人教B版 (2019)必修 第二册5.1.4 用样本估计总体同步测试题

用样本估计总体

(15分钟　30分)

1.已知数据x1,x2,x3,…,xn是上海普通职工n(n≥3,n∈N*)个人的年收入,设这n个数据的中位数为x,平均数为y,方差为z,如果再加上世界首富的年收入xn+1,则这n+1个数据中,下列说法正确的是              (　　)

A.年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变

B.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大

C.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变

D.年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变

【解析】选B.插入大的极端值,平均数增加,中位数可能不变,方差也因为数据更加分散而变大.

2.(2020·潍坊高一检测)2019年国庆黄金周影市火爆依旧,《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新,为了解我校高一2 300名学生的观影情况,随机调查了100名在校学生,其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位,看过《中国机长》的学生共有60位,看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位,则该校高一年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为              (　　)

A.1 150  B.1 380  C.1 610  D.1 860

【解析】选C.依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》,故全校学生中约有2 300×0.7=1 610人看过《我和我的祖国》这部影片.

3.(2020·惠州高一检测)某班有50名学生,男女人数不相等.随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩,用茎叶图记录如图所示,则下列说法一定正确的是              (　　)

A.这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差

B.这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数

C.该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数

D.这种抽样方法是一种分层抽样

【解析】选A.5名男生成绩的平均数为=90,

5名女生成绩的平均数为=91,

这5名男生成绩的方差为×(22+42+22+42)=8,女生成绩的方差为×(22×3+32×2)=6,男生方差大于女生方差,所以男生标准差大于女生标准差,所以A对;这5名男生成绩的中位数是90, 5名女生成绩的中位数为93,所以B错;该班男生和女生成绩的平均数可通过样本估计,但不能通过样本计算得到平均数准确值,所以C错;若抽样方法是分层抽样,则因为男生女生不等,所以分别抽取的人数应不等,所以D错.

【补偿训练】

为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计,甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别是,,则下列说法正确的是              (　　)

A.>,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛

B.>,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛

C.<,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛

D.<,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛

【解析】选D.由茎叶图知,甲的平均成绩是=82,乙的平均成绩是=87,所以乙的平均成绩大于甲的平均成绩,从茎叶图看出乙的成绩稳定.

4.(2020·天津高考)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为              (　　)

A.10   B.18   C.20   D.36

【解析】选B.根据直方图,直径落在区间[5.43,5.47)内的零件频率为:

(6.25+5.00)×0.02=0.225,则区间[5.43,5.47)内零件的个数为:80×0.225=18.

5.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为________;由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时,估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时. 

【解析】第一分厂应抽取的件数为100×50%=50(件);该产品的平均使用寿命为1 020×0.5+980×0.2+1 030×0.3=1 015(小时).

答案:50　1 015

6.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图,

则:(1)这20名工人中一天生产该产品的数量在[55,75)的人数是________. 

(2)这20名工人中一天生产该产品的数量的中位数为________. 

(3)这20名工人中一天生产该产品的数量的平均数为________. 

【解析】(1)(0.04×10+0.025×10)×20

=13(人).

(2)设中位数为x,则0.2+(x-55)×0.04=0.5,x=62.5.

(3)0.2×50+0.4×60+0.25×70+0.1×80+0.05×90=64.

答案:(1)13　(2)62.5　(3)64

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分,共20分)

1.为了解某校学生的视力情况,随机抽查了该校的100名学生,得到如图所示的频率分布直方图.由于不慎将部分数据丢失,但知道前4组的频数和为40,后6组的频数和为87.设最大频率为a,视力在4.5到5.2之间的学生人数为b,则a,b的值分别为              (　　)

A.0.27,0.96   B.0.27,96

C.27,0.96   D.27,96

【解析】选B.由频率分布直方图知组距为0.1,由前4组的频数和为40,后6组的频数和为87,知第4组的频数为40+87-100=27,即视力在4.6到4.7之间的频数最大,为27,故最大频率a=0.27.视力在4.5到5.2之间的频率为1-0.01-0.03=0.96,故视力在4.5到5.2之间的学生人数b=0.96×100=96.

2.将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以x表示:

则7个剩余分数的方差为 (　　)

A.  B.  C.36  D.

【解析】选B.根据茎叶图,去掉1个最低分87,1个最高分99,

则[87+94+90+91+90+(90+x)+91]=91,所以x=4.

