人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.4 随机变量的数字特征练习

www.ks5u.com课时素养检测十四　离散型随机变量的均值

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1.射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是0.8，若枪内只有3颗子弹，则他射击次数的数学期望是              (　　)

A.0.8    B.0.992   C.1   D.1.24

【解析】选D.记射击次数为随机变量X，则X的所有可能取值为1，2，3.P(X=1)=0.8，

P(X=2)=0.2×0.8=0.16，P(X=3)=1-0.8-0.16=0.04，

所以E(X)=1×0.8+2×0.16+3×0.04=1.24.

2.今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)为              (　　)

A.0.765   B.1.75   C.1.765   D.0.22

【解析】选B.X的取值为0，1，2，所以P(X=0)=0.1×0.15=0.015，P(X=1)=0.9×0.15+0.1×0.85=0.22，P(X=2)=0.9×0.85=0.765，

E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.

3.甲、乙两工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如表所示：

则结论正确的是 (　　)

A.甲生产的产品质量比乙生产的产品质量好一些

B.乙生产的产品质量比甲生产的产品质量好一些

C.两人生产的产品质量一样好

D.无法判断谁生产的产品质量好一些

【解析】选B.甲出废品的期望是1×0.3+2×0.2+3×0.1=1，乙出废品的期望是1×0.5+2×0.2=0.9，所以甲出废品的期望大于乙出废品的期望.故乙生产的产品质量好一些.

4.某日A，B两个沿海城市受台风袭击的概率相同，已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，

则E(X)= (　　)

A.0.1   B.0.2   C.0.3   D.0.4

【解析】选D.设A，B两市受台风袭击的概率均为p，则A市或B市都不受台风袭击的概率为=1-0.36，解得p=0.2或p=1.8 (舍去)，P=1-0.36=0.64，P=2×0.8×0.2=0.32，

P=0.2×0.2=0.04，所以E=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4.

5.设离散型随机变量X的分布列如表，则E(X)=2的充要条件是 (　　)

A.p1=p2 B.p1=p3

C.p2=p3 D.p1=p2=p3

【解析】选B.由题设及数学期望的公式可得

⇔p1=p3，则E(X)=2的充要条件是p1=p3.

6.已知X～B(5，p)，且E(X)=3，则P(X=1)= (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选B.因为X～B(5，p)，故其期望为E=5×p=3，解得p=.故P=p=.

二、填空题(每小题5分，共10分)

7.某射手射击所得环数X的分布列如表：

已知X的期望E(X)=8.9，则y的值为________. 

【解析】因为x+y=0.6，7x+10y=8.9-0.8-2.7=5.4，

解得

答案：0.4

8.已知随机变量ξ和η，其中η=4ξ-2，且E(η)=7，若ξ的分布列如表，则n的值为________. 

【解析】因为η=4ξ-2，所以E(η)=4E(ξ)-2，

所以7=4·E(ξ)-2，解得E(ξ)=，根据均值的计算公式得：=1×+2×m+3×n+4×，又+m+n+=1，联立求解可得n=.

答案：

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数X的分布列及均值E(X).

【解析】X可能的取值为0，1，2.P(X=0)==，

P(X=1)==，P(X=2)==.

所以X的分布列为：

E(X)=0×+1×+2×=.

10.不透明箱中装有3个白球和m个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从箱中任取2个球，假设每个球被取出的可能性都相等，记随机变量X为取出的2个球所得分数之和.

(1)若P=，求m的值；

(2)当m=2时，列出X的分布列并求其期望.

【解析】(1)由题意，当取出的2个球都是白球时，此时随机变量X=4.

可得P(X=4)==，即=6，即m2+5m-6=0，解得m=1(负值舍去).

(2)由题意，随机变量X所有可能的取值为2，3，4，可得

P(X=2)==，P(X=3)===，

P(X=4)==，

所以随机变量X的分布列为：

所以E(X)=2×+3×+4×=.

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1.已知随机变量X的分布列是

则E= (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选C.由分布列的性质可得++a=1，得a=，

所以E=1×+2×+3×=，

因此E=E=2E+=2×+=.

