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人教B版 (2019)必修 第四册11.4.1 直线与平面垂直集体备课课件ppt
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这是一份人教B版 (2019)必修 第四册11.4.1 直线与平面垂直集体备课课件ppt，共54页。PPT课件主要包含了激趣诱思，知识点拨，答案A，性质定理，探究一，探究二，探究三，探究四，素养形成，当堂检测等内容，欢迎下载使用。
英国发明家瓦特(1736—1819)获得了蒸汽机专利后,从一个大学实验员一跃成为博尔顿—瓦特公司的老板,还成为英国皇家学会的会员,引起了许多旧贵族的不满.据说,在一次皇家音乐会上,有个贵族故意嘲讽地对瓦特说:“乐队指挥手里拿的东西在物理学家眼里仅仅是棒子而已.”瓦特回答道:“是的,那的确是根棒子,但是我可以用这样3根棒子组成12个直角,而你做不到.”那个贵族不服气地用3根指挥棒在桌上摆来摆去,可始终无法摆出12个直角.你能拼出12个直角吗?
知识点一:直线与直线所成角一般地,如果a,b是空间中的两条异面直线,过空间中任意一点,分别作与a,b平行或重合的直线a',b',则a'与b'所成角的大小,称为异面直线a与b所成角的大小.为了方便起见,规定空间中两条平行直线所成角的大小为0°,这样一来,空间中任意两条直线所成角的大小都是确定的.两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角.特别地,空间中两条直线l,m所成角的大小为90°时,称l与m垂直,记作l⊥m.显然,若a∥b且b⊥c,则一定有a⊥c.
微练习1设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线( ) A.有无数条B.有两条C.至多有两条D.有一条
解析:我们现在研究的平台是锥空间.如图所示,过点P作直线l'∥l,以l'为轴,与l'成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角.
微练习2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为 .
解析:设棱长为1,因为A1B1∥C1D1,所以∠AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角.
知识点二:直线与平面垂直1.定义:直线l与平面α垂直,指的是直线l与平面α内过它们公共点的所有直线都垂直.2.充要条件:由空间中两条直线相互垂直的定义可知,直线l与平面α垂直的充要条件是直线l与平面α内的任意直线都垂直.这可以用符号表示为l⊥α⇔∀m⊂α,l⊥m.3.画法:通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图所示.
名师点析 对线面垂直定义的理解1.定义中的“任何一条直线”的含义是所有,而不是无数,这里要避免两个错误:(1)一条直线垂直于一个平面内的一条直线,它就垂直于这个平面;(2)一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,它就垂直于这个平面.2.直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形,类似于平面内两条相交直线垂直是两直线相交的特殊情形.
微思考如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,能说这条直线与这个平面垂直吗?这时该直线与这个平面的位置关系是怎样的?提示:如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,这条直线与这个平面不一定垂直,此时该直线与这个平面可能平行,可能相交,也可能在平面内.
微判断(1)若直线l垂直于平面α内任意直线,则有l⊥α.( )(2)垂直于同一条直线的两条直线平行.( )(3)垂直于同一条直线的两条直线垂直.( )(4)垂直于同一个平面的两条直线平行.( )(5)垂直于同一条直线的直线和平面平行.( )答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×
微练习直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能( ) A.平行B.相交C.异面D.垂直答案:A解析:∵直线l⊥平面α,∴l与α相交,又∵m⊂α,∴l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m.故l与m不可能平行.
知识点三:直线与平面垂直的判定定理与推论1.判定定理
名师点析 1.判定定理中三个条件:两个线线垂直和一个线线相交,缺一不可.此定理可简记为线线垂直⇒线面垂直.2.结论及性质定理将线线平行和线面垂直融合在一起,完成了平行与垂直关系的转化.
微练习1一条直线分别垂直于一个平面内的:①三角形的两条边;②梯形的两条边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.其中不能保证该直线与平面垂直的是( ) A.①③B.②C.②④D.①②④答案:C解析:因为线面垂直的判定定理中平面内的两条直线必须相交,而②④中不能确定两条边是否相交,故不能保证该直线与平面垂直,故选C.
微练习2如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E∈平面ABCD,F∈平面A1B1C1D1,且EF⊥平面ABCD.求证:EF∥AA1.
证明:∵AA1⊥AB,AA1⊥AD,且AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴AA1⊥平面ABCD.又∵EF⊥平面ABCD,∴EF∥AA1.
