人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.3 空间中的平行关系11.3.2 直线与平面平行课后测评

十六　直线与平面平行

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)

1.(多选题)如图,在下列三棱柱ABC-A1B1C1中,若M,N,P分别为其所在棱的中点,则能得出AB∥平面MNP的是              (　　)

【解析】选ABD.在A,B中,易知AB∥A1B1∥MN,

所以AB∥平面MNP;在D中,易知AB∥PN,

所以AB∥平面MNP.

【补偿训练】

下列说法正确的是 (　　)

A.直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α

B.若直线a在平面α外,则a∥α

C.若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α

D.若直线a∥b,b⊂α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线

【解析】选D.因为直线l虽与平面α内无数条直线平行,但l有可能在平面α内,所以l不一定平行于α,从而排除选项A.

因为直线a在平面α外,包括两种情况:a∥α和a与α相交,所以a和α不一定平行,从而排除选项B.

因为直线a∥b,b⊂α,则只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,所以a不一定平行于α,从而排除选项C.

因为a∥b,b⊂α,则a⊂α或a∥α,

所以a可以与平面α内的无数条直线平行.

2.在三棱台ABC-A1B1C1中,直线AB与平面A1B1C1的位置关系是 (　　)

A.相交 B.平行 C.在平面内 D.不确定

【解析】选B.因为AB∥A1B1,AB⊄平面A1B1C1,

A1B1⊂平面A1B1C1,所以AB∥平面A1B1C1.

3.如图,一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内,把这块矩形木板绕AB转动,在转动的过程中,AB的对边CD与平面α的位置关系是              (　　)

A.平行    B.相交

C.在平面α内  D.平行或在平面α内

【解析】选D.在旋转过程中,CD∥AB,易得CD∥α或CD⊂α.

4.如图,已知S为四边形ABCD外一点,G,H分别为SB,BD上的点,若GH∥平面SCD,则 (　　)

A.GH∥SA  B.GH∥SD

C.GH∥SC  D.以上均有可能

【解析】选B.因为GH∥平面SCD,GH⊂平面SBD,平面SBD∩平面SCD=SD,

所以GH∥SD,显然GH与SA,SC均不平行.

5.点M,N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A与A1B1的中点,P是正方形ABCD的中心,则MN与平面PCB1的位置关系是              (　　)

A.平行    B.相交

C.MN⊂平面PCB1  D.以上三种情形都有可能

【解析】选A.如图,因为M,N分别为A1A和A1B1的中点,

所以MN∥AB1,

又因为P是正方形ABCD的中心,

所以P,A,C三点共线,所以AB1⊂平面PB1C,

因为MN⊄平面PB1C,所以MN∥平面PB1C.

6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则下列直线与平面ACE平行的是 (　　)

A.BA1 B.BD1 C.BC1 D.BB1

【解析】选B.如图连接BD1,BD,设AC∩BD=O,

则O是BD的中点,连接OE.

因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,

所以OE∥BD1.又OE⊂平面ACE,BD1⊄平面ACE,所以BD1∥平面ACE.

二、填空题(每小题4分,共8分)

7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中和平面C1DB平行的面对角线有________条. 

【解析】如图,与平面C1DB平行的面对角线有3条:B1D1,AD1,AB1.

答案:3

8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是对角线A1D,A1C1的中点,则正方体6个表面中与直线EF平行的平面有________和________. 

【解析】如图.在△A1C1D中,

因为E,F分别为A1D,A1C1的中点,

所以EF为中位线,

所以EF∥C1D,

又EF⊄平面C1CDD1,

C1D⊂平面C1CDD1,

所以EF∥平面C1CDD1,

同理,EF∥平面A1B1BA,

故与EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.

答案:平面C1CDD1　平面A1B1BA

【补偿训练】

　　　如图所示,直线a∥平面α,点B,C,D∈a,点A与a在α的异侧.线段AB,AC,AD交α于点E,F,G.若BD=4,CF=4,AF=5,则EG等于________. 

【解析】因为a∥α,EG=α∩平面ABD,

所以a∥EG,又点B,C,D∈a,所以BD∥EG.

所以=====,

所以EG===.

答案:

三、解答题(每小题14分,共28分)

9.如图,已知两条异面直线AB与CD,平面MNPQ与AB,CD都平行,且点M,N,P,Q依次在线段AC,BC,BD,AD上,求证:四边形MNPQ是平行四边形.

【解题指南】AB∥平面MNPQ,CD∥平面MNPQ→MN∥PQ,NP∥MQ→四边形MNPQ是平行四边形.

