初中数学北师大版八年级下册第五章 分式与分式方程综合与测试单元测试达标测试

专题20 分式与分式方程 单元测试

（满分：100分 时间：90分钟）

班级_________     姓名_________     学号_________     分数_________

一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)

1．（2020·重庆八年级期末）2020年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来，重庆某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．设乙厂房每天生产x箱口罩．根据题意可列方程为（  ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

设乙厂房每天生产x箱口罩，则甲厂房每天生产2x箱口罩，根据两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天列分式方程．

【详解】

设乙厂房每天生产x箱口罩，则甲厂房每天生产2x箱口罩，

根据题意得：，

故选：A．

【点睛】

此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系从而列出方程是解题的关键．

2．（2020·四川攀枝花市·八年级期末）已知关于的方程会产生增根，则m的值为（    ）

A．－1 B．1 C．2 D．-2

【答案】A

【分析】

增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x−2＝0，得到x＝2，然后代入整式方程算出未知字母的值．

【详解】

解：方程两边都乘（x−2），得
2x−（3−m）＝3（x−2），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x−2＝0，即增根为x＝2，
把x＝2代入整式方程，得m＝−1．

故选：A

【点睛】

增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

3．（2020·湖北鄂州市八年级期末）若关于x的方程无解，则m的值是 （　    ）

A．1 B．－1 C．2 D．－2

【答案】A

【分析】

先将原分式方程去分母化为整式方程，再分整式方程无解和增根两种情况讨论即可．

【详解】

去分母得：，

整理得：，

则对应整式方程一定有解，

由题可知分式方程的增根为：，代入上式得：，

故选：A．

【点睛】

本题考查分式方程无解问题，注意分式方程无解时有对应整式方程无解或产生增根两种情况．

4．（2020·山东济宁市·八年级期末）疫情期间，我市某学校用4200元钱到商场去购买“84”消毒液，经过协商议价，每瓶便宜1元，结果比用原价多买了140瓶，求原价每瓶多少元？若设原价每瓶元，则可列出方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

设原价每瓶x元，根据关键描述语：“结果比用原价多买了140瓶”得到等量关系：原价买的瓶数−实际价格买的瓶数＝140，依此列出方程即可．

【详解】

解：设原价每瓶x元，

根据题意，得，

故选：B．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是设出价格，以瓶数作为等量关系列方程．

5．（2020·湖北武汉市·八年级期末）下列各组分式中相等的是（    ）

A．和 B．和 C．和 D．和

【答案】D

【分析】

根据分式的基本性质对各项计算得到结果，即可做出判断．

【详解】

A、，，不相等，不符合题意；

B、，，不相等，不符合题意；

C、，，不相等，不符合题意；

D、，，相等，符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题考查了分式的基本性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

6．（2020·湖北武汉市·八年级期末）若分式的值为0，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．

【详解】

解：分式的值为0，

∴x=0且x-2≠0．

解得：x=0．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键．

7．（2020·山西吕梁市·八年级期末）解分式方程时，去分母变形正确的是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

分式方程整理后，两边同时乘以最简公分母，去分母转化为整式方程，即可得到结果

【详解】

解：

方程整理得：

去分母得：

故选：C．

【点睛】

本题考查了解分式方程的第一步去分母，解题关键是将方程整理变形，找到最简公分母，然后等式左右两边每一项都乘以最简公分母，不要漏乘．

8．（2020·重庆市八年级期末）甲、乙两位教师在某学校门口给学生检测体温，已知每分钟甲比乙少检测8个学生，甲检测120个学生所用的时间与乙检测150个学生所用的时间相等，设甲每分钟检测个学生，下列方程正确的是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

设甲每分钟检测个学生，则乙每分钟检测（x+8）个学生，根据“甲检测120个学生所用的时间与乙检测150个学生所用的时间相等”即可列出方程．

【详解】

解：设甲每分钟检测个学生，则乙每分钟检测（x+8）个学生，

由题意得 ．

故选：D

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，理解题目中的数量关系是解题关键．

9．（2020·辽宁锦州市·八年级期末）如果把分式中的x和y都扩大5倍，那么分式的值（ ）

A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．扩大10倍

【答案】A

【分析】

把分式中的x和y都扩大5倍，根据分式的基本性质化简即可．

【详解】

解：，

故把分式中的x和y都扩大5倍，那么分式的值扩大5倍．

故选：A．

【点睛】

本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是关键．

10．（2020·重庆市八年级期末）若分式有意义，则实数的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由分式有意义的条件进行计算，即可得到答案．

【详解】

解：∵分式有意义，

∴，

∴，

故选：C．

【点睛】

本题考查了分是有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件进行解题．

二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)