知识点四:直线与平面所成的角1.定义:如果A是平面α外一点,B是平面α内一点,则AB⊥α时,AB是平面α的垂线段.类似地,如果C是平面α内一点,且AC与α不垂直,则称AC是平面α的斜线段(相应地,直线AC称为平面α的斜线,称C为斜足).
因为B为A在平面α内的射影,所以直线BC称为直线AC在平面α内的射影.特别地,∠ACB称为直线AC与平面α所成的角.结论:平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线.
2.规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0°.因此,直线与平面所成的角的范围是[0°,90°].
微练习1如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则直线AB与平面α所成的角是( )A.60° B.45°C.30° D.120°
答案:A解析:∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角,在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cs∠ABO= ,即∠ABO=60°.
微练习2如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于 .
答案:45°解析:因为PA⊥平面ABC,所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB,所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,所以∠PBA=45°,即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.
直线与直线所成角例1如图,P是平面ABC外一点,PA=4,BC=2 ,D,E分别为PC和AB的中点,且DE=3.求异面直线PA和BC所成角的大小.
解:如图,取AC的中点F,连接DF,EF,在△PAC中,∵D是PC的中点,F是AC的中点,∴DF∥PA,同理可得EF∥BC,∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角).在△DEF中,DE=3,
反思感悟 求异面直线所成的角的一般步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.
变式训练 1在四面体A-BCD中,AB=CD,AB与CD成30°角,E,F分别是BC,AD的中点,求EF和AB所成的角.
解:如图,取BD的中点G,连接EG,FG.∵E,F,G分别是BC,AD,BD的中点,
∴∠EGF(或∠EGF的补角)为AB与CD所成的角,又AB与CD成30°角,即∠EGF=30°或150°.∵AB=CD,∴EG=GF,故由等腰三角形EGF知∠GFE=75°或15°.而由FG∥AB知,∠GFE就是EF和AB所成的角.从而EF和AB所成的角为75°或15°.
线面垂直的判定例2 如图所示,Rt△ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
证明:(1)因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.因为AD=BD,又因为SB=SA,SD=SD,所以△ADS≌△BDS.所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.(2)因为BA=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD,AC∩SD=D,所以BD⊥平面SAC.
反思感悟 利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧证明线面垂直时要注意分析几何图形,寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形、菱形或正方形的对角线、直角三角形中的勾股定理及其逆定理等都是找线线垂直的方法.
变式训练 2如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,DD1=2,P为DD1的中点.求证:直线PB1⊥平面PAC.
所以△PB1C是直角三角形,所以PB1⊥PC.同理可得PB1⊥PA.因为PC∩PA=P,所以直线PB1⊥平面PAC.
线面垂直性质定理的应用例3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交,垂足分别为F,E.求证:EF∥BD1.
证明:如图所示,连接AB1,B1C,BD.因为DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DD1⊥AC.又AC⊥BD,DD1∩BD=D,所以AC⊥平面BDD1.又BD1⊂平面BDD1,所以AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C.又AC∩B1C=C,所以BD1⊥平面AB1C.
因为EF⊥AC,EF⊥A1D,又A1D∥B1C,所以EF⊥B1C.又AC∩B1C=C,所以EF⊥平面AB1C.所以EF∥BD1.
变式训练 3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证:(1)MN∥AD1;(2)M是AB的中点.
证明:(1)因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
(2)如图,设AD1与A1D的交点为O,连接ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC,
所以ON∥AM.又因为MN∥OA,∴四边形AMNO为平行四边形.所以ON=AM.
所以M是AB的中点.
线面角例4在正方体ABCD-A1B1C1D1中:(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值;(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
解:(1)∵直线A1A⊥平面ABCD,∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角.
(2)连接A1C1交B1D1于点O,连接OB,在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,∵BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1⊂平面A1B1C1D1,∴BB1⊥A1C1.又BB1∩B1D1=B1,∴A1C1⊥平面BDD1B1,垂足为点O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角,
∴∠A1BO=30°.即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.
反思感悟 求线面角的方法求直线和平面所成角的步骤:①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;②连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
变式训练 4如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为( )
解析:∵AA1⊥平面A1B1C1D1,∴∠AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成角,∵AA1=1,AB=BC=2,∴AC1=3,
逻辑推理、数学运算在求解距离中的应用典例如图所示,已知P为△ABC外一点,PA,PB,PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离.
思路分析方法一:作出点到平面的垂线,进一步求出垂线段的长.方法二:利用等积法转化求解.
