高中数学人教B版 (2019)必修 第四册10.1.2 复数的几何意义教学课件ppt

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册10.1.2 复数的几何意义教学课件ppt，共45页。PPT课件主要包含了激趣诱思，知识点拨，复数的模，答案A，探究一，探究二，探究三，探究四，素养形成，当堂检测等内容，欢迎下载使用。

提出虚数这个假设是需要勇气的,人们在最初时还无法接受,认为它是想象的、不存在的,但这丝毫不影响数学家对虚数的假设和研究.第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利数学家卡丹,他是1545年开始讨论这种数的,但是复数被他称为“诡辩量”.几乎过了100年笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数.但是又过了140年,欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”并用i(imaginary,即虚幻的缩写)来表示它的单位.后来德国数学家高斯给出了复数的定义,并在1830年详细论述了用直角坐标系的复平面内的点表示复数a+bi,使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.
知识点一:复平面的概念和复数的几何意义1.复平面的概念如图所示,点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示.
建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面.在复平面内,x轴上的点对应的都是实数,因此x轴称为实轴;y轴上的点除了原点外,对应的都是纯虚数,为了方便起见,称y轴为虚轴.
2.复数的几何意义一方面,根据复数相等的定义,复数z=a+bi(a,b∈R)被它的实部与虚部唯一确定,即复数z被有序实数对(a,b)唯一确定;另一方面,有序实数对(a,b)在平面直角坐标系中对应着唯一的点Z(a,b).因此不难发现,可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系,即复数z=a+bi↔点Z(a,b).这是复数的一种几何意义.
复数还有另外一种几何意义:在平面直角坐标系中的点Z(a,b)能唯一确定一个以原点O为始点,Z为终点的向量 ,所以复数也可用向量 来表示,这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中以O为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系,即复数z=a+bi↔向量 =(a,b).这是复数的另一种几何意义.
如图所示,设复平面内的点Z表示复数z=a+bi,连接OZ,显然向量 由点Z唯一确定;反过来,点Z(相对于原点来说)也可以由向量 唯一确定.
名师点析 1.复数z=a+bi(a,b∈R)可用复平面内的点Z(a,b)表示,复平面内点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi).2.为了方便,我们常把复数z=a+bi(a,b∈R)说成点Z(a,b)或说成向量 ,并且规定相等向量表示同一复数.
微判断(1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.(　　)(2)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.(　　)答案:(1)√　(2)×
微练习1复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
答案:C解析:z=-1-2i对应点Z(-1,-2),位于第三象限.
微练习2已知复数z=i,复平面内对应点Z的坐标为(　　)A.(0,1)B.(1,0)C.(0,0)D.(1,1)答案:A
微练习3向量a=(1,-2)所对应的复数是(　　)A.z=1+2iB.z=1-2iC.z=-1+2iD.z=-2+i答案:B
结论:(1)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则①z1,z2互为共轭复数的充要条件是a=c且b=-d.②z1,z2互为共轭虚数的充要条件是a=c且b=-d≠0.
(2)任一实数的共轭复数是其本身,反之,若z= ,则z∈R.(3)复数的共轭复数的共轭复数是它本身,即 =z.
微判断(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.(　　)(2)若z1,z2∈C,且z1+z2=0,则z1=z2=0.(　　)(3)两个共轭虚数的差为纯虚数.(　　)(4)在复平面内,两个共轭复数的对应点关于实轴对称.(　　)答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
微练习1已知复数z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,则实数m的值为(　　)　　　　　　　　　　　　A.1或3B.1C.3D.2
微练习2(2020辽宁高二期中)在复平面内,复数z的对应点为(1,-1),则 =　　　　　. 答案:1+i解析:由题可知复数z的对应点为(1,-1),则z=1-i,所以 =1+i.
复数与点的对应例1已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i,其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时,求a的值(或取值范围).(1)在实轴上;(2)在第三象限;(3)在直线y=x上.
解:复数z=(a2-1)+(2a-1)i在复平面内对应的点是(a2-1,2a-1).
例2试确定在复平面内,满足下列条件的复数z=x+yi(x,y∈R)对应的点的集合分别是什么图形.(1)y=2;(2)1≤x≤4;(3)x=y;(4)|z|≤5.
解:(1)复数z对应点的坐标是(x,y),而y=2,所以点的集合是一条与实轴平行的直线.(2)复数对应的点为(x,y),而1≤x≤4,所以点的集合是夹在垂直于实轴的两条直线之间的一个带形区域(含两条边界直线).(3)复数对应的点是(x,y),而x=y,所以点的集合是一条直线,它是复平面的第一、三象限的平分线.(4)复数对应的点是(x,y),而|z|≤5的集合是一个以原点为圆心,半径等于5的圆的内部,包含圆的边界.
