2021学年3.1 不等关系与不等式图文ppt课件

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主题1　用不等式表示不等关系在日常生活中,我们经常看到下列标志:
1.你知道各图中的标志有何作用?其含义是什么吗?提示:①限制高度:装载高度h不得超过3.5 m;②最低限速:限制行驶时速v不得低于50 km/h;③限制质量:装载总质量M不得超过10 t;④最高限速:限制行驶时速v不得高于60 km/h.
2.你能用一个数学式子表示上述关系吗?提示:①h≤3.5;②v≥50;③M≤10;④v≤60.3.常见的表示不等关系的关键词有哪些?提示:至少,至多,不少于,最多,不超过等.
结论:不等式中文字语言与数学符号之间的关系
【对点训练】1.完成一项装修工程,请木工每人需付工资500元,请瓦工每人需付工资400元,现工人工资预算为20 000元,设请木工x人,瓦工y人,则x,y满足的关系式是 (　　)A.5x+4y<200B.5x+4y≥200C.5x+4y=200D.5x+4y≤200
【解析】选D.由题意知500x+400y≤20 000,即5x+4y≤200.
2.限速40 km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过40 km/h,写成不等式就是________. 【解析】汽车的速度v不超过40 km/h,即小于等于40 km/h,所以用不等式表示就是v≤40.答案:v≤40
3.某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?
【解析】设杂志社的定价为x元,则销售的总收入为 万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 ≥20.
主题2　实数的运算与其大小的比较1.对于两个实数a,b,其大小关系有哪几种可能?提示:两个实数a,b,其大小关系有三种可能,即:a>b,a=b,a2.(1)如果a-b是正数,那么这两个实数的大小关系如何?反之成立吗?提示:如果a-b是正数,则a>b,反之也成立,用数学语言可描述为:a-b>0⇔a>b.
(2)如果a-b是负数,那么这两个实数的大小关系如何?反之成立吗?提示:如果a-b是负数,则a结论:实数的运算与其大小的关系a-b>0⇔____;a-b=0⇔____;a-b<0⇔____.
【对点训练】1.设M=x2+3,N=3x,则M与N的大小关系为(　　)　 　　　　　　 A.M>N B.M=N C.M3x.即M>N.
2.已知x>1,比较大小:x3+2x________x2+2. 【解析】因为x>1,则x3+2x-(x2+2)=(x-1)(x2+2)>0,故x3+2x>x2+2.答案:>
3.比较x2+5x+6与2x2+5x+9的大小.【解析】因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3≥3.所以x2+5x+6<2x2+5x+9.
类型一　用不等式组表示不等关系【典例1】某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车,有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不等式.
【解题指南】可设出每天派出的甲型卡车、乙型卡车辆数,根据题意建立不等式组.
【解析】设每天派出甲型卡车x辆,乙型卡车y辆.根据题意,应有如下的不等关系:(1)甲型卡车和乙型卡车的数量总和不能超过驾驶员人数.(2)车队每天至少要运360 t矿石.
(3)甲型卡车不能超过4辆,乙型卡车不能超过7辆.要同时满足上述三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示:
【方法总结】将不等关系表示成不等式(组)的思路(1)读懂题意,找准不等式所联系的量.(2)用适当的不等号连接.(3)多个不等关系用不等式组表示.
【跟踪训练】某年夏天,我国遭受特大洪灾,灾区学生小李家中经济发生困难,为帮助小李解决开学费用问题,小李所在班级学生(除小李外)决定承担这笔费用.若每人承担12元人民币,则多余84元;若每人承担10元,则不够;若每人承担11元,又多出40元以上.设该班(除小李外)共有x人,这笔开学费用共y元,请列出x,y应满足的不等式组.
【解析】设该班除小李外共有x人,这笔开学费用共y元,则列出所有的不等式如下:
【补偿训练】配制A,B两种药剂,需要甲、乙两种原料.已知配一剂A种药需甲种原料3克,乙种原料5克;配一剂B种药需甲种原料5克,乙种原料4克.今有甲种原料20克,乙种原料25克,若A,B两种药至少各配一剂,设A,B两种药分别配x,y剂(x,y∈N),请写出x,y应满足的不等关系式.
【解析】由题可知,x,y应满足的不等关系式为:
类型二　比较数(式)的大小【典例2】(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系为 (　　)A.a【解题指南】(1)作差即可判断其大小.(2)解答本题可先作出x与y的差,然后对差式进行变形,直到可判断符号为止.
【解析】(1)选A.因为c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,所以c≥b,b+c-(c-b)=2a2+2,即2b=2a2+2,所以b=a2+1,所以b-a= >0,所以b>a,即c≥b>a.
(2)x-y=(m4-m3n)-(n3m-n4)=m3(m-n)-n3(m-n)=(m-n)(m3-n3)=(m-n)2(m2+mn+n2),因为m≠n,所以(m-n)2>0,又因为m2+mn+n2= >0,所以(m-n)2(m2+mn+n2)>0,所以x-y>0,所以x>y.
【方法总结】作差法比较两个数大小的4个步骤及变形的常用方法(1)作差法比较大小的步骤:作差→变形→定号→结论.(2)变形的方法:①因式分解;②配方;③通分;④分母或分子有理化.
【跟踪训练】若a∈R,p=a2-a+1,q= ,比较p与q的大小.
【解析】p-q=a2-a+1- 由于 >0,a2+1>0,a2≥0,故p-q≥0,即p≥q,当且仅当a=0时,等号成立.
【补偿训练】已知- 【解题指南】本题考查数的大小比较.显然A,B,C,D两两比较太过烦琐.由于a的范围已知,可以从中取一个值,看一看相应的A,B,C,D的大小,然后再比较.
【解析】因为- A>B>D.则只需说明B-D>0,A-B>0,C-A>0即可.因为B-D=(1-a2)-
又- 0,-10,所以B>D.因为A-B=1+a2-1+a2=2a2>0,所以A>B.
因为C-A= 又1+a>0,-a>0, >0,所以 >0,所以C>A.所以C>A>B>D.
【拓展类型】作商法比较两个数的大小已知a>0,b>0,比较aabb与abba的大小.【解题指南】通过作商,比较与1的大小.
【解析】因为a>0,b>0,所以aabb>0,abba>0.所以 讨论:(1)当a>b时, >1,a-b>0,所以 >1.所以aabb>abba.
(2)当a=b时, =1,a-b=0,所以 =1.所以aabb=abba.
(3)当a1,所以aabb>abba.综上可知,当a>0,b>0时,aabb≥abba.
【方法总结】作商法比较两数大小的适用范围作商法比较大小一般适用于含幂式、积式、分式且符号确定的数或式的大小的比较,作商后可变形为能与1比较大小的式子.
【补偿训练】已知a>0,试比较a与 的大小.
【解析】因为a>0,所以 >0,又a÷ =a2.①当01时,a2>1,即a> .③当a=1时,a2=1,即a=