2.不透明袋中装有5个同样大小且质地相同的球，编号为1，2，3，4，5. 现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为x，则E(x)等于(　　)

A.4   B.4.5   C.4.75   D.5

【解析】选B.因为袋中装有5个同样大小且质地相同的球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，所以ξ的可能取值为3，4，5，P(ξ=3)==，P(ξ=4)==，

P(ξ=5)===，

所以E(ξ)=3×+4×+5×=4.5.

3.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用X表示所选3人中女生的人数，则E(X)为 (　　)

A.0   B.1   C.2   D.3

【解析】选B.由题意，X的可能取值为0，1，2，由题中数据可得P==，

P==，

P==，

所以E(X)=×0+1×+2×=1.

4.设不透明口袋中有黑球、白球共7个(球除颜色不同外，其他均相同，且白球个数大于2个)，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为              (　　)

A.3   B.4   C.5   D.6

【解析】选A.设白球x个，则黑球(7-x)个，取出的2个球中所含白球的个数为ξ，则ξ取值为0，1，2，

P(ξ=0)==，

P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，

所以0×+1×+2×=，所以x=3.

二、填空题(每小题5分，共20分)

5.一次英语测验由50道选择题构成，每道题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分150.某学生选对每一道题的概率均为0.7，则该学生在这次测验中的成绩的期望是________. 

【解析】因为X～B(50，0.7)，所以E(X)=50×0.7=35.

所以成绩的期望是35×3=105.

答案：105

6.已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i(i=1，2)个球放在甲盒中(每个小球被取到的可能性相同)，放入i个球后，甲盒中含有红球的个数为ξi(i=1，2)，则E+E的值为________. 

【解析】甲盒中含有红球的个数ξ1的取值为1，2，

则P==，P==.

则E=1×+2×=；

甲盒中含有红球的个数ξ2的取值为1，2，3，

则P==，

P==，

P==.

则E=1×+2×+3×=.

所以E+E=+=.

答案：

7.一袋中装有分别标记着1，2，3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同)，现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X，Y，设ξ=Y-X，则E(ξ)=________. 

【解析】由题意知ξ的取值为0，1，2，ξ=0，表示X=Y；ξ=1表示X=1，Y=2，或X=2，Y=3；ξ=2表示X=1，Y=3.

所以P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，

P(ξ=2)=1--=，所以E(ξ)=0×+1×+2×=.

答案：

8.有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用ξ表示取到次品的件数，则ξ=1的概率是________；E=________. 

【解析】根据题意ξ的所有取值为0，1，2，P(ξ=0)==，

P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，故E=0×+1×+2×=.

答案：　

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.德阳中学数学竞赛培训共开设初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，(见表)，且每一门课程是否合格相互独立，

(1)求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；

(2)记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望E(ξ).

【解析】(1)分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，则“甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为P(ABCD)+P(ABC)+P(AB D)，事件A，B，C，D相互独立，

P(ABCD)+P(ABC)+P(ABD)=×××+×××+×××=.

(2)P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，

P(ξ=2)=，P(ξ=3)=，

因此，ξ的分布列如表：

因为ξ～B，所以E(ξ)=3×=.

10.某销售公司在当地A，B两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150元回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了A，B两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：

以频率代替两家超市的食品销售件数的概率，记X表示这两家超市每日共销售食品件数，n表示销售公司每日共需购进食品的件数.

(1)求X的分布列；

(2)以销售食品利润的期望为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选哪个？

【解析】(1)由已知一家超市销售食品件数8，9，10，11的概率分别为，，，，X取值为16，17，18，19，20，21，22.P=×=，P=××2=；

P=×+××2=；

P=××2+××2=；

P=×+××2==；

P=××2=，

P=×=，

所以X的分布列为

(2) 当n=19时，记Y1为A，B销售该食品利润，则Y1的分布列为

E=1 450×+1 600×+1 750×+1 900×+1 950×+2 000×+2 050×=1 822；

当n=20时，记Y2为A，B销售该食品利润，则Y2的分布列为

E=1 400×+1 550×+1 700×+1 850×+2 000×+2 050×+2 100×=1 804，因为E>E，故应选n=19.