人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和多媒体教学课件ppt

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主题　等差数列的前n项和1.如图,某仓库堆放的一堆钢管,最上面一层有4根钢管,下面每层都比上面一层多一根,最下面一层有9根,怎样计算这堆钢管的总数?
提示:把同样多的钢管倒放在一起,如图,先算出每层的根数——每层都是13根;再计算层数——共6层;所以共 =39根.
2.问题1中的计算方法称为“倒序相加法”,利用“倒序相加法”及等差数列的性质,你能求首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和Sn吗?
提示:根据等差数列的性质有:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…,又Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an　①,Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1　②,①+②得:2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an-1+a2)+(an+a1) =n(a1+an),
所以Sn= 将an=a1+(n-1)d代入上式得:Sn=na1+
结论:等差数列的前n项和公式:
【对点训练】1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则公差d=(　　)　 　　　　　　 　　　　　　 A.7B.3C.2D.6【解析】选B.由S2=4,S4=20,得2a1+d=4,4a1+6d=20,所以d=3.
2.已知等差数列{an}的前n项和Sn,且S4=0,S8=32,则an=(　　)A.4-2nB.3n-9C.4n-12D.2n-5
【解析】选D.设等差数列{an}的公差为d,由题意得 即 解得 所以an=-3+2(n-1)=2n-5.
3.若等差数列{an}的通项公式为an=2n,则Sn=________. 【解析】由题意知a1=2,d=2,所以Sn=na1+ ×2=n2+n.答案:n2+n
类型一　等差数列前n项和的计算【典例1】(1)(2019·江苏高考)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是________. 
(2)(2019·双鸭山高一检测)在等差数列{an}中,已知a5=6,a7=14.①求通项an;②求{an}的前n项和Sn.
【解题指南】(1)根据a2a5+a8=0,S9=27建立方程组求出a1,d,再利用前n项和公式求S8.(2)①设出等差数列的基本量,首项a1和公差d,根据条件列出方程组,解出a1和d,写出an的通项.②由①中求出的基本量,根据等差数列的求和公式,写出Sn.
【解析】(1)由题意可得: 解得: 则S8=8a1+ d=-40+28×2=16.答案:16
(2)①设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,因为a5=6,a7=14,所以 解得 所以an=-10+(n-1)×4=4n-14.
②由①可知,a1=-10,d=4,所以Sn=n×(-10)+ ×4=2n2-12n.
【方法总结】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.
(2)等差数列中基本计算的两个技巧①利用基本量求值.
②利用等差数列的性质解题.
【跟踪训练】设等差数列{an}的公差是d,前n项和是Sn.若a1=1,a5=9,则公差d=________,Sn=________. 
【解析】公差d= =2,前n项和Sn=na1+ d=n+n(n-1)=n2.答案:2　n2
【补偿训练】已知等差数列{an}中,其前n项和为Sn,公差为d.(1)a1= ,S4=20,求S6.(2)a1= ,d=- ,Sn=-15,求n及a12.(3)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d.
【解题指南】利用等差数列通项公式与求和公式列方程求解.
【解析】(1)S4=4a1+ d=4a1+6d=2+6d=20,所以d=3.故S6=6a1+ d=6a1+15d=6× +15×3=48.
(2)因为Sn=n· =-15,整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去).a12= +(12-1)× =-4.
(3)由Sn= =-1 022,解得n=4.又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.
类型二　an与Sn关系的应用【典例2】已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且满足an+1=Sn+2n+1(n∈N*).证明:数列 为等差数列.【解题指南】利用an+1=Sn+1-Sn整理变形.
【证明】由已知,Sn+1-Sn=Sn+2n+1,即Sn+1-2Sn=2n+1,整理得 =1,又因为 所以 是首项为1,公差为1的等差数列.
【误区警示】利用an+1=Sn+1-Sn,n可以取任意正整数.若利用an=Sn-Sn-1,则n≥2,剩下n=1的情况需单独讨论.
【方法总结】由Sn求通项公式an的步骤第一步:令n=1,则a1=S1,求得a1;第二步:令n≥2,则an=Sn-Sn-1;第三步:验证a1与an的关系;(1)若a1适合an,则an=Sn-Sn-1.(2)若a1不适合an,则an=
【知识拓展】Sn与an的关系式的应用 (1)“和”变“项”.首先根据题目条件,得到新式(与条件相邻),然后作差将“和”转化为“项”之间的关系,最后求通项公式.
