高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第三章 排列、组合与二项式定理3.1 排列与组合3.1.3 组合与组合数随堂练习题

www.ks5u.com课时素养检测四　组合与组合数、组合数的性质

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1.(多选题)下列等式正确的是 (　　)

A.=

B.=

C.=

D.=

【解析】选ABC.由组合数公式知A，B，C正确，D中=，而=，故D错误.

2.若=12，则n等于 (　　)

A.8　　　 B.5或6　　  C.3或4 　　 D.4

【解析】选A.=n(n-1)(n-2)，=n(n-1)，

所以n(n-1)(n-2)=12×n(n-1)，

又n∈N*，且n≥3，

所以n=8.

【延伸探究】若将条件“=12”变为“=6”，结果如何？

【解析】n(n-1)(n-2)=6·，又n≥3，

解得n=7.

3.满足方程=的x的值为 (　　)

A.3，5    B.1，3

C.1，3，5   D.1，3，5，-7

【解析】选B.因为方程=，所以x2-x=5x-5①或(x2-x)+(5x-5)=16② ，解①得x=1或x=5(不合题意，舍去)，解②得x=3或x=-7( 不合题意，舍去)；所以该方程的解是1或3.

4.若=42，则的值为 (　　)

A.6   B.7   C.35   D.20

【解析】选C.因为=42=×2×1，解得n=7，所以===35.

5.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有              (　　)

A.70种　　B.80种　　C.100种　　D.140种　

【解析】选A.方法一(直接法)：一男两女，有=5×6=30种；两男一女，有=10×4=40种，共计70种.

方法二(间接法)：任意选取有=84种，其中都是男医生有=10种，都是女医生有=4种，于是符合条件的有84-10-4=70种.

6.5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有一个球，若甲球必须放入A盒，则不同的放法种数是              (　　)

A.120   B.72   C.60   D.36

【解析】选C.将甲球放入A盒后分两类：一类是除甲球外，A盒还放其他球，共=24种放法；另一类是A盒中只有甲球，则其他4个球放入另外三个盒中，有·=36种放法，故总的放法有24+36=60种.

二、填空题(每小题5分，共10分)

7.已知5=(n+7)+3，则n=________. 

【解析】因为5=(n+7)+3，

所以5×

=(n+7)×+3×(n+3)(n+2)，

所以=+3，

由n∈N*，解得n=2.

答案：2

8.已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止.

(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是________； 

(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是________. 

【解析】(1)先排前4次测试，只能取正品，有种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有·=种测法，再排余下4件的测试位置，有种测法.所以共有不同测试方法··=103 680(种).

(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现.所以共有不同测试方法·(·)=576(种).

答案：(1)103 680　(2)576

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.(1)已知=，求正整数n的值.

(2)解不等式：>.

【解题指南】利用组合数公式将方程或不等式化为一般的方程或不等式求解.

【解析】(1)已知可化简为+1=，即=.

即

= ，

整理得n2-3n-54=0，解得n=9或n=-6(舍去)，

所以n=9即为所求.

(2)由>得

⇒⇒又n∈N*，

所以该不等式的解集为{6，7，8，9}.

【误区警示】1.解答(1)易忽略根的检验而产生增根，(2)易忽略n∈N*而导致错误.

2.与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由中的m∈N，n∈N*，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意.

10.从5名男生和4名女生中选出3名学生参加一次会议，要求至少有1名女生参加，有多少种选法？

【解析】方法一：问题可以分成三类.

第一类，从5名男生中选出2名男生，从4名女生中选出1名女生，有=40(种)选法；

第二类，从5名男生中选出1名男生，从4名女生中选出2名女生，有=30(种)选法；

第三类，从4名女生中选出3名女生，有=4(种)选法.根据分类加法计数原理，共有74种选法.

方法二：从所有的9名学生中选出3名，有种选法，其中全为男生的有种选法.

所以选出3名学生，至少有1名女生的选法有-=74(种).

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1.某校高二年级数学组有8名女老师，4名男老师，物理组有4名女老师，3名男老师，学校决定从这两个学科组各选2名老师去镇江参加“极课大数据”培训活动，则选出的4人中恰好有2名女老师的不同方法有              (　　)

A.84种   B.120种   C.384种   D.504种

【解析】选D.分3类：

第一类，数学组选出2名女老师，物理组选出2名男老师，共有=84种方法，

第二类，数学组选出2名男老师，物理组选出2名女老师，共有=36种方法，

第三类，数学组选出1名女老师，物理组选出1名女老师，共有=384种方法，

所以选出的4人中恰好有2名女老师的不同方法共有84+36+384=504种.

2.某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有              (　　)

A.35种   B.70种   C.30种   D.65种

【解析】选B.先从7人中选出3人有=35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案有2=70(种).

3.++++…+= (　　)

A.    B.

C.    D.

【解析】选D.原式=++++…+=+++…+=++…+=…=+==.

4.某班级要从4名男生、2名女生中派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为              (　　)

A.14   B.24   C.28   D.48

【解析】选A.方法一：分类完成.第1类，选派1名女生、3名男生，有·种选派方案；

第2类，选派2名女生、2名男生，有·种选派方案.

故共有·+·=14(种)不同的选派方案.

方法二：6人中选派4人的组合数为，其中都选男生的组合数为，所以至少有1名女生的选派方案有-=14(种).

二、填空题(每小题5分，共20分)

5.若-=(m为正整数且m≥4)，则m=________. 

【解析】因为 -=，所以

 -

=，

化简得(m-6)(m+1)=0，所以m=6.

答案：6

6.某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角的A地到东北角的B地的最短路线共有_______条. 

【解析】要使路线最短，只能向东或向北走，途中不能向西或向南走.因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有=126种走法，故从A地到B地的最短路线共有126条.

答案：126

7.以下四个式子：

①=；②=n；③÷=；

④=.其中正确的个数是________. 

【解析】①式显然成立；

②式中=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)，n=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)，所以=n，故②式成立；

对于③式÷===，故③式成立；对于④式===，故④式成立.

答案：4

8.7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人，则不同的安排方案共有_______种.(用数字作答) 

【解析】第1步，从7名志愿者中选出3人在周六参加社区公益活动，有种不同的选法；第2步，从余下的4人中选出3人在周日参加社区公益活动，有种不同的选法.

根据分步乘法计数原理，共有=140种不同的安排方案.

答案：140

三、解答题(每小题10分，共30分)

9.(1)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，列举出所有的选法.

(2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去两个乡镇参加社会调查，列举出所有的选法.

(3)以上两个问题有何区别与联系？

【解析】(1)甲、乙；甲、丙；乙、丙.

(2)甲，乙；甲，丙；乙，丙；乙，甲；丙，乙；丙，甲.

(3)区别：前者没有顺序是组合问题，后者是有序问题.联系：后者是先选后排，前者是后者的一个步骤.

10.某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种.

(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？

(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？

(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？

【解析】(1)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，

有=2 100(种).

所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种.

(2)选取2件假货有种，选取3件假货有种，共有选取方法+=2 555(种).

(3)选取3件的种数有，因此有选取方法-=6 090(种).

所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.

11.某足球赛共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队再分成8个小组决出8强，8强再分成4个小组决出4强，4强再分成2个小组决出2强，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次足球赛共进行了多少场比赛？

【解析】可分为如下几类比赛：

(1)小组循环赛：每组有=6场，8个小组共有48场；

(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，16强分成8组，每组两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；

(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强再分成4组，每组两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；

(4)半决赛，4强再分成2组，每组两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；

(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场，决出第三、四名，共有2场.

综上，共有48+8+4+2+2=64(场)比赛.