高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.4.1 直线与平面垂直同步训练题

十八　直线与平面垂直

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)

1.(多选题)下列各种情况中,不能保证该直线与平面垂直的是 (　　)

A.一条直线垂直于一个平面内的三角形的两条边

B.一条直线垂直于一个平面内的梯形的两条边

C.一条直线垂直于一个平面内的圆的两条直径

D.一条直线垂直于一个平面内的正六边形的两条边

【解析】选BD.三角形的任何两边都相交;圆的任何两条直径都相交;但梯形中任意两边不一定相交,也可能平行;正六边形中也存在平行的两条边,因此不能保证该直线与平面垂直的是BD.

2.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AC,BD的中点.若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为 (　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

【解析】选A.取AD的中点H,连接FH,EH.

在△EFH中,∠EFH=90°,HE=2HF,从而∠FEH=30°.

3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面,在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处水平面所成的角为              (　　)

A.20°　　　 B.40°　　 C.50°　　 D.90°

【解析】选B. 晷针与晷面垂直,而晷面与赤道所在平面平行,所以晷针与赤道所在平面垂直,进而可知晷针与OA的夹角是50°,又OA垂直点A处的水平面,则晷针与点A处的水平面所成的角为40°.

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是线段BC1上任意一点,则下列结论中正确的是 (　　)

A.AD1⊥DP   B.AP⊥B1C

C.AC1⊥DP   D.A1P⊥B1C

【解析】选B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

因为B1C⊥BC1,B1C⊥AB,BC1∩AB=B,

所以B1C⊥平面ABC1D1,

因为点P是线段BC1上任意一点,所以AP⊥B1C.

5.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是              (　　)

A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β

C.PQ⊥GE   D.PQ⊥FH

【解析】选B.因为EG⊥平面α,PQ⊂平面α,

所以EG⊥PQ.

若EF⊥平面β,则由PQ⊂平面β,得EF⊥PQ.

又EG与EF为相交直线,

所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH.

6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总是保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是              (　　)

A.线段BC1

B.线段B1C

C.BB1中点与CC1中点连成的线段

D.BC中点与B1C1中点连成的线段

【解析】选B.如图,连接BD1,AC,AB1,B1C,BD,

因为AC⊥BD,AC⊥DD1,BD∩DD1=D,

所以AC⊥平面BDD1,

所以AC⊥BD1,同理B1C⊥BD1,B1C∩AC=C,

所以BD1⊥平面AB1C,

所以动点P的轨迹是线段B1C.

二、填空题(每小题4分,共8分)

7.若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则直线a和OB所成的角的大小为________. 

【解析】因为a∥OA,异面直线所成的角为锐角或直角,所以a与OB所成的角为60°.

答案:60°

8.正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积是____________. 

【解析】如图由已知得PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,

所以PA⊥平面PBC.

又PB⊥PC,PB=PC,BC=2,

所以PB=PC=.

所以VP-ABC=VA-PBC=PA·S△PBC

=××××=.

答案:

三、解答题(每小题14分,共28分)

9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,中心为O,且底面边长和侧棱长相等,M是PC的中点,求MO与AB所成的角的大小.

【解析】如图,连接AC,则O为AC的中点.

因为M为PC的中点,

所以在△APC中,MO∥PA,

即∠PAB为异面直线MO与AB所成的角(或补角).

由已知得PA=AB=PB,

所以△PAB为等边三角形,

即∠PAB=60°.

故MO与AB所成的角的大小为60°.

10.如图所示,四边形ABB1A1为圆柱的轴截面(过圆柱轴的截面),C是圆柱底面圆周上异于A,B的任意一点.求证:AC⊥平面BB1C.

【证明】因为四边形ABB1A1为圆柱的轴截面,

所以BB1⊥底面ABC.

因为AC⊂底面ABC,

所以BB1⊥AC.

因为AB为底面圆的直径,

所以∠ACB=90°,

所以BC⊥AC.

又因为BB1∩BC=B,BB1⊂平面BB1C,BC⊂平面BB1C,

所以AC⊥平面BB1C.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)

1.(多选题)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,给定下列四个命题,其中的真命题是              (　　)

A.若m⊥n,n⊂α,则m⊥α

B.若m⊥α,m⊂β,则α⊥β

C.若m⊥α,n⊥α,则m∥n

D.若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥n

【解析】选BC.A中,直线m垂直于平面α内的一条直线n,则直线m与平面α不一定垂直,所以A不是真命题;B是平面与平面垂直的判定定理,所以B是真命题;C是直线与平面垂直的性质定理,所以C是真命题;D中,分别在两个平行平面α,β内的直线m,n平行或异面,所以D不是真命题.

2.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为              (　　)

A.75° B.60° C.45° D.30°

【解析】选B.如图所示.

