高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.1.3 独立性与条件概率的关系.课后作业题

www.ks5u.com课时素养检测十　独立性与条件概率的关系

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1.(多选题)甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门.若同学甲必选物理，则下列说法正确的是              (　　)

A.甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件

B.甲的不同的选法种数为15

C.已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是

D.乙、丙两名同学都选物理的概率是

【解析】选BD.甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A错误；由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即=15种选法，故B正确；由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是=，故C错误；

乙、丙两名同学各自选物理的概率均为，故乙、丙两名同学都选物理的概率是×=，故D正确.

2.有以下问题：①掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”，事件N：“出现的点数为偶数”；

②抛掷3枚质地均匀的硬币，M={既有正面向上又有反面向上}，N={至多有一个反面向上}；

③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：“第1枚为正面”，事件N：“两枚结果相同”.

以上问题中，M，N是相互独立事件的有 (　　)

A.3个   B.2个   C.1个   D.0个

【解析】选B.①中，M，N是互斥事件；②中，P(M)=1-=，P(N)=1-=，P(MN)=P(M)P(N)，所以M，N是相互独立事件；

③中，P(M)=，P(N)=，P(MN)=，P(MN)=P(M)P(N)，因此M，N是相互独立事件.

3.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是(　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选C.依题意得P(A)=，P(B)=，事件A，B中至少有一件发生的概率等于1-P( )=1-P()P()=1-×=.

4.一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为              (　　)

A.1-a-b     B.1-ab

C.(1-a)(1-b)   D.1-(1-a)(1-b)

【解析】选C.设A表示“第一道工序的产品为正品”，B表示“第二道工序的产品为正品”，

则P(AB)=P(A)P(B)=(1-a)·(1-b).

5.甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选A.由题意，因为甲或乙的贺年卡送给其中一个人的概率都是，故分两种情况，

甲、乙将贺年卡送给丙的概率为×=，甲、乙将贺年卡送给丁的概率为×=，则甲、乙将贺年卡送给同一个人的概率为+=.

6.甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选A.设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则目标被击中的事件可以表示为A+B+C，即击中目标表示事件A，B，C中至少有一个发生.

所以P( )=P()P()P()=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]

==，故目标被击中的概率为1-P( )=1-=.

二、填空题(每小题5分，共10分)

7.在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型.若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________. 

【解析】“从200个螺杆中，任取一个是A型”记为事件B.“从240个螺母中任取一个是A型”记为事件C，则P(B)=，P(C)=，能配成A型螺栓为事件A.

所以P(A)=P(BC)=P(B)P(C)=·=.

答案：

8.同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________. 

【解析】设“同学甲答对第i个问题”为事件Ai(i=1，2，3)，则P(A1)=0.8，P(A2)=0.6，P(A3)=0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应事件A1A2A3∪A1A3∪A2A3发生，故所求概率为P=

P(A1A2A3∪A1A3∪A2A3)=P(A1A2A3)+

P(A1A3)+P(A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)+

P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3)=0.8×0.6×0.5+0.8×0.4×0.5+0.2×0.6×0.5=0.46.

答案：0.46

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.生产同一种产品，甲机床的废品率为0.04，乙机床的废品率为0.05，从甲，乙机床生产的产品中各任取1件，求：

(1)至少有1件废品的概率；(2)恰有1件废品的概率.

【解析】从甲、乙机床生产的产品中各取1件是废品分别记为事件A，B，则事件A，B相互独立，且P(A)=0.04，P(B)=0.05.

(1)设“至少有1件废品”为事件C，

则P(C)=1-P( )=1-P()P()=1-(1-0.04)×(1-0.05)=0.088.

(2)设“恰有1件废品”为事件D，则P(D)=P(A)+P(B)=0.04×(1-0.05)+(1-0.04)×0.05=0.086.

10.某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩合格的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测.

(1)求三人都合格的概率；

(2)求三人都不合格的概率；

(3)求出现几人合格的概率最大.

【解析】记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，

则P(A)=，P(B)=，P(C)=.

设恰有k人合格的概率为Pk(k=0，1，2，3).

(1)三人都合格的概率：

P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=.

(2)三人都不合格的概率：

P0=P( )=P()P()P()=××=.

(3)恰有两人合格的概率：

P2=P(AB)+P(AC)+P(BC)

=××+××+××=.

恰有一人合格的概率：

P1=1-P0-P2-P3=1---==.

综合(1)(2)可知P1最大.

所以出现恰有一人合格的概率最大.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1.掷一枚硬币两次，记事件A=“第一次出现正面”，B=“第二次出现反面”，则有 (　　)

A.A与B相互独立   B.P(A∪B)=P(A)+P(B)

C.A与B互斥     D.P(AB)=

【解析】选A.对于选项A，由题意得事件A的发生与否对事件B的发生没有影响，所以A与B相互独立，所以A正确.对于选项B，C，由于事件A与B可以同时发生，所以事件A与B不互斥，故选项B，C不正确.对于选项D，由于A与B相互独立，

因此P(AB)=P(A)P(B)=，所以D不正确.

