高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.3 二项式定理与杨辉三角课时练习

www.ks5u.com课时素养检测六　二项式定理

(25分钟　50分)

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1.(2019·全国卷Ⅲ)(1+2x2)(1+x)4的展开式中，x3的系数为 (　　)

A.12   B.16   C.20   D.24

【解析】选A.由题意可知含x3的项为1··1·x3+2x2··13·x=12x3，所以系数为12.

2.已知的展开式中含的项的系数为30，则a= (　　)

A.   B.-   C.6   D.-6

【解析】选D.通项为Tk+1=()5-k=(-a)k，由=，得k=1，即-a=30，所以a=-6.

3.的展开式中所有奇数项系数之和为1 024，则展开式中各项系数的最大值是 (　　)

A.790   B.680   C.462   D.330

【解析】选C.由题意可得：2n-1=1 024，解得n=11.则展开式中各项系数的最大值是或，则==462.

4.(多选题)对于二项式(n∈N*)，以下四种判断正确的是 (　　)

A.存在n∈N*，展开式中有常数项

B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项

C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项

D.存在n∈N*，展开式中有x的一次项

【解析】选AD.二项式的展开式的通项公式为Tk+1=x4k-n，由通项公式可知，当n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5.已知多项式=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5，则a4=________，a5=________. 

【解析】因为多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5，a4为x1项的系数，所以根据二项式定理得a4=12×22+13××2=16，a5是常数项，所以a5=13×22=4.

答案：16　4

6.在(x+y+z)6的展开式中，所有形如xaybz2(a，b∈N)的项的系数之和是________(用数字作答). 

【解析】(x+y+z)6=[(x+y)+z]6，则[(x+y)+z]6展开式的通项为Tr+1=(x+y)6-rzr，所以含z2的项为：(x+y)4z2，则形如xaybz2项的系数之和即为

(x+y)4展开式的系数之和，令x=1，y=1，则：

(x+y)4=×24=240.

答案：240

三、解答题(每小题10分，共20分)

7.(2020·全国Ⅰ卷改编)求(x+y)5的展开式中x3y3的系数.

【解析】(x+y)5展开式的通项公式为Tr+1=x5-ryr(r∈N且r≤5)，

所以与(x+y)5展开式的乘积可表示为：

xTr+1=xx5-ryr=x6-ryr或Tr+1=x5-ryr=x4-ryr+2，

在xTr+1=x6-ryr中，令r=3，

可得：xT4=x3y3，该项中x3y3的系数为10，

在Tr+1=x4-ryr+2中，令r=1，

可得：T2=x3y3，该项中x3y3的系数为5，

所以x3y3的系数为10+5=15.

8.已知.

(1)求展开式中含x的项；

(2)求展开式中所有的有理项.

【解析】(1)Tk+1=()8-k·=·2-k·，

令4-k=1得k=4，

所以含x的项为T5=×2-4·x=x.

(2)令4-k∈Z，且0≤k≤8，则k=0或k=4或k=8，所以展开式中的有理项分别为T1=x4，T5=x，T9=.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1.若二项式展开式中的第5项是常数，则自然数n的值为 (　　)

A.10   B.12   C.13   D.14

【解析】选B.因为二项式展开式中的第5项是T5=(-2)4x-4=(-2)4，因为第5项是常数，所以=0，即n=12.

2.如果的展开式中含有不等于零的常数项，则正整数n的最小值

为 (　　)

A.3   B.5   C.6   D.10

【解析】选B.因为展开式的通项为(3x2)n-r=3n-r(-2)rx2n-5r，r=0，1，2，…，n，令2n-5r=0，则n=r，所以正整数n的最小值为5.

3.设a∈Z，且0≤a<13，若512 020+a能被13整除，则a= (　　)

A.0   B.1   C.11   D.12

【解析】选D.512 020+a=(52-1)2 020+a=522 020+×522 019×(-1)+…+×52×(-1)2 019+(-1)2 020+a能被13整除，只需(-1)2 020+a=1+a能被13整除即可，

因为0≤a<13，所以a=12.

4.(1+x)4展开式中含x2的项的系数为 (　　)

A.4   B.6   C.10   D.12

【解析】选C.根据乘法公式，得：(1)因式1+中的1和(1+x)4展开式中含x2的项相乘可得含x2的项；(2)因式1+中的和(1+x)4展开式中含x3的项相乘可得含x2的项.(1+x)4展开式的通项为Tr+1=xr(r=0，1，…，4)，故·(1+x)4展开式中含x2的项为1·x2+·x3=10x2，即含x2项的系数为10.

二、填空题(每小题5分，共20分)

5.已知(1+x+x2)的展开式中没有常数项，n∈N*，且2≤n≤8，则n=________. 

【解析】因为的通项Tr+1=xn-r=xn-4r，当n-4r=0，-1，-2时，不符合题意，因为2≤n≤8，所以n不能等于4，8，3，7，2，6，所以n=5.

答案：5

6.已知的展开式中x3的系数为，则常数a的值为________. 

【解析】Tr+1=a9-r·(-1)r·，

令r-9=3，得r=8.依题意，得(-1)8×2-4·a9-8=，解得a=4.

答案：4

7.设a≠0，n是大于1的自然数，的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i，ai)(i=0，1，2)的位置如图所示，则a=________. 

【解析】由题意知A0(0，1)，A1(1，3)，A2(2，4).

得a0=1，a1=3，a2=4.

由的展开式的通项公式知Tr+1=(r=0，1，2，…，n).

故=3，=4，解得a=3.

答案：3

8.(x+1)4(x-1)的展开式中x3的系数是________. 

【解析】(x+1)4(x-1)的展开式中含x3的项由以下两部分相加得到：①(x+1)4中的二次项乘以(x-1)中的一次项x，即x2·x=6x3；②(x+1)4中的三次项乘以(x-1)中的常数项-1，即x3×(-1)=-4x3.所以(x+1)4·(x-1)的展开式中x3的系数是6+(-4)=2.

答案：2

三、解答题(每小题10分，共30分)

9.某地现有耕地10 000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多减少多少公顷(精确到1公顷)？(粮食单产=总产量除以耕地面积，人均粮食占有量=总产量除以总人口数)

【解析】设耕地平均每年减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷.

依题意得不等式

≥×(1+10%)，

即x≤103×

因为103×

=103×

≈103×

≈4.1，所以x≤4(公顷).

答：按规划该地区耕地平均每年至多减少4公顷.

10.已知在的展开式中，第9项为常数项.求：

(1)n的值；

(2)展开式中x5的系数；

(3)含x的整数次幂的项的个数.

【解析】二项展开式的通项为Tk+1=·=(-1)k.

(1)因为第9项为常数项，即当k=8时，2n-k=0，即2n-20=0，解得n=10.

(2)令2n-k=5，得k=(2n-5)=6，所以x5的系数为(-1)6=.

(3)要使2n-k，即为整数，只需k为偶数，由于k=0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项.

11.二项式的展开式中：

(1)求常数项；(2)有几个有理项；(3)有几个整式项.

【解析】展开式的通项为

Tr+1=(-1)r()15-r=(-1)r2r.

(1)设Tr+1项为常数项，则=0，得r=6，

即常数项为T7=26=320 320；

(2)设Tr+1项为有理项，则=5-r为整数 ，

所以r为6的倍数，又因为0≤r≤15，

所以r可取0，6，12三个数，即共有3个有理项.

(3)5-r为非负整数，得r=0或6，所以有2个整式项.