(2)“项”变“和”.首先将an转化为Sn-Sn-1,得到Sn与Sn-1的关系式然后求Sn.
【跟踪训练】已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n+2,则a1=________, an=________. 
【解析】当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-2n+2-[(n-1)2-2(n-1)+2]=2n-3.综上可得:an= 答案:1　
类型三　等差数列前n项和性质及应用【典例3】(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn且a9=5,则S17=(　　)A.75B.85C.95D.105
(2)(2019·嘉兴高一检测)已知等差数列{an}的前n项和记为Sn,若S4=8,S8=4,则S12=________,S6=________. 
【解题指南】(1)利用性质S2n-1=(2n-1)an求解.(2)利用性质Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等差数列求解.
【解析】(1)选B.S17=17·a9=17×5=85.(2)设等差数列{an}的公差为d.因为等差数列中S4,S8-S4,S12-S8仍成等差数列,所以2(S8-S4)=S4+(S12-S8),2(4-8)=8+(S12-4),所以S12=-12,
因为S4=8,S8=4,所以 所以 所以S6=6a1+ ×6×5d= .答案:-12　
【方法总结】与等差数列前n项和Sn有关的性质(1)数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…,是公差为n2d的等差数列.(2)数列 为等差数列.
(3)等差数列{an}前n项和公式为Sn= ,由等差数列的性质可得:S2m= =m(am+am+1),S2m+1= =(2m+1)am+1.
【知识拓展】奇数项和与偶数项和的性质(1)若等差数列的项数为2n,则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd, (2)若等差数列的项数为2n+1,则S2n+1=(2n+1)an+1,S偶-S奇=-an+1,
【跟踪训练】1.若等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S4=4,S6=12,则S2=(　　)A.-1B.0C.1D.3
【解析】选B.{an}为等差数列,则S2,S4-S2,S6-S4也是等差数列,所以2(4-S2)=S2+(12-4),得S2=0.
2.一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,求该数列的公差d.【解题指南】利用S偶-S奇=nd(项数为2n)求解.
【解析】设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,等差数列的公差为d.由已知条件,得 解得 又因为S偶-S奇=6d,所以d= =5.
拓展类型　等差数列前n项和的实际应用【典例】甲、乙两物体分别从相距70 m的两处相向运动,甲第一分钟运动2 m,以后每分钟比前一分钟多运动1 m,乙每分钟运动5 m.(1)甲、乙几分钟后第一次相遇?
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折回,甲继续每分钟比前一分钟多运动1 m,乙继续每分钟运动5 m,那么开始运动后几分钟第二次相遇?
【解析】把物理问题转化为等差数列求项数问题.(1)设n分钟后第一次相遇,依题意有2n+ +5n=70,整理,得n2+13n-140=0,解得n=7,n=-20(舍去).所以第一次相遇在开始运动后的第7分钟.
(2)设第m分钟后第二次相遇,依题意,有2m+ +5m=3×70,整理,得m2+13m-420=0,解得m=15,m=-28(舍去).所以第二次相遇在开始运动后的第15分钟.
【方法总结】解数列应用题的四个关注点(1)认真审题,准确理解题意,认真筛选,收集和处理问题中提供的信息,善于把问题数学化.(2)弄清题目中的主要已知事项,明确所求的结论是什么.
(3)将实际问题抽象为数列问题,将已知与所求联系起来,根据题意引出满足题意的数学关系式.(4)在解数列应用题时,一般要经历“设—列—解—答”四个环节.
【巩固训练】在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:相逢时良马比驽马多行(　　)A.1 125里B.920里C.820里D.540里
【解析】选D.设良马每天所行路程为{an},则{an}是以103为首项,以13为公差的等差数列,其前n项和为An,驽马每天所行路程为{bn},则{bn}是以97为首项,以- 为公差的等差数列,其前n项和为Bn,设共用n天二马相逢,则An+Bn=2×1 125,所以103n+ ×13+97n+ =2 250,
化简得,n2+31n-360=0,解得n=9,A9=103×9+ ×13=1 395,B9=2 250-1 395=855,A9-B9=1 395-855=540.