等差数列.
【跟踪训练】 已知数列8,a,2,b,c是等差数列,则a,b,c的值分别为________,________,________.
【解析】因为8,a,2,b,c是等差数列,所以 解得 答案:5 -1 -4
类型三 等差数列的通项公式及应用【典例3】已知等差数列{an},满足a2+a3+a4=18, a2a3a4=66.求数列{an}的通项公式.
【解题指南】三数a,b,c成等差数列的条件是b= (或2b=a+c),可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数列,可证2an+1=an+an+2(n∈N*).
【解析】在等差数列{an}中,因为a2+a3+a4=18,所以3a3=18,a3=6.所以 解得
当 时,a1=16,d=-5.an=a1+(n-1)d=16+(n-1)·(-5)=-5n+21.当 时,a1=-4,d=5.an=a1+(n-1)d=-4+(n-1)·5=5n-9.
【方法总结】求等差数列通项公式的四个步骤
【跟踪训练】 在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.设bn= .(1)证明:数列{bn}是等差数列.(2)求数列{an}的通项公式.
【解析】(1)由已知an+1=2an+2n得bn+1= = = +1=bn+1.又b1=a1=1,因此{bn}是首项为1,公差为1的等差数列.(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn=n,又bn= ,所以数列{an}的通项公式为an=n·2n-1.
【补偿训练】已知等差数列{an}中,a1
【解析】(1)因为 即 解得 故an=-2+2(n-1)=2n-4.
(2)268是此数列中的项.令an=2n-4=268得2n=272,故n=136.因此268是此数列中的第136项.
主题1 等差数列的概念1.观察下面几组数列,思考每个数列从第二项起每一项与前一项的差满足什么条件?(1)2,4,6,8,10,12,…(2)1,1,1,1,1,1,…
(3)1,3,5,7,9,11,…提示:上述每个数列从第二项起每一项与前一项的差都等于同一个常数.
2.若满足上述条件的数列我们称之为等差数列,试判断满足2A=a+b的三个数a,A,b成等差数列吗?提示:因为2A=a+b,所以A-a=b-A,故a,A,b成等差数列.
结论:1.等差数列(1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于___________,那么这个数列就叫做等差数列.
(2)公差:这个_____叫做等差数列的公差,通常用字母__表示.
2.等差中项若三个数a,A,b构成等差数列,则A叫做a,b的等差中项,并且A= .
【对点训练】1.已知a=1,b=3,则a,b的等差中项为( ) A.1B.2C.3D.4【解析】选B. .
2.下列数列是等差数列的是( )A. B.C.1,-1,1,-1 D.0,0,0,0
【解析】选D.因为 ,故排除A;又 ,故排除B;又-1-1≠1-(-1),故排除C.
3.lg( )与lg( )的等差中项是________. 【解析】等差中项A=答案:0
主题2 等差数列的通项公式1.由等差数列的定义知a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d, a4=a3+d=a1+3d……由此你能写出an与n,d的关系式吗?提示:an=a1+(n-1)d.
2.除了上述方法外,你还能用其他方法推导等差数列的通项公式吗?提示:能.方法如下:因为
将以上(n-1)个等式两边分别相加,可得an-a1=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d.
结论: 等差数列的通项公式(1)条件:等差数列{an}的首项为a1,公差为d.(2)通项公式:____________.
an=a1+(n-1)d
【对点训练】1.在等差数列{an}中,a2=-5,a6=a4+6,则a1等于( )A.-9 B.-8 C.-7 D.-4
【解析】选B.方法一:由题意,得 解得a1=-8.
方法二:由an=am+(n-m)d(m,n∈N*),得d= ,所以d= =3,a1=a2-d=-8.
2.已知等差数列{an}的通项公式为an=3-4n,则数列{an}的首项与公差分别是( )A.1,4 B.-1,-4 C.4,1D.-4,-1【解析】选B.当n=1时,a1=-1,当n=2时,a2=3-4×2=-5,所以公差d=a2-a1=-4.