解:(方法一)过点P作PO⊥平面ABC于点O,连接AO,BO,CO,所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.因为PA=PB=PC=a,所以△PAO≌△PBO≌△PCO.所以OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心.
方法点睛1.求点到平面距离的基本步骤是:(1)找到或作出要求的距离;(2)使所求距离在某一个三角形中;(3)在三角形中根据三角形的边角关系求出距离.2.求点到平面距离的常用方法:(1)直接过点作面的垂线,求垂线段的长,通常是化归到某一个直角三角形中去求解;(2)转移法:借助于线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离求解;(3)等积法:利用三棱锥的特征选择恰当的底面来求点到面的距离(即棱锥的高).
变式训练 在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,取对角线BD上一点E,连接PE,PE⊥DE,则PE的长为 .
解析:如图所示,连接AE.因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.又因为BD⊥PE,PA∩PE=P,所以BD⊥平面PAE,所以BD⊥AE.
1.(2020上海高二期末)①垂直于同一直线的两条不同的直线平行;②垂直于同一平面的两条不同的直线平行;③平行于同一平面的两条不同的直线平行;④平行于同一直线的两条不同的直线平行.以上4个命题中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案:B解析:对于①,在空间中,垂直于同一直线的两条不同的直线可能平行、相交或异面,故①错误;对于②,由线面垂直的性质可得垂直于同一平面的两条不同的直线平行,故②正确;对于③,平行于同一平面的两条不同的直线可能平行、相交或异面,故③错误;对于④,由平行的传递性可得平行于同一直线的两条不同的直线平行,故④正确.
2.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在的平面,那么MA与BD的位置关系是( )A.平行B.垂直且相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直
答案:C解析:连接AC,因为ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD,则BD⊥MC.因为AC∩MC=C,所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面,因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
3.如图所示,AB是☉O的直径,PA⊥平面☉O,C为圆周上一点,AB=5 cm,AC=2 cm,则点B到平面PAC的距离为 .
解析:连接BC,因为 C为圆周上的一点,AB为直径,所以BC⊥AC.又因为PA⊥平面☉O,BC⊂平面☉O,所以PA⊥BC.又因为PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,点C为垂足,所以线段BC的长度即为点B到平面PAC的距离.在Rt△ABC中,
4.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;(2)求证:AE⊥平面PCD.
(1)解:在四棱锥P-ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.所以PB在平面PAD内的射影为PA,即∠APB为PB和平面PAD所成的角.在Rt△PAB中,AB=PA,故∠APB=45°.
英国发明家瓦特(1736—1819)获得了蒸汽机专利后,从一个大学实验员一跃成为博尔顿—瓦特公司的老板,还成为英国皇家学会的会员,引起了许多旧贵族的不满.据说,在一次皇家音乐会上,有个贵族故意嘲讽地对瓦特说:“乐队指挥手里拿的东西在物理学家眼里仅仅是棒子而已.”瓦特回答道:“是的,那的确是根棒子,但是我可以用这样3根棒子组成12个直角,而你做不到.”那个贵族不服气地用3根指挥棒在桌上摆来摆去,可始终无法摆出12个直角.你能拼出12个直角吗?
知识点一:直线与直线所成角一般地,如果a,b是空间中的两条异面直线,过空间中任意一点,分别作与a,b平行或重合的直线a',b',则a'与b'所成角的大小,称为异面直线a与b所成角的大小.为了方便起见,规定空间中两条平行直线所成角的大小为0°,这样一来,空间中任意两条直线所成角的大小都是确定的.两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角.特别地,空间中两条直线l,m所成角的大小为90°时,称l与m垂直,记作l⊥m.显然,若a∥b且b⊥c,则一定有a⊥c.
微练习1设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线( ) A.有无数条B.有两条C.至多有两条D.有一条
解析:我们现在研究的平台是锥空间.如图所示,过点P作直线l'∥l,以l'为轴,与l'成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角.
微练习2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为 .
解析:设棱长为1,因为A1B1∥C1D1,所以∠AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角.
知识点二:直线与平面垂直1.定义:直线l与平面α垂直,指的是直线l与平面α内过它们公共点的所有直线都垂直.2.充要条件:由空间中两条直线相互垂直的定义可知,直线l与平面α垂直的充要条件是直线l与平面α内的任意直线都垂直.这可以用符号表示为l⊥α⇔∀m⊂α,l⊥m.3.画法:通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图所示.
