人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数巩固练习

幂　函　数

(15分钟　30分)

1.已知幂函数y=(m2-2m-2)在(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为(　　)

A.-1　　　　  B.3　　　

C.-1或3　　  D.1或-3

【解析】选B.幂函数y=(m2-2m-2)在(0,+∞)上单调递增,所以m2-2m-2=1,

解得m=3或m=-1;又m2+m-1>0,

所以m=3时满足条件,则实数m的值为3.

【补偿训练】

已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm-1在(0,+∞)上单调递减,则m的值为 (　　)

A.-1　　　B.2　　　C.-1或2　  D.-2

【解析】选A.幂函数f(x)=(m2-m-1)xm-1在(0,+∞)上单调递减,

所以　

解得

所以m的值为-1.

2.函数y=的图像是 (　　)

【解析】选B.幂函数过点(1,1),排除A,D,当x>1时,<x.

3.(2020·唐山高一检测)下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是 (　　)

A.y=x-1  B.y=tan x

C.y=x3   D.y=log2x

【解析】选C.y=x-1是非奇非偶函数,A不符合题意;

y=tan x是周期函数,B不符合题意;

y=x3满足条件,C符合题意;

y=log2x是非奇非偶函数,D不符合题意.

4.若幂函数f(x)=xa的图像过点(3,9),设m=,n=,t=-loga3,则m,n,t的大小关系是 (　　)

A.m>t>n  B.n>t>m

C.t>m>n  D.m>n>t

【解析】选D.幂函数f(x)=xa的图像过点(3,9),

所以3a=9,a=2;

所以m==,n==,

t=-loga3=-log23<0,

所以>>-log23,所以m>n>t.

5.已知点在幂函数y=f(x)的图像上,则f(x)的解析式是________,

f=________. 

【解析】设幂函数y=f(x)=xα,α为常数;

把点的坐标代入解析式,

得=,解得α=3,

所以幂函数y=f(x)的解析式为f(x)=x3.

f==-.

答案:f(x)=x3　-

6.已知幂函数f(x)=xα的图像过点,求函数g(x)=(x-1)f(x)在区间上的最小值.

【解析】由幂函数f(x)=xα的图像过点,

可得2α=,解得α=-1,即有f(x)=,

函数g(x)=(x-1)f(x)==1-在区间上单调递增,

所以g(x)的最小值为g=1-2=-1.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分,共20分)

1.(2020·沈阳高一检测)若幂函数f(x)的图像过点(2,),则函数y=f(x)+1-x的最大值为 (　　)

A.1  B.   C.2  D.

【解析】选B.设f(x)=xα,

因为f(x)的图像过点(2,),

所以f(2)=2α=,则α=,

则f(x)=,y=+1-x=-+,故其最大值为.

2.已知幂函数y=f(x)的图像过点(,2),且f(m-2)>1,则m的取值范围是(　　)

A.m<1或m>3   B.1<m<3

C.m<3     D.m>3

【解析】选D.设幂函数f(x)=xα(α为常数),由它的图像过点(,2),可得()α=2,解得α=3,所以f(x)=x3;

再根据f(m-2)>1,得(m-2)3>1,

解得m>3,所以m的取值范围是m>3.

3.若函数f(x)=(m+2)xa是幂函数,且其图像过点(2,4),则函数g(x)=loga(x+m)的单调增区间为              (　　)

A.(-2,+∞)  B.(1,+∞)

C.(-1,+∞)  D.(2,+∞)

【解析】选B.由题意得:m+2=1,解得:m=-1,

故f(x)=xa,将(2,4)代入函数的解析式得,2a=4,解得a=2,故g(x)=loga(x+m)=log2(x-1),令x-1>0,解得x>1,故g(x)在(1,+∞)上单调递增.

4.在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax-的图像可能是 (　　)

【解析】选C.当a<0时,函数y=ax-是减函数,且在y轴上的截距为->0,y=xa在(0,+∞)上是减函数,所以B,D均错误.对于A,C,若a>0,则y=ax-是增函数,且-<0,y=xa在(0,+∞)上是增函数,所以A错误.

二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

5.已知幂函数f(x)的图像经过点,则幂函数f(x)具有的性质有(　　)

A.在其定义域上为增函数

B.在(0,+∞)上为减函数

C.奇函数

D.定义域为R

【解析】选BC.设幂函数f(x)=xa(a为常数),

因为幂函数图像过点(27,),

所以f(x)=,所以由f(x)的性质知,

f(x)是奇函数,定义域为,

在(-∞,0),(0,+∞)上是单调递减函数.

6.若幂函数f=x2m-3没有零点,则f满足 (　　)

A.在定义域上单调递减

B.f在x∈(0,+∞)单调递减

C.关于y轴对称

D.f+f=0

【解析】选BD.函数f(x)=x2m-3为幂函数,所以2m2-6m+5=1,

解得m=1或m=2,

当m=1时,f=x-1,函数没有零点,是奇函数,且满足f+f=0;所以C不正确,D正确,

当m=2时,f=x,函数有零点,不满足题意.

所以,由函数f=x-1的性质可知,A不正确,B正确.

【补偿训练】

(2020·东营高一检测)已知函数f(x)=xα图像经过点(4,2),则下列结论正确的有(　　)

A.函数为增函数

B.函数为偶函数

C.若x>1,则f(x)>1

D.若0<x1<x2,则<f

【解析】选ACD.将点(4,2)代入函数f(x)=xα得:2=4α,则α=.