反思感悟 (1)确定复数对应的点在复平面内的位置时,关键是理解好复数与该点的对应关系,复数的实部就是该点的横坐标,复数的虚部就是该点的纵坐标,据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程或不等式求解.(2)确定复数对应点的集合的图形时,首先根据复数与点的对应关系找出点的横坐标、纵坐标之间的关系,再结合平面解析几何的相关知识确定图形形状.
延伸探究 在复平面内,将复数改为“z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i”,对应点满足:(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在直线y=x上.分别求实数m的取值范围.
解:复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为m2-m-2,虚部为m2-3m+2.(1)由题意得m2-m-2=0.解得m=2或m=-1.
∴-1A.-10+8iB.10-8iC.0 D.10+8i
反思感悟 (1)以原点为起点的向量对应的复数等于它的终点对应的复数;向量平移后,此向量表示的复数不变,但平移前后起点、终点对应的复数要改变.(2)复数的模从几何意义上来讲,表示复数对应的点到原点的距离,类比向量的模,可以进一步引申|z-z1|表示点Z到点Z1之间的距离.如|z-i|=1表示点Z到点(0,1)之间的距离为1.
变式训练 1在复平面内画出下列复数对应的向量,并求出各复数的模.
复数的模及其计算例4(1)若复数z对应的点在直线y=2x上,且|z|= ,则复数z=(　　)A.1+2i B.-1-2iC.±1±2iD.1+2i或-1-2i(2)设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是(　　)A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-1,1)C.(1,+∞) D.(0,+∞)
答案:(1)D　(2)B
反思感悟 (1)复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离;(2)求复数的模时,应先确定复数的实部与虚部,再套用复数模的计算公式计算求解;(3)若两个复数相等,它们的模一定相等;反之,两个复数的模相等,这两个复数不一定相等;(4)两个复数不一定能比较大小,但复数的模一定可以比较大小.
(2)(2020山西太原高一检测)设复数z满足|z-1|=|z-i|(i为虚数单位),z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　)A.y=-xB.y=xC.(x-1)2+(y-1)2=1D.(x+1)2+(y+1)2=1
解析:(1)∵z为实数,∴a2-a-6=0,∴a=-2或a=3.当a=-2时,z无意义.当a=3时,
(2)设z=x+yi(x,y∈R),∵|z-1|=|z-i|,∴|x+yi-1|=|x+yi-i|,即(x-1)2+y2=x2+(y-1)2,化简得y=x.故选B.
共轭复数及其应用例5已知x-1+yi与i-3x是共轭复数,求实数x与y的值.思路分析根据共轭复数及复数相等的概念列方程组求x,y.
解:i-3x的共轭复数为-3x-i,所以x-1+yi=-3x-i,
变式训练 3(多选题)(2020江苏高二期中)下列关于复数的说法中,正确的是(　　)A.复数z=a+bi(a,b∈R)是实数的充要条件是b=0B.复数z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数的充要条件是b≠0C.若z1,z2互为共轭复数,则在复平面内它们所对应的点关于实轴对称D.若z1,z2互为共轭复数,则在复平面内它们所对应的点关于虚轴对称
答案:AC解析:复数z=a+bi(a,b∈R)是实数的充要条件是b=0,故A正确;若复数z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数,则a=0且b≠0,故B错误;若z1,z2互为共轭复数,设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi(a,b∈R),所对应的点的坐标分别为(a,b),(a,-b),这两点关于实轴对称,故C正确,D错误.故选AC.
与复数的模有关的直观想象、数学抽象问题典例已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.思路分析由题目可获取以下主要信息:①已知复数及其模的范围;②求复数虚部的取值范围.解答本题可利用模的直观想象求解.
(方法二)利用复数的几何意义,由|z|<4知,z在复平面内对应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包括边界),由z=3+ai知z对应的点在直线x=3上,所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合,
1.设复数z=-1+2i(i为虚数单位),则复数z的共轭复数 在复平面上对应的点位于(　　)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:C解析:∵z=-1+2i,∴ =-1-2i,则复数z的共轭复数 在复平面上对应的点的坐标为(-1,-2),位于第三象限.故选C.
2.已知z1=5+3i,z2=5+4i,则下列各式正确的是(　　)A.z1>z2 B.z1|z2|D.|z1|<|z2|
4.(2020苏州大学附属中学高二月考)已知复数z=(m2-4m+3)+(m2-m)i,其中i为虚数单位.(1)若复数z是纯虚数,求实数m的值;(2)复数z在复平面内对应的点在第一象限,求实数m的取值范围.