所以s2=[(87-91)2+(94-91)2+(90-91)2+(91-91)2+(90-91)2+(94-91)2+(91-91)2]

=.

3.某校为了了解学生的睡眠情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据,结果用如图所示的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为              (　　)

A.4 h   B.5 h

C.6 h   D.6.4 h

【解析】选D.方法一:要确定这50名学生的平均睡眠时间,就必须计算其总睡眠时间.总睡眠时间为5.5×0.1×50+6×0.3×50+6.5×0.4×50+7×0.1×50+7.5×0.1×50=27.5+90+130+35+37.5=320(h).

故平均睡眠时间为320÷50=6.4(h).

方法二:根据图形得平均每人的睡眠时间为

T=5.5×0.1+6×0.3+6.5×0.4+7×0.1+7.5×0.1=6.4(h).

4.某校为了了解学生的课外阅读情况,随机抽查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用条形图表示(如图).根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为              (　　)

A.0.6 h  B.0.9 h  C.1.0 h  D.1.5 h

【解析】选B.=0.9(h).

二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

5.(2020·菏泽高一检测)如表是某电器销售公司2019年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表:

则下列判断中正确的是 (　　)

A.该公司2019年度冰箱类电器销售亏损

B.该公司2019年度小家电类电器营业收入和净利润相同

C.该公司2019年度净利润主要由空调类电器销售提供

D.剔除冰箱类电器销售数据后,该公司2019年度空调类电器销售净利润占比将会降低

【解析】选ACD.根据表中数据知,该公司2019年度冰箱类电器销售净利润所占比为-0.48%,是亏损的,A正确;小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的,但收入与净利润不一定相同,B错误;该公司2019年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%,是主要利润来源,C正确;剔除冰箱类电器销售数据后,该公司2019年度空调类电器销售净利润占比将会降低,D正确.

【补偿训练】

(多选题)在某次高中学科知识竞赛中,对4 000名考生的参赛成绩进行统计,可得到如图所示的频率分布直方图,其中分组的区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],60分以下视为不及格,若同一组中数据用该组区间中间值作代表值,则下列说法中正确的是              (　　)

A.成绩在[70,80)的考生人数最多

B.不及格的考生人数为1 000

C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分

D.考生竞赛成绩的中位数为75分

【解析】选ABC.由频率分布直方图可得,成绩在[70,80)的频率最高,因此考生人数最多,A正确;

成绩在[40,60)的频率为0.01×10+0.015×10=0.25,因此,不及格的人数为

4 000×0.25=1 000,B正确;

考生竞赛成绩的平均分约为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5,C正确;

因为成绩在[40,70)的频率为0.45,在[70,80)的频率为0.3,所以中位数为70+10×≈71.67,故D错误.

6.某赛季甲乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况如表:

则下列说法正确的是 (　　)

A.甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差

B.甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数

C.甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值

D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定

【解析】选BD.由题意甲的极差为34-9=25,中位数是21,平均值为22,方差为s2=75,同样乙的极差为35-10=25,中位数是22,平均值为22,方差为=89.比较知BD都正确.

三、填空题(每小题5分,共10分)

7.(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_____. 

【解析】=0.98.

答案:0.98

8.某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中上学路上所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].

(1)频率分布直方图中x的值为________. 

(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,若招生1 200名,估计新生中可以申请住校的学生有________名. 

【解析】(1)由频率分布直方图,可得20x+0.025×20+0.006 5×20+0.003×2×20=1,所以x=0.012 5.

(2)新生上学路上所需时间不少于1小时的频率为0.003×2×20=0.12,因为

1 200×0.12=144,所以1 200名新生中约有144名学生可以申请住校.

答案:(1)0.012 5　(2)144

【补偿训练】

对某市“创卫生城市”活动中800名志愿者的年龄抽样调查,统计后得到频率分布直方图(如图),但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失,则依据此图可得:

(1)年龄组[25,30)对应小矩形的高度为________. 

(2)据此估计该市“创卫生城市”活动中志愿者年龄在[25,35)内的人数为________. 

【解析】(1)设年龄组[25,30)对应小矩形的高度为h,则5×(0.01+h+0.07+0.06+0.02)=1,解得h=0.04.

(2)由(1)得志愿者年龄在[25,35)内的频率为5×(0.04+0.07)=0.55,故志愿者年龄在[25,35)内的人数约为0.55×800=440.

答案:(1)0.04　(2)440

四、解答题(每小题10分,共20分)

9.(2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:

甲分厂产品等级的频数分布表

乙分厂产品等级的频数分布表

(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;

(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?