所以f(x)=,显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,所以A正确.

f(x)的定义域为[0,+∞),

所以f(x)不具有奇偶性,所以B不正确.

当x>1时,>1,即f(x)>1,所以C正确.

当0<x1<x2时,

-f

=-

=-

==-<0.

即<f成立,所以D正确.

三、填空题(每小题5分,共10分)

7.已知xα+x-α=2,x>1,α<0,则xα-x-α=________. 

【解析】因为xα+x-α=2,

则(xα+x-α)2=x2α+x-2α+2=20,

所以x2α+x-2α=18,

所以(xα-x-α)2=x2α+x-2α-2=18-2=16,

因为x>1,α<0,所以xα<x-α,即xα-x-α<0,

所以xα-x-α=-4.

答案:-4

8.(2020·台州高一检测)若函数f(x)同时满足:(1)对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;(2)对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有,<0.

则称函数f(x)为“理想函数”.给出下列四个函数中:

①f(x)=; ②f(x)=x2; ③f(x)=;

④f(x)=则被称为“理想函数”的有________(填相应的序号). 

【解析】若f(x)是“理想函数”,则满足以下两条:

(1)对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0,

即f(-x)=-f(x),则函数f(x)是奇函数;

(2)对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有<0,

(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,所以x1<x2时,f(x1)>f(x2),即函数f(x)是减函数,故f(x)为定义域上的单调递减的奇函数.

①f(x)=在定义域上是奇函数,但不是减函数,所以不是“理想函数”;

②f(x)=x2在定义域上是偶函数,所以不是“理想函数”;

③f(x)=不是奇函数,所以不是“理想函数”;

④f(x)=在定义域R上既是奇函数,又是减函数,所以是“理想函数”.

答案:④

四、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-1为偶函数.

(1)求f(x)的解析式.

(2)若g(x)=f(x)-ax-3在[1,3]上不是单调函数,求实数a的取值范围.

【解析】(1)由题意m2-5m+7=1,解得m=2或3,

因为f(x)是偶函数,故f(x)=x2.

(2)g(x)=f(x)-ax-3=x2-ax-3,

g(x)的对称轴是x=,

若g(x)在[1,3]上不是单调函数,

则1<<3,解得:2<a<6.

10.(2020·北京高一检测)已知幂函数f(x)=(m-1)2在上单调递增.

(1)求m值及f(x)的解析式;

(2)若函数g(x)=-+2ax+1-a在上的最大值为3,求实数a的值.

【解析】(1)幂函数f(x)=(m-1)2在上单调递增,

故解得m=0,

故f(x)=x3.

(2)由于f(x)=x3,

所以函数g(x)=-+2ax+1-a

=-x2+2ax+1-a,

函数的图像为开口方向向下的抛物线,对称轴为x=a,

由于在上的最大值为3,

①当a≥2时,g(x)在上单调递增,

故g(x)max=g(2)=3a-3=3,解得a=2.

②当a≤0时,g(x)在上单调递减,

故g(x)max=g=1-a=3,解得a=-2.

③当0<a<2时,g(x)在上单调递增,在上单调递减,

故g(x)max=g=a2+1-a=3,

在(0,2)上无解,

综上所述:a=±2.

1.(2020·牡丹江高一检测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=              (　　)

A.12  B.20  C.28  D.-14

【解析】选A.当x<0时,f(x)=2x3+x2,

则f=2×+=-12,

由于函数f(x)是定义在R上的奇函数,

所以f(2)=-f=12.

2.(2020·福州高一检测)已知函数f(x)=3x3+2x,x∈(-∞,+∞).

(1)证明:函数f(x)是奇函数;

(2)判断函数f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性(直接写结论,不需证明);

(3)当k>3时,不等式f(mlog3k)+f[(log3k)2-log3k+3]>0恒成立,求实数m的取值范围.

【解析】(1)因为f=3+2=-3x3-2x=-f(x),

所以f(x)是奇函数.

(2)f(x)是上的增函数,

(3)由(1)(2)知f(x)是奇函数且是上的增函数,因为f(mlog3k)+

f[(log3k)2-log3k+3]>0恒成立,

所以f>f,

即mlog3k>-(log3k)2+log3k-3,

令log3k=t,

因为k>3,所以t>1,由mt>-t2+t-3,

可得m>-+1,

令g=-+1,t∈.

因为函数g是上的增函数,上的减函数,

所以g(t)max=g=1-2.

故实数m的取值范围是.

【补偿训练】

已知幂函数g(x)过点,且f(x)=x2+ag(x).

(1)求g(x)的解析式.

(2)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由.

【解析】(1)设幂函数的解析式g(x)=xα(α为常数).

因为幂函数g(x)过点,

所以2α=,解得:α=-1,所以g(x)=.

(2)由(1)得:f(x)=x2+.

①当a=0时,f(x)=x2.

由于f(-x)=(-x)2=x2=f(x),

可知f(x)为偶函数.

②当a≠0时,由于f(-x)=(-x)2+=x2-≠x2+=f(x),

且f(-x)=(-x)2+=x2-

≠-=-f(x),

所以f(x)是非奇非偶函数.