【证明】因为AB∥平面MNPQ,且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN,所以AB∥MN.

又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ,

所以AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.

故四边形MNPQ是平行四边形.

10.已知直线a∥平面α,a∥平面β,α∩β=b,求证a∥b.

【解题指南】若直接证明两条直线a与b平行,则相当困难,注意到线面平行的条件,联想到性质定理,则可想到用构造法作辅助平面来帮助证明.

【证明】在平面α上任取一点A,在β上任取一点B,且A,B都不在直线b上.

因为a∥α,a∥β,

所以A∉a,B∉a,

所以由a与A,a与B可分别确定平面γ1,γ2,

设γ1∩α=c,γ2∩β=d,

则a∥c,且a∥d,所以c∥d.

又d⊂β,且c⊄β,所以c∥β.

又c⊂α且α∩β=b,所以c∥b.因为a∥c,所以a∥b.

(25分钟　50分)

一、选择题(每小题4分,共12分)

1.点E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是              (　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】选C.如图,由线面平行的判定定理可知,

BD∥平面EFGH,AC∥平面EFGH.

2.下列选项中,一定能得出直线m与平面α平行的是 (　　)

A.直线m在平面α外

B.直线m与平面α内的两条直线平行

C.平面α外的直线m与平面内的一条直线平行

D.直线m与平面α内的一条直线平行

【解析】选C.选项A不符合题意,因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交;选项B与D不符合题意,因为缺少条件m⊄α;选项C中,由直线与平面平行的判定定理,知直线m与平面α平行,故选项C符合题意.

3.下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形是              (　　)

A.①③ B.①④

C.②③ D.②④

【解析】选B.对于题图①,连接BC交PN于D,

则D为BC的中点,

又M是AC的中点,连接MD,

则MD是△ABC的中位线,

所以MD∥AB,

又MD⊂平面MNP,AB⊄平面MNP,

所以AB∥平面MNP;

对于题图④,可通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP.

二、填空题(每小题4分,共12分)

4.已知m,n是平面α外的两条直线,给出下列三个论断:①m∥n;②m∥α;③n∥α,以其中两个为条件,余下的一个为结论,写出你认为正确的一个________. 

【解析】若m∥n,m∥α,则n∥α.

同样,若m∥n,n∥α,则m∥α.

答案:①②⇒③(或①③⇒②)

5.用一个截面去截正三棱柱ABC-A1B1C1,交A1C1,B1C1,BC,AC分别于E,F,G,H,已知A1A>A1C1,则截面的形状可以为________(把你认为可能的结果的序号填在横线上). 

①一般的平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形;⑤梯形.

【解析】由题意知,当截面平行于侧棱时,所得截面为矩形,当截面与侧棱不平行时,所得截面是梯形,即EF∥HG且EH不平行于FG.

答案:②⑤

6.若P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线的交点为O,M为PB的中点,给出以下四个结论:①OM∥平面PCD;②OM∥平面PBC;③OM∥平面PDA;

④OM∥平面PBA.其中正确的个数是________. 

【解析】由已知可得OM∥PD,所以OM∥平面PCD且OM∥平面PAD.故正确的只有①③.

答案:2

三、解答题(共26分)

7.(12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,C1D1的中点,求证:EF∥平面BB1D1D.

【证明】如图,连接C1E,并延长交B1B的延长线于点G,连接D1G.

因为C1C∥B1B,

所以∠C1CE=∠GBE,

因为E是BC的中点,所以BE=CE,

又因为∠C1EC=∠GEB,

所以△C1CE≌△GBE,

所以C1E=GE,所以E是C1G的中点.

在△C1D1G中,F是D1C1的中点,E是C1G的中点,

所以EF∥D1G.

又因为D1G⊂平面BB1D1D,而EF⊄平面BB1D1D,

所以EF∥平面BB1D1D.

8.(14分)如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点.

(1)求证:PQ∥平面DCC1D1.

(2)求PQ的长.

(3)求证:EF∥平面BB1D1D.

【解析】(1)如图,连接AC,CD1.

因为P,Q分别是AD1,AC的中点,所以PQ∥CD1.

又PQ⊄平面DCC1D1,CD1⊂平面DCC1D1,

所以PQ∥平面DCC1D1.

(2)由(1)易知PQ=D1C=a.

(3)取B1D1的中点O1,

连接FO1,BO1,则有FO1?B1C1.

又BE?B1C1,所以BE?FO1.

所以四边形BEFO1为平行四边形,所以EF∥BO1,

又EF⊄平面BB1D1D,BO1⊂平面BB1D1D,

所以EF∥平面BB1D1D.