2.设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是              (　　)

A.    B.   C.    D.

【解析】选D.由P(A)=P(B)，得P(A)P()=P(B)P()，即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)]，所以 P(A)=P(B).

又P( )=，所以P()=P()=，

所以P(A)=.

3.(多选题)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是              (　　)

A.2个球都是红球的概率为

B.2个球不都是红球的概率为

C.至少有1个红球的概率为

D.2个球中恰有1个红球的概率为

【解析】选ACD.设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，则P=，P=，且A1，A2独立；

在A中，2个球都是红球为A1A2，其概率为×=，A正确；

在B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，B错误；

在C中，2个球中至少有1个红球的概率为1-

P()P()=1-×=，C正确；

在D中，2个球中恰有1个红球的概率为×+×=，D正确.

4.甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为+；②目标恰好被命中两次的概率为×；③目标被命中的概率为×+×；④目标被命中的概率为1-×.其中说法正确的序号是              (　　)

A.②③   B.①②③   C.②④   D.①③

【解析】选C.设“甲射击一次命中目标”为事件A，“乙射击一次命中目标”为事件B，显然，A，B相互独立，则目标恰好被命中一次的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=×+×=，故①不正确；目标恰好被命中两次的概率为P(AB)=P(A)P(B)=×，故②正确；目标被命中的概率为P(A∪B∪AB)=P(A)+P(B)+P(AB)=×+×+×或1-P( )=1-P()P()

=1-×，故③不正确，④正确.

二、填空题(每小题5分，共20分)

5.设某批电子手表的正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次测到次品的概率为________. 

【解析】第3次首次测到次品，所以第1次和第2次测到的都是正品，第3次测到的是次品，所以第3次首次测到次品的概率为××=.

答案：

6.在某道路A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________. 

【解析】由题意知每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，.所以所求概率P=××=.

答案：

7.假设10公里长跑，甲跑出优秀的概率为，乙跑出优秀的概率为，丙跑出优秀的概率为，则甲、乙、丙三人同时参加10公里长跑，刚好有2人跑出优秀的概率为________. 

【解析】刚好有2人跑出优秀有三种情况：其一是只有甲、乙两人跑出优秀的概率为××=；其二是只有甲、丙两人跑出优秀的概率为××=；其三是只有乙、丙两人跑出优秀的概率为××=，三种情况相加得++=，即刚好有2人跑出优秀的概率为.

答案：

8.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时的免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时.求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________. 

【解析】由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.

设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，

则P(A)=×+×+×=，

即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.

答案：

三、解答题(每小题10分，共30分)

9.计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.

(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？

(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.

【解析】(1)设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则P(A)=×=，P(B)=×=，P(C)=×=.因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大.

(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则P(D)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=××+××+××=.

10.甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.

(1)求甲、乙二人都破译密码的概率；

(2)求恰有一人破译密码的概率；

(3)小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下：

解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，所以随机事件“密码被破译”可以表示为A+B，所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8+0.7=1.5，

请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程.

【解析】(1)由题意可知P(A)=0.8，P(B)=0.7，且事件A，B相互独立，

事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB，

所以P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.7=0.56；

(2)事件“恰有一人破译密码”可表示为B+A，且B，A互斥，

所以P(B+A)=P(B)+P(A)=P()P(B)+P(A)P()

=0.2×0.7+0.8×0.3=0.38.

(3)小明同学错误在于事件A，B不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式.

正确解答过程如下：

“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，可以表示为B+A+AB，且B，A，AB两两互斥，

所以P(B+A+AB)=P(B)+P(A)+P(AB)=P()P(B)+P(A)P()+P(A)P(B)

=0.2×0.7+0.8×0.3+0.8×0.7=0.94.

11.甲、乙射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：

(1)2人都射中目标的概率；

(2)2人中恰有1人射中目标的概率；

(3)2人至少有1人射中目标的概率；

(4)2人至多有1人射中目标的概率.

【解析】记“甲射击1次，射中目标”为事件A，“乙射击1次，射中目标”为事件B，则A与B，与B，A与，与为相互独立事件，

(1)2人都射中目标的概率为：

P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72，

所以2人都射中目标的概率是0.72.

(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B发生)，根据题意，事件A与B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)

=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.08+0.18=0.26，

所以2人中恰有1人射中目标的概率是0.26.

(3)2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，

其概率为P=P(AB)+[P(A)+P(B)]=0.72+0.26=0.98.

(4)“至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”2种情况，故所求概率为P=P( )+

P(A)+P(B)=P()P()+P(A)P()+

P()P(B)=0.02+0.08+0.18=0.28.