过P作PP′⊥平面ABC于P′,则P′为△ABC的中心,连接AP′并延长交BC于点M,则∠P′AP即为PA与平面ABC所成的角,由V=Sh,

得h===,即PP′=,又AP′=AM=1,所以tan∠P′AP=,所以∠P′AP=60°.

3.如图,平行四边形ADEF的边AF⊥平面ABCD,且AF=2,CD=3,则CE= (　　)

A.2 B.3 C. D.

【解析】选D.因为四边形ADEF为平行四边形,

所以AF?DE.

因为AF⊥平面ABCD,所以DE⊥平面ABCD.

所以DE⊥DC.

因为AF=2,所以DE=2.

又CD=3,所以CE===.

4.已知三条相交于点P的线段PA,PB,PC两两垂直,P在平面ABC外,PH⊥平面ABC于H,则垂足H是三角形ABC的              (　　)

A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心

【解析】选C.如图,

因为PA,PB,PC两两垂直,所以PA⊥平面PBC,

所以PA⊥BC.

又BC⊥PH,PA∩PH=P,

所以BC⊥平面PAH,所以BC⊥AH.

同理AB⊥CH,AC⊥BH.所以点H为△ABC的垂心.

二、填空题(每小题4分,共16分)

5.如图,设平面α∩β=EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足分别是B,D,BD⊥EF,则AC与EF的位置关系是________. 

【解析】因为AB⊥α,CD⊥α,

所以AB∥CD,故直线AB与CD确定一个平面.

因为AB⊥α,EF⊂α,所以AB⊥EF,

又BD⊥EF,AB∩BD=B,所以EF⊥平面ABDC.

因为AC⊂平面ABDC,所以AC⊥EF.

答案:垂直

6.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过点D作平面ABC的垂线DE,其中D∉PC,则DE与平面PAC的位置关系是________. 

【解析】因为DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,

所以DE∥PA.又DE⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,

所以DE∥平面PAC.

答案:平行

7.如图所示,PO⊥平面ABC,BO⊥AC,在图中与AC垂直的直线有________条. 

【解析】因为PO⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,

所以PO⊥AC.

又AC⊥BO,PO∩BO=O,所以AC⊥平面PBD,

所以PBD内的4条直线PB,PD,PO,BD都与AC垂直,所以图中共有4条直线与AC垂直.

答案:4

8.如图所示,直四棱柱A′B′C′D′-ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,当底面四边形ABCD满足________时,A′C⊥B′D′.(只填上一个你认为正确的结论即可,不必考虑所有情况) 

【解析】

⇒BD⊥AC

反过来当BD⊥AC时有A′C⊥B′D′.

答案:AC⊥BD(答案不唯一)

三、解答题(共38分)

9.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.

(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值.

(2)求证:PD⊥平面PBC.

(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

【解析】(1)因为AD∥BC,所以∠DAP或其补角就是异面直线AP与BC所成的角,

因为AD⊥平面PDC,PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD,

在Rt△PDA中,AP==,

所以cos∠DAP==,

所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为.

(2)因为AD⊥平面PDC,PD⊂平面PDC,

所以AD⊥PD,又因为AD∥BC,所以PD⊥BC,

又PD⊥PB,BC∩PB=B,所以PD⊥平面PBC.

(3)过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.

因为PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.

由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC,

在Rt△DCF中,可得DF==2.

在Rt△DPF中,sin∠DFP==.

所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.

10.(12分)如图所示,已知P为△ABC外一点,PA,PB,PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离.

【解析】过P作PO⊥平面ABC于点O,连接AO,BO,CO,所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.

因为PA=PB=PC=a,

所以△PAO≌△PBO≌△PCO.

所以OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心.

因为PA,PB,PC两两垂直,

所以AB=BC=CA=a,所以△ABC为正三角形,

所以OA=AB=a,

所以PO==a.

所以点P到平面ABC的距离为a.

11.(14分)(2020·全国Ⅲ卷)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.

证明:(1)当AB=BC时,EF⊥AC;

(2)点C1在平面AEF内.

【证明】(1)因为长方体ABCD-A1B1C1D1,

所以BB1⊥平面ABCD,所以AC⊥BB1,

因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,

所以四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD,

因为BB1∩BD=B,BB1,BD⊂平面BB1D1D,

因此AC⊥平面BB1D1D,

因为EF⊂平面BB1D1D,所以EF⊥AC;

(2)在CC1上取点M使得CM=2MC1,连接DM,MF,EC1,因为D1E=2ED,DD1∥CC1,DD1=CC1,

所以ED=MC1,ED∥MC1,

所以四边形DMC1E为平行四边形,所以DM∥EC1,

因为MF∥DA,MF=DA,

所以四边形MFAD为平行四边形,

所以DM∥AF,所以EC1∥AF,

因此点C1在平面AEF内.