11．（2020·重庆市八年级期末）已知实数、均不为0且，则______．

【答案】

【分析】

将原分式化简得，再两边同时除以即可得结果．

【详解】

由得

所以，则

故答案为：

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，观察式子得到已知与未知的式子之间的关系是解题的关键．

12．（2020·吉林长春市·八年级期末）计算：=__________．

【答案】

【分析】

直接运用分式除法法则计算即可．

【详解】

解：

=

=．

故答案为．

【点睛】

本题主要考查了分式除法，掌握分式除法运算法则是解答本题的关键．

13．（2020·广东揭阳市·八年级期末）分式方程+=1的解为________．

【答案】

【分析】

根据解分式方程的步骤，即可解答．

【详解】

方程两边都乘以2，得：，

解得：，

检验：当时，，

所以分式方程的解为，

故答案为：．

【点睛】

考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，注意解分式方程一定要验根．

14．（2020·广东惠州市·八年级期末）化简：_____．

【答案】

【分析】

先把分母变成相同，再相加即可．

【详解】

解：，

=，

=，

=，

=；

故答案为：．

【点睛】

本题考查了分式的加减，解题关键是把两个分式变成同分母，注意：和并后要化为最简分式．

15．（2020·浙江八年级期末）函数的自变量x的取值范围是__________．

【答案】x≥-2

【分析】

根据被开方数是非负数且分母不等等于零，可得答案．

【详解】

解：由题意，得

x+2≥0且x+3≠0，

解得x≥-2且x≠-3，

∴自变量x的取值范围是x≥-2，

故答案为：x≥-2．

【点睛】

本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键．

三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)

16．（2020·湖北武汉市·八年级期末）计算：

（1）；    （2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）先按照幂的运算性质计算括号里的，最后转化为单项式除以单项式运算即可；

（2）先计算括号里，通分后转化分式的乘法化简即可．

【详解】

解：（1）原式，

；

；

（2）原式

．

．

【点睛】

本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，单项式除以单项式，分式的加减，分式的乘除，读懂题意，选择对应的计算公式或法则是解题的关键．

17．（2020·云南临沧市·八年级期末）观察下列各个等式的规律：

第一个等式：；

第二个等式：；

第三个等式：；……

（1）直接写出第四个等式；

（2）证明：；

（3）探究并计算：．

【答案】（1）；（2）证明见详解；（3）

【分析】

（1）由已知等式知，连续整数乘积的倒数等于这两个数倒数差，据此可得；

（2）根据以上所得规律可得第n个和n+1个式子，再根据分式的混合运算顺序和运算法则验证左右两边是否相等可得．

（3）根据题目中的例子和所求式子的特点，只要提出即可用例子的方法计算出所求的式子的值；

【详解】

解：（1）第四个等式为；

故答案为：

（2）证明：左边==右边，

∴．

（3）

=

=

=

=．

【点睛】

本题主要考查了数字变化规律问题和分式的加减运算，解决此类问题的关键是运用由特殊到一般的思想，找到一般规律，要善于前后联系，挖掘规律．

18．（2020·深圳市八年级期末）开学初，学校要补充部分体育器材，从超市购买了一些排球和篮球．其中购买排球的总价为1000元，购买篮球的总价为1600元，且购买篮球的数量是购买排球数量的2倍．已知购买一个排球比一个篮球贵20元．

（1）求购买排球和篮球的单价各是多少元；

（2）为响应“足球进校园”的号召，学校计划再购买50个足球．恰逢另一超市对A、B两种品牌的足球进行降价促销，销售方案如表所示．如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过5000元．那么最多可购买多少个A品牌足球？

【答案】（1）购买一个篮球80元，购买一个排球100元；（2）最多可购买16个A品牌的足球．

【分析】

（1）设购买一个蓝球x元，则购买一个排球（x＋20）元，根据购买篮球的数量是购买排球数量的2倍，列方程求解；

（2）设可购买m个A品牌足球．构建不等式即可解决问题；

【详解】

解：（1）设购买一个蓝球x元，则购买一个排球（x＋20）元，

由题意得：，

解得：x＝80，

经检验x＝80是方程的解，

答：购买一个篮球80元，购买一个排球100元；

（2）设可购买m个A品牌足球，

由题意得：150×0.8m＋100×0.9（50－m）≤5000，

解得：m≤，

∵m是整数，

∴m≤16，

∴5000元最多可购买A品牌足球16个．

答：最多可购买16个A品牌的足球．

【点睛】

本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．

19．（2020·辽宁锦州市·八年级期末）阅读下面的解题过程，然后回答问题：

计算

解：=…………①

=………………………②

=1 …………………………………………………③

解题过程中，第          步出现错误，写出正确的解答

【答案】②，－1

【分析】

根据运算过程中应用的法则，逐步判断即可确定哪步是错的，再按照分式化简的法则写出正确答案即可．

【详解】

（1）由第①步到第②步时，变成没有变号，

故答案为：②

解：，

= ，

 =－，

=－1．

【点睛】

本题考查了分式的化简运算，解题关键是熟悉每步运算法则，准确进行计算．

20．（2020·平山县八年级期末）解分式方程

（1）                   

（2）

【答案】（1）无解；（2）

【分析】

（1）（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】

解：（1），

去分母得：，

解得：，

经检验x=1是增根，分式方程无解；

（2），

去分母得：，

解得：，

经检验是原方程的解．

【点睛】

本题主要考查分式方程的解法，解题的关键是找准最简公分母，将原分式方程化为整式方程．