【解析】(1)由试加工产品等级的频数分布表知,

甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为=0.4;

乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为=0.28.

(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为=15.

由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为=10.比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.

【补偿训练】

PM2.5是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某城市环保局从该市市区2017年上半年每天的PM2.5监测数据中随机抽取18天的数据作为样本,将监测值绘制成茎叶图如图所示(十位为茎,个位为叶).

(1)求这18个数据中不超标数据的方差.

(2)以这18天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中约有多少天的空气质量超标.

【解题指南】(1)先求出这18个数据中不超标数据的均值,由此能求出这18个数据中不超标数据的方差.

(2)一年中空气质量超标的概率P==,由此能求出一年(按360天计算)中约有160天的空气质量超标.

【解析】(1)这18个数据中 不超标数据的均值为:=(26+27+33+34+36+39+42+43+55+65)=40,

这18个数据中 不超标数据的方差为:

s2=[(26-40)2+(27-40)2+(33-40)2+(34-40)2+(36-40)2+(39-40)2+(42-40)2+(43-40)2+(55-40)2+(65-40)2]=133.

(2)由题意,一年中空气质量超标的概率P==,×360=160,一年(按360天计算)中约有160天的空气质量超标.

10.某地区100位居民的人均月用水量(单位:t)的分组及各组的频数如下:

[0,0.5),4;[0.5,1),8;[1,1.5),15;[1.5,2),22;[2,2.5),25;[2.5,3),14;[3,3.5),6;[3.5,4),4;[4,4.5],2.

(1)列出样本的频率分布表.

(2)画出频率分布直方图,并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数.

(3)当地政府规定了人均月用水量为3 t的标准,若超出标准加倍收费,当地政府说,85%以上的居民不超过这个标准,这个解释对吗?为什么?

【解析】(1)频率分布表

(2)频率分布直方图如图:

众数:2.25,中位数:2.02,平均数:2.02.

(3)人均月用水量在3 t及以上的居民所占的比例为6%+4%+2%=12%,即大约有12%的居民人均月用水量在3 t及以上,88%的居民人均月用水量在3 t以下,因此政府的解释是正确的.

　港珠澳大桥于2018年10月2日正式通车,它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,桥隧全长5千多米.桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100 km/h,现对大桥某路段上1 000辆汽车的行驶速度进行抽样调查.画出频率分布直方图(如图),试根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的车辆数和行驶速度超过90 km/h的频率.

【解析】由频率分布直方图得:

在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的频率为0.06×5=0.3,所以在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的车辆数为:0.3×1 000=300(辆),行驶速度超过90 km/h的频率为:(0.05+0.02)×5=0.35.

【补偿训练】

为提倡节能减排,同时减轻居民负担,广州市积极推进“一户一表”工程.非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准:0.65元/度.“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取,其11月到次年4月起执行非夏季标准如下:

例如:某用户11月用电410度,采用合表电价收费标准,应交电费410×0.65=266.5(元),若采用阶梯电价收费标准,应交电费200×0.61+(400-200)×0.66+(410-400)×0.91=263.1(元).

为调查阶梯电价是否能起到“减轻居民负担”的效果,随机调查了该市100户居民的11月用电量,工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中,最后10户的月用电量(单位:度)为88,268,370,140,440,420,520,320,230,380.

(1)完成频率分布表,并绘制频率分布直方图.

(2)根据已有信息,试估计全市住户11月的平均用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表).

(3)设某用户11月用电量为x度(x∈N),按照“合表电价”收费标准应交y1元,按照阶梯电价收费标准应交y2元,请用x表示y1和y2,并求当y2≤y1时,x的最大值,同时根据频率分布直方图估计阶梯电价能否给不低于75%的用户带来实惠?

【解析】(1)频率分布表如表:

　频率分布直方图如图:

(2)该100户用户11月的平均用电量=50×0.04+150×0.12+250×0.24+350×0.3+450×0.26+550×0.04=324(度),

所以估计全市住户11月的平均用电量为324度.

(3)y1=0.65x,

y2=

由y2≤y1得

或或

解得x≤≈423.1.因为x∈N,故x的最大值为423.

根据频率分布直方图,x≤423时的频率为

0.04+0.12+0.24+0.3+23×0.002 6

=0.759 8>0.75,

故估计阶梯电价能给不低于75%的用户带来实惠.