人教版新课标A必修52.2 等差数列习题ppt课件

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类型一　求等差数列前n项和的最值【典例1】在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求{an}的前n项和Sn的最大值.
【解题指南】解答本题方法一:可先由条件求出公差d,进而求出等差数列{an}的前n项和,然后借助二次函数知识求Sn的最大值.方法二:先由 求出取最大值时n的值再求和.
【解析】方法一:由题意得 即 所以Sn=25n+ ·(-2)=-(n-13)2+169.故当n=13时,Sn有最大值169.
方法二:由方法一知 所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.由 得 即 ≤n≤ ,n∈N*,所以n=13时,Sn有最大值S13=169.
【方法总结】求等差数列前n项和的最值问题的两种方法(1)通项公式法:在等差数列{an}中,当a1>0,d<0时,Sn有最大值,使Sn取到最大值的n可由不等式组 确定;
当a1<0,d>0时,Sn有最小值,使Sn取到最小值的n可由不等式组 确定.
(2)运用函数思想求最值:因为Sn= 若d≠0,则从二次函数的角度看:当d>0时,Sn有最小值;当d<0时,Sn有最大值;且n取最接近对称轴的正整数时,Sn取到最值.
【跟踪训练】1.(2019·洛阳高一检测)等差数列{an}中,a3+a10=5, a7=1,Sn是数列{an}的前n项和,则Sn的最大值为(　　)　　　　　　　　　　　　　A.1B.19C.60D.70
【解析】选D.设等差数列{an}的首项与公差分别为a1,d,则 解得 所以Sn=na1+ d= ,
二次函数y= 的对称轴为n= ,因为n∈N*,所以当n=7时,Sn(max)=70.
2.(2019·蚌埠高一检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a1>0,n∈N*,若S12>0,S13<0,则数列{|an|}的最小项是________. 
【解析】等差数列{an}的前n项和为Sn,由S12>0,得到S12= =6(a6+a7)>0,由S13<0,得到S13= =13a7<0,即a6+a7>0,a7<0,所以a6>0,a7<0,a6>|a7|,数列为单调递减数列,所以|a7|最小.答案:a7
类型二　求数列{|an|}的前n项和【典例2】(2019·武汉高一检测)数列{an}的前n项和Sn=100n-n2+3(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解题指南】(1)当n=1时,a1=102,利用an=Sn-Sn-1得到通项公式,验证a1得到答案.(2)根据{an}的正负将和分为两种情况,n≤50和n≥51,分别计算得到答案.
【解析】(1)当n=1时,a1=S1=100-1+3=102,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=100n-n2-100(n-1)+(n-1)2=101-2n.综上所述an=
(2)当n≤50时,bn=an,所以Tn=a1+a2+a3+…+an=3+99+97+95+…+101-2n=3+ =3+n(100-n),当n≥51时,bn=-an,
Tn=a1+a2+a3+…+a50-a51-a52-…-an=2T50-(a1+a2+a3+…+an-1+an)=5 006-3-n(100-n)=n2-100n+5 003.综上所述Tn=
【方法总结】处理数列{|an|}的前n项和的思路(1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{|an|}就等于数列{an},可以直接求解.(2)等差数列{an}中,a1>0,d<0,这种数列只有前边有限项为非负数,从某项开始其余所有项都为负数,可把数列{an}分成两段处理.
(3)等差数列{an}中,a1<0,d>0,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负数,同样可以把数列{an}分成两段处理.
【跟踪训练】已知数列{an}的前n项和Sn=n2-6n,则{|an|}的前n项和Tn等于(　　)　　　　 A.6n-n2 B.n2-6n+18
【解析】选C.由Sn=n2-6n得{an}是等差数列,且首项为-5,公差为2,所以an=-5+(n-1)×2=2n-7,当n≤3时,an<0,当n>3时,an>0,Tn=
【补偿训练】Sn表示等差数列{an}的前n项和,且S4=S9,a1=-12.(1)求数列{an}的通项an及Sn.(2)求和:Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.
【解析】(1)设公差为d,因为S4=S9,a1=-12,所以4×(-12)+6d=9×(-12)+36d⇒d=2,所以an=-12+2(n-1)=2n-14,Sn=-12n+n(n-1)=n2-13n.
(2)当n≤7时,Tn=-(a1+a2+a3+…+an)=-Sn=13n-n2,当n≥8时,an>0,Tn=-(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7)+(a8+…+an)=Sn-2S7=n2-13n+84.综上,Tn=
类型三　等差数列的综合应用【典例3】已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且Sn= ,n∈N*.(1)求证:数列{an}是等差数列.(2)设bn= ,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn.
【解题指南】(1)借助已知Sn求an公式,利用等差数列的定义an- =常数来证.(2)先求出Sn,bn,观察发现运用裂项法求和.
【解析】(1)①当n=1时,a1=S1= 解得a1=1.②当n≥2时,由 得2an= 即(an+ )(an- -1)=0,
又因为an+ >0,所以an- =1(n≥2).所以{an}是以1为首项,以1为公差的等差数列.
(2)由(1)知an=n,Sn= 所以bn= 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn
【方法总结】裂项相消法求和当数列的通项是分式形式,分母是两个式子的乘积,且两个式子的差为常数,这时可以把通项分裂成两项之差,如an= an= 在求和时,中间很多项都会相互抵消,只剩首尾若干项,从而求出数列的和.
【跟踪训练】(2019·铜仁高一检测)设数列满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=21- ,求数列{bn}的前n项和Tn的最大值及此时的n值;(3)求数列 的前n项和.
【解析】(1)由题意知,a1+2a2+3a3+…+nan=2n(n∈N*),所以a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2(n-1),n≥2,所以an= (n≥2),当n=1时,a1=2符合通项公式,所以数列的通项公式为an= .
(2)由(1)可得,bn=21-2n,由等差数列的求和公式,可得Tn= =-n2+20n=-(n-10)2+100,所以当n=10时,Tn取得最大值,且T10=100.
(3)由(1)知,令cn= ,Sn为cn的前n项和,则cn= 所以Sn=
【补偿训练】Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0, +2an=4Sn+3.(1)求{an}的通项公式.(2)设bn= ,求数列{bn}的前n项和.
【解题指南】(1)根据an+1=Sn+1-Sn及 +2an=4Sn+3确定{an}的通项公式.(2)利用裂项法求和.
【解析】(1)由 +2an=4Sn+3,可知 +2an+1=4Sn+1+3,可得 +2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)= =(an+1+an)(an+1-an),由于an>0,可得an+1-an=2,又 +2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去),a1=3.所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.
(2)由an=2n+1可知bn= 设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+…+bn