名师点析 对线面垂直定义的理解1.定义中的“任何一条直线”的含义是所有,而不是无数,这里要避免两个错误:(1)一条直线垂直于一个平面内的一条直线,它就垂直于这个平面;(2)一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,它就垂直于这个平面.2.直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形,类似于平面内两条相交直线垂直是两直线相交的特殊情形.
微思考如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,能说这条直线与这个平面垂直吗?这时该直线与这个平面的位置关系是怎样的?提示:如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,这条直线与这个平面不一定垂直,此时该直线与这个平面可能平行,可能相交,也可能在平面内.
微判断(1)若直线l垂直于平面α内任意直线,则有l⊥α.( )(2)垂直于同一条直线的两条直线平行.( )(3)垂直于同一条直线的两条直线垂直.( )(4)垂直于同一个平面的两条直线平行.( )(5)垂直于同一条直线的直线和平面平行.( )答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×
微练习直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能( ) A.平行B.相交C.异面D.垂直答案:A解析:∵直线l⊥平面α,∴l与α相交,又∵m⊂α,∴l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m.故l与m不可能平行.
知识点三:直线与平面垂直的判定定理与推论1.判定定理
名师点析 1.判定定理中三个条件:两个线线垂直和一个线线相交,缺一不可.此定理可简记为线线垂直⇒线面垂直.2.结论及性质定理将线线平行和线面垂直融合在一起,完成了平行与垂直关系的转化.
微练习1一条直线分别垂直于一个平面内的:①三角形的两条边;②梯形的两条边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.其中不能保证该直线与平面垂直的是( ) A.①③B.②C.②④D.①②④答案:C解析:因为线面垂直的判定定理中平面内的两条直线必须相交,而②④中不能确定两条边是否相交,故不能保证该直线与平面垂直,故选C.
微练习2如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E∈平面ABCD,F∈平面A1B1C1D1,且EF⊥平面ABCD.求证:EF∥AA1.
证明:∵AA1⊥AB,AA1⊥AD,且AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴AA1⊥平面ABCD.又∵EF⊥平面ABCD,∴EF∥AA1.
知识点四:直线与平面所成的角1.定义:如果A是平面α外一点,B是平面α内一点,则AB⊥α时,AB是平面α的垂线段.类似地,如果C是平面α内一点,且AC与α不垂直,则称AC是平面α的斜线段(相应地,直线AC称为平面α的斜线,称C为斜足).
因为B为A在平面α内的射影,所以直线BC称为直线AC在平面α内的射影.特别地,∠ACB称为直线AC与平面α所成的角.结论:平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线.
2.规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0°.因此,直线与平面所成的角的范围是[0°,90°].
微练习1如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则直线AB与平面α所成的角是( )A.60° B.45°C.30° D.120°
答案:A解析:∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角,在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cs∠ABO= ,即∠ABO=60°.
微练习2如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于 .
答案:45°解析:因为PA⊥平面ABC,所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB,所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,所以∠PBA=45°,即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.
直线与直线所成角例1如图,P是平面ABC外一点,PA=4,BC=2 ,D,E分别为PC和AB的中点,且DE=3.求异面直线PA和BC所成角的大小.
解:如图,取AC的中点F,连接DF,EF,在△PAC中,∵D是PC的中点,F是AC的中点,∴DF∥PA,同理可得EF∥BC,∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角).在△DEF中,DE=3,
反思感悟 求异面直线所成的角的一般步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.
变式训练 1在四面体A-BCD中,AB=CD,AB与CD成30°角,E,F分别是BC,AD的中点,求EF和AB所成的角.
解:如图,取BD的中点G,连接EG,FG.∵E,F,G分别是BC,AD,BD的中点,
∴∠EGF(或∠EGF的补角)为AB与CD所成的角,又AB与CD成30°角,即∠EGF=30°或150°.∵AB=CD,∴EG=GF,故由等腰三角形EGF知∠GFE=75°或15°.而由FG∥AB知,∠GFE就是EF和AB所成的角.从而EF和AB所成的角为75°或15°.
线面垂直的判定例2 如图所示,Rt△ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
证明:(1)因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.因为AD=BD,又因为SB=SA,SD=SD,所以△ADS≌△BDS.所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.(2)因为BA=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD,AC∩SD=D,所以BD⊥平面SAC.
反思感悟 利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧证明线面垂直时要注意分析几何图形,寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形、菱形或正方形的对角线、直角三角形中的勾股定理及其逆定理等都是找线线垂直的方法.
变式训练 2如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,DD1=2,P为DD1的中点.求证:直线PB1⊥平面PAC.
