高中人教B版 (2019)11.1.5 旋转体巩固练习

十二　旋　转　体

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题4分,共20分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)

1.(多选题)下列叙述不正确的是 (　　)

A.圆锥过轴的截面是等腰三角形

B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台　

C.用平面去截圆柱、圆锥、圆台,得到的截面均为圆面

D.用一平面截圆锥可得的是一个圆锥和一个圆台

【解析】选BCD.圆锥过轴的截面是等腰三角形,A对,选项B应以直角梯形的垂直于底边的一腰为轴旋转方可得到圆台,C用平行于底面的平面去截圆柱、圆锥、圆台,得到的截面才是圆面,D用平行于圆锥底面的平面截圆锥可得圆锥和圆台,否则得不到.

2.圆锥的母线长为10,底面半径为6,则其高等于 (　　)

A.6 B.8 C.10 D.不确定

【解析】选B.由圆锥的轴截面可知,圆锥的母线、底面半径与高构成直角三角形,所以其高为=8.

3.一圆锥的母线长为2 cm,母线与轴夹角为30°,则圆锥的底面与轴截面面积之比为 (　　)

A.2∶π  B.π∶

C.∶π   D.以上均不对

【解析】选B.在轴截面中容易求得底面半径为1 cm,高为 cm,所以底面面积为π,轴截面面积为×2×=,因此底面与轴截面面积之比为π∶.

4.下列判断中正确的个数是 (　　)

①圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的;

②球面和球是同一个概念;

③经过球面上不同的两点只能作一个球大圆.

A.1 B.2 C.3 D.0

【解析】选A.①正确;球面和球是两个不同的概念,②错误;若球面上不同的两点恰好为球的直径的端点,则过此两点的球大圆有无数个,故③错误.

5.若圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其侧面积等于 (　　)

A.15 B.15π C.24π D.30π

【解析】选B.S侧=πrl=π×3×5=15π.

二、填空题(每小题4分,共8分)

6.一个圆锥的母线长为20 cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高为__________ cm. 

【解析】如图是圆锥的轴截面,

则SA=20 cm,∠ASO=30°,所以SO=10 cm.

答案:10

【补偿训练】

　　　若圆柱OO′的底面半径r=2 cm,母线长l=3 cm,则圆柱OO′的表面积等于______ cm2. 

【解析】S表=2πr(r+l)=2π×2×(2+3)=20π(cm2).

答案:20π

7.点O1为圆锥高上的靠近顶点的一个三等分点,过O1与底面平行的截面面积是底面面积的____. 

【解析】如图为圆锥SO的轴截面,

则=,所以=,所以=.

答案:

三、解答题(每小题16分,共32分)

8.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4,母线长为10 cm,求圆锥的母线长.

【解析】设圆锥的母线长为y cm,

圆台上、下底面半径分别为x cm、4x cm,作圆锥的轴截面如图所示,

在Rt△SOA中O′A′∥OA,

所以SA′∶SA=O′A′∶OA.

即(y-10)∶y=x∶4x,y=,

故圆锥的母线长为 cm.

9.已知圆锥的底面半径为r,高为h,正方体ABCD-A1B1C1D1内接于圆锥,求这个正方体的棱长.

【解题指南】过正方体的一组对棱作圆锥的轴截面,将有关量放在平面图形中,建立正方体的棱长与圆锥有关量的关系即可求解.

【解析】

过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面,如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x,则在轴截面中,正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x.

因为△VA1C1∽△VMN,所以=.

所以hx=2rh-2rx,

所以x==.

即圆锥内接正方体的棱长为.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)

1.(多选题)下列命题:

A.在圆柱上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线就是圆柱的母线

B.在圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线就是圆锥的母线

C.在圆台上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线就是圆台的母线

D.旋转体的母线一定是线段

其中,错误的命题是 (　　)

【解析】选ACD.选项A中两点连线不一定是母线,可能是圆柱内部的一条线段,故A错;B正确;C中两点连线不一定是母线,可能是圆台内部的一条线段,故C错;D旋转体的母线可能是曲线,例如球的母线为半圆,故D错.

