2020-2021学年6.3 利用导数解决实际问题导学案

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6.3　利用导数解决实际问题最新课程标准    1.了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用．(重点)2．能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值)．(难点、易混点)[教材要点]知识点一　最优化问题生活中经常遇到求________、________、________等问题，这些问题通常称为最优化问题．知识点二　用导数解决最优化问题的基本思路 [基础自测]1．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为(　　)A．6 m  B．8 mC．4 m  D．2 m2．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0<x<60)，则当箱子的体积最大时，箱子底面边长为(　　)A．30  B．40C．50  D．603．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)A．13万件  B．11万件C．9万件  D．7万件4．某一件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．  题型一　面积、体积的最值问题例1　请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．        　弄清题意，根据“侧面积＝4×底面边长×高”和“体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值． 方法归纳1．解决面积、体积最值问题的思路要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．2．解决优化问题时应注意的问题(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较． 跟踪训练1　将一张2×6 m的矩形钢板按如图所示划线，要求①至⑦全为矩形，且左右对称、上下对称，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为x m，容积为y m3.(1)写出y关于x的函数关系式；(2)x取何值时，水箱的容积最大．       题型二　用料最省、成本(费用)最低问题例2　位于A，B两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最短．       　可设CD＝x km，则CE＝(3－x)km，利用勾股定理得出AC，BC的长，从而构造出所需电线总长度的函数．  方法归纳1．用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值． 跟踪训练2　甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝v4－v3＋15v，(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．      题型三　利润最大、效率最高问题　在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？[提示]　根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．例3　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．       　(1)根据x＝5时，y＝11，求a的值．(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值． 方法归纳1．经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．2．关于利润问题常用的两个等量关系(1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数． 跟踪训练3　某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p＝24 200－x2，且生产x吨的成本为R＝50 000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？       温馨提示：请完成课时分层作业(十七)章末质量检测模块质量检测6．3　利用导数解决实际问题新知初探·自主学习知识点一利润最大　用料最省　效率最高知识点二函数　导数[基础自测]1．解析：设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，因此h＝＝4(m)．答案：C2．解析：V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，因为0＜x＜60，所以当0＜x＜40时，V′(x)>0，此时V(x)单调递增；当40<x<60时，V′(x)<0，此时V(x)单调递减，所以x＝40是V(x)的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为40.答案：B3．解析：因为y′＝－x2＋81，所以当x＞9时，y′＜0；当0＜x＜9时，y′＞0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9时函数取最大值．答案：C4．解析：利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6 000，S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．答案：115课堂探究·素养提升例1　解析：设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，所以当x＝15时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.跟踪训练1　解析：(1)由水箱的高为x m，得水箱底面的宽为(2－2x) m，长为＝(3－x) m.故水箱的容积为y＝2x3－8x2＋6x(0<x<1)．(2)由y′＝6x2－16x＋6＝0，解得x＝(舍去)或x＝.因为y＝2x3－8x2＋6x(0<x<1)在内单调递增，在内单调递减，所以当x的值为时，水箱的容积最大．例2　解析：设CD＝x km，则CE＝(3－x)km.则所需电线总长l＝AC＋BC＝＋(0≤x≤3)，从而l′＝－.令l′＝0，即－＝0，解得x＝1.2或x＝－6(舍去)．因为在[0,3]上使l′＝0的点只有x＝1.2，所以根据实际意义，知x＝1.2就是我们所求的最小值点，即变压器设在DE之间离点D的距离为1.2 km处时，所需电线总长最短．跟踪训练2　解析：(1)Q＝P·＝·＝·400＝－v2＋6 000(0<v≤100)．(2)Q′＝－5v，令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，当0<v<80时，Q′<0；当80<v≤100时，Q′>0，∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q最小值＝Q(80)＝(元)．例3　解析：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，故a＝2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6，从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)·(x－6)，于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．跟踪训练3　解析：每月生产x吨时的利润为f(x)＝x－(50 000＋200x)＝－x3＋24 000x－50 000(x≥0)，由f′(x)＝－x2＋24 000＝0，解得x＝200或x＝－200(舍去)．因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)，故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．