3.等差数列{an}中,首项a1=3,公差d=3,若an=2 016,则n=________. 【解析】由题意知,an=a1+(n-1)d=3+3(n-1)=2 016,解得n=672.答案:672
类型一 等差数列的判定与证明【典例1】已知数列{an}满足a1=4,an=4- (n>1,n∈N*),记bn= ,试判断数列{bn}是否为等差数列?说明理由.
【解题指南】欲判断数列{bn}是否为等差数列,只需说明bn+1-bn为常数是否成立.
【解析】数列{bn}是等差数列.因为bn+1-bn= 又b1= 所以数列{bn}是以 为首项, 为公差的等差数列.
【方法总结】1.定义法判定等差数列(1)条件:an+1-an=d(常数)(n∈N*)或an-an-1=d(常数) (n>1,n∈N*).(2)结论:{an}是等差数列.(3)应用范围:通常用于解答题.
2.通项公式法判定等差数列(1)条件:数列{an}的通项公式满足函数关系式an=kn+b(k,b是常数).(2)结论:{an}是等差数列.(3)应用范围:通常用于选择、填空题.
【跟踪训练】已知a,b,c成等差数列,那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列?
【解析】因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.又因为a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0,所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a).所以a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差数列.
【补偿训练】若数列{an}的通项公式为an=10+lg 2n (n∈N*),求证:数列{an}为等差数列.
【证明】因为an=10+lg 2n=10+nlg 2,所以an+1=10+(n+1)lg 2.所以an+1-an=[10+(n+1)lg 2]-(10+nlg 2)=lg 2(n∈N*).所以数列{an}为等差数列.
类型二 等差中项及其应用【典例2】(1)等差数列1+x,2x+2,5x+1,…,的第四项等于( )A.10 B.6 C.8 D.12(2)在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列.
【解题指南】(1)根据等差中项的定义,求出x的值,再求第四项.(2)根据5个数成等差数列,利用等差中项的计算公式求解.
【解析】(1)选C.由题意可得,(1+x)+(5x+1)=2(2x+2)解得x=1,所以这个数列为2,4,6,8,…,即第四项为8.
(2)因为-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是-1与7的等差中项,则b= =3,又a是-1与3的等差中项,所以a= =1.又c是3与7的等差中项,所以c= =5.所以该数列为-1,1,3,5,7.
【方法总结】等差中项的求法及应注意的两个问题(1)求法:已知实数a,b,求a,b的等差中项A,只需求出a与b 的算术平均数即可,即A= .
(2)注意:①唯一性:任意两个常数存在唯一的等差中项;②任意性:等差数列中不连续的三项,如ak-s,ak,ak+s中,ak是ak-s与ak+s的等差中项,因为其下标k-s,k,k+s成等差数列.
提醒:等差数列中项的下标成等差数列,相应项也成等差数列.
【跟踪训练】 已知数列8,a,2,b,c是等差数列,则a,b,c的值分别为________,________,________.
【解析】因为8,a,2,b,c是等差数列,所以 解得 答案:5 -1 -4
类型三 等差数列的通项公式及应用【典例3】已知等差数列{an},满足a2+a3+a4=18, a2a3a4=66.求数列{an}的通项公式.
【解题指南】三数a,b,c成等差数列的条件是b= (或2b=a+c),可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数列,可证2an+1=an+an+2(n∈N*).
【解析】在等差数列{an}中,因为a2+a3+a4=18,所以3a3=18,a3=6.所以 解得
当 时,a1=16,d=-5.an=a1+(n-1)d=16+(n-1)·(-5)=-5n+21.当 时,a1=-4,d=5.an=a1+(n-1)d=-4+(n-1)·5=5n-9.
【方法总结】求等差数列通项公式的四个步骤
【跟踪训练】 在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.设bn= .(1)证明:数列{bn}是等差数列.(2)求数列{an}的通项公式.
【解析】(1)由已知an+1=2an+2n得bn+1= = = +1=bn+1.又b1=a1=1,因此{bn}是首项为1,公差为1的等差数列.(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn=n,又bn= ,所以数列{an}的通项公式为an=n·2n-1.
【补偿训练】已知等差数列{an}中,a1
【解析】(1)因为 即 解得 故an=-2+2(n-1)=2n-4.
(2)268是此数列中的项.令an=2n-4=268得2n=272,故n=136.因此268是此数列中的第136项.
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