2.关于下列几何体,说法正确的是 (　　)

A.图①是圆柱   B.图②和图③是圆锥

C.图④和图⑤是圆台 D.图⑤是圆台

【解析】选D.因为图①的上下底面既不平行又不全等,所以图①不是圆柱,故A错误;因为图②的母线长不相等,故图②不是圆锥,故B错误;因为图④的上下底面不平行,所以图④不是圆台,故C错误;因为图⑤的上下底面平行,且母线延长后交于一点,所以图⑤是圆台,故D正确.

3.已知圆柱的高为2,底面半径为,若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的表面积等于              (　　)

A.4π  B.π  C.π  D.16π

【解析】选D.设球半径为R,因为该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上,所以可得R2=12+()2=4,球的表面积为4πR2=16π.

4.(2020·天津高考)若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 (　　)

A.12π B.24π C.36π D.144π

【解析】选C.这个球是正方体的外接球,其半径等于正方体的体对角线的一半,

设外接球的半径为R,

则R==3,

所以,这个球的表面积为S=4πR2=4π×32=36π.

二、填空题(每小题4分,共16分)

5.在如图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为40 cm,母线长最短50 cm、最长80 cm,则斜截圆柱侧面面积S=__________ cm2. 

【解析】将侧面展开可得

S=(50+80)×40π=2 600π(cm2).

答案:2 600π

6.如果圆台两底面的半径分别是7和1,则与两底面平行且等距离的截面面积是__________. 

【解析】作出圆台的轴截面(图略),上底长2,下底长14,与两底面平行且等距离的截面对应轴截面中的中位线,其长度为8,

所以所求截面的半径为4,所以其面积为16π.

答案:16π

7.圆台两底半径分别是2 cm和5 cm,母线长是3 cm,则它的轴截面的面积为__________. 

【解析】由题设条件知,

圆台的高h==9,

所以轴截面的面积S=×(4+10)×9=63.

答案:63 cm2

8.用平面α截半径为R的球,截面到球心的距离为,则截面圆面积为________. 

【解析】如图,O为球心,O1为截面圆心,AB为截面圆的直径,则OA=R,OO1=,

所以AO1==R,

所以截面圆面积S=π=πR2.

答案:πR2

三、解答题(共38分)

9.(12分)有一个半径为5的半圆,将它卷成一个圆锥的侧面,求圆锥的高.

【解题指南】本题考查圆锥中基本量的计算和侧面展开,求解的关键是抓住半圆弧长等于圆锥的底面周长这一点.

【解析】如图,由题知,半圆的半径等于圆锥的母线长,即SA=5.

半圆的弧长等于圆锥底面周长,

设圆锥底面半径为r,因为5π=2πr.所以r=,

所以高h==.即圆锥的高是.

10.(12分)一个圆锥的底面半径为2 cm,高为6 cm,在圆锥内部有一个高为x cm的内接圆柱.

(1)用x表示圆柱的轴截面面积S.

(2)当x为何值时,S最大?

【解析】(1)如图,设圆柱的底面半径为r cm,则由=,得r=,

所以S=-x2+4x(0<x<6).

(2)由S=-x2+4x=-(x-3)2+6,

所以当x=3时,Smax=6 cm2.

11.(14分)圆台的母线长为8,母线与轴的夹角为30°,下底面半径是上底面半径的2倍,求两底面面积和轴截面面积.

【解题指南】作出圆台的轴截面找出各量之间的关系进行计算.

【解析】设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r.将圆台还原成圆锥,轴截面如图所示.

则∠ASO=30°.

在Rt△SA′O′中,SA′==2r.

在Rt△SAO中,SA==4r.

所以AA′=SA-SA′=2r即2r=8,所以r=4.

所以S上=πr2=16π,S下=π(2r)2=4πr2=64π.

过A′作A′C⊥AO于C,

则A′C=O′O,OC=O′A′,所以C为AO的中点,

所以AC=r=4,在Rt△A′AC中,

A′C2=A′A2-AC2=82-42=48所以A′C=4.

则=(2A′O′+2AO)×A′C=12×4=48.所以圆台上底面面积为16π,下底面面积为64π,轴截面面积为48.