所以△PB1C是直角三角形,所以PB1⊥PC.同理可得PB1⊥PA.因为PC∩PA=P,所以直线PB1⊥平面PAC.
线面垂直性质定理的应用例3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交,垂足分别为F,E.求证:EF∥BD1.
证明:如图所示,连接AB1,B1C,BD.因为DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DD1⊥AC.又AC⊥BD,DD1∩BD=D,所以AC⊥平面BDD1.又BD1⊂平面BDD1,所以AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C.又AC∩B1C=C,所以BD1⊥平面AB1C.
因为EF⊥AC,EF⊥A1D,又A1D∥B1C,所以EF⊥B1C.又AC∩B1C=C,所以EF⊥平面AB1C.所以EF∥BD1.
变式训练 3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证:(1)MN∥AD1;(2)M是AB的中点.
证明:(1)因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
(2)如图,设AD1与A1D的交点为O,连接ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC,
所以ON∥AM.又因为MN∥OA,∴四边形AMNO为平行四边形.所以ON=AM.
所以M是AB的中点.
线面角例4在正方体ABCD-A1B1C1D1中:(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值;(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
解:(1)∵直线A1A⊥平面ABCD,∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角.
(2)连接A1C1交B1D1于点O,连接OB,在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,∵BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1⊂平面A1B1C1D1,∴BB1⊥A1C1.又BB1∩B1D1=B1,∴A1C1⊥平面BDD1B1,垂足为点O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角,
∴∠A1BO=30°.即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.
反思感悟 求线面角的方法求直线和平面所成角的步骤:①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;②连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
变式训练 4如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为( )
解析:∵AA1⊥平面A1B1C1D1,∴∠AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成角,∵AA1=1,AB=BC=2,∴AC1=3,
逻辑推理、数学运算在求解距离中的应用典例如图所示,已知P为△ABC外一点,PA,PB,PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离.
思路分析方法一:作出点到平面的垂线,进一步求出垂线段的长.方法二:利用等积法转化求解.
解:(方法一)过点P作PO⊥平面ABC于点O,连接AO,BO,CO,所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.因为PA=PB=PC=a,所以△PAO≌△PBO≌△PCO.所以OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心.
方法点睛1.求点到平面距离的基本步骤是:(1)找到或作出要求的距离;(2)使所求距离在某一个三角形中;(3)在三角形中根据三角形的边角关系求出距离.2.求点到平面距离的常用方法:(1)直接过点作面的垂线,求垂线段的长,通常是化归到某一个直角三角形中去求解;(2)转移法:借助于线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离求解;(3)等积法:利用三棱锥的特征选择恰当的底面来求点到面的距离(即棱锥的高).
变式训练 在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,取对角线BD上一点E,连接PE,PE⊥DE,则PE的长为 .
解析:如图所示,连接AE.因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.又因为BD⊥PE,PA∩PE=P,所以BD⊥平面PAE,所以BD⊥AE.
1.(2020上海高二期末)①垂直于同一直线的两条不同的直线平行;②垂直于同一平面的两条不同的直线平行;③平行于同一平面的两条不同的直线平行;④平行于同一直线的两条不同的直线平行.以上4个命题中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案:B解析:对于①,在空间中,垂直于同一直线的两条不同的直线可能平行、相交或异面,故①错误;对于②,由线面垂直的性质可得垂直于同一平面的两条不同的直线平行,故②正确;对于③,平行于同一平面的两条不同的直线可能平行、相交或异面,故③错误;对于④,由平行的传递性可得平行于同一直线的两条不同的直线平行,故④正确.
2.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在的平面,那么MA与BD的位置关系是( )A.平行B.垂直且相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直
答案:C解析:连接AC,因为ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD,则BD⊥MC.因为AC∩MC=C,所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面,因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
3.如图所示,AB是☉O的直径,PA⊥平面☉O,C为圆周上一点,AB=5 cm,AC=2 cm,则点B到平面PAC的距离为 .
解析:连接BC,因为 C为圆周上的一点,AB为直径,所以BC⊥AC.又因为PA⊥平面☉O,BC⊂平面☉O,所以PA⊥BC.又因为PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,点C为垂足,所以线段BC的长度即为点B到平面PAC的距离.在Rt△ABC中,
4.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;(2)求证:AE⊥平面PCD.
(1)解:在四棱锥P-ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.所以PB在平面PAD内的射影为PA,即∠APB为PB和平面PAD所成的角.在Rt△PAB中,AB=PA,故∠APB=45°.
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