2020-2021学年11.3.1 平行直线与异面直线课后测评

十五　平行直线与异面直线

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全得2分,有选错的得0分)

1.(多选题)下列命题中,正确的结论有 (　　)

A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等

B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等

C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补

D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行

【解析】选BD.由空间平行直线的传递性及等角定理知,只有BD正确.

2.直线a∥b,直线b与c相交,则直线a,c一定不存在的位置关系是 (　　)

A.相交 B.平行

C.异面 D.无法判断

【解析】选B.如图,a与c相交或异面.

3.空间四边形ABCD中,给出下列说法:

①直线AB与CD异面;

②对角线AC与BD相交;

③四条边不能都相等;

④四条边的中点组成一个平行四边形.

其中正确说法的个数是 (　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【解析】选B.由定义知①正确;②错误,否则A,B,C,D四点共面;

③不正确,可将一个菱形沿一条对角线折起一个角度,就成为四边相等的空间四边形;

④正确,由平行四边形的判定定理可证.

4.下列结论正确的是 (　　)

A.若两个角相等,则这两个角的两边分别平行

B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内

C.空间四边形的两条对角线可以相交

D.空间四边形的两条对角线不相交

【解析】选D.空间四边形的四个顶点不在同一平面上,所以它的对角线不相交,否则四个顶点共面,故选D.

5.两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形 (　　)

A.全等     B.不相似

C.仅有一个角相等  D.相似

【解析】选D.由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等.

6.如图所示,在三棱锥P -ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有 (　　)

A.1对   B.2对

C.3对   D.4对

【解析】选C.根据异面直线的定义可知共3对,分别为AP与BC,CP与AB,BP与AC.

二、填空题(每小题4分,共8分)

7.已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同,另一组边的方向相反,若α=45°,则β=________. 

【解析】由等角定理可知β=135°.

答案:135°

8.如图,在空间四边形ABCD中,AB与CD,AD与BC,BD与AC的位置关系是________. 

【解析】假设AB与CD共面,则A,B,C,D在同一个平面内,这与四边形ABCD是空间四边形矛盾,所以,AB与CD是异面直线,同理可得AD与BC,BD与AC也是异面直线.

答案:异面

三、解答题(每小题14分,共28分)

9.已知空间四边形ABCD中,AB≠AC,BD=BC,AE是△ABC的边BC上的高,DF是△BCD的边BC上的中线,判定AE与DF的位置关系.

【解析】由已知得E,F不重合.

设△BCD所在平面为α,

则DF⊂α,A∉α,E∈α,E∉DF,

所以AE与DF异面.

10.如图,已知线段AA1,BB1,CC1交于O点,且==,求证:△ABC∽△A1B1C1.

【证明】因为AA1与BB1交于点O,且=,

所以A1B1∥AB,

同理A1C1∥AC,B1C1∥BC,

又因为A1B1和AB,A1C1和AC方向相反,

所以∠BAC=∠B1A1C1,

同理∠ABC=∠A1B1C1,

所以△ABC∽△A1B1C1.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)

1.(多选题)给出以下四个命题:

A.不共面的四点中,其中任意三点不共线

B.若点X,Y,Z,W共面,点X,Y,Z,V共面,则点X,Y,Z,V,W共面

C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面

D.依次首尾相接的四条线段必共面

其中不正确的命题是 (　　)

【解析】选BCD.A假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面,这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以A正确;B如图,两个相交平面有三个公共点X,Y,Z,但X,Y,Z,V,W不共面;C显然不正确;

D不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形.

2.下列四个结论中假命题的个数是 (　　)

①垂直于同一直线的两条直线互相平行;

②平行于同一直线的两直线平行;

③若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a⊥c;

④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选B.①④均为假命题.①可举反例,如a,b,c三线两两垂直.④如图甲时,c,d与异面直线l1,l2交于四个点,此时c,d异面;当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时,会出现点A与B重合的情形,如图乙所示,此时c,d共面相交.

3.已知直线a,b和平面α,a⊂α,则“b⊄α”是“b与a异面”的 (　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.由题意,若直线b不在平面α内,则b与α相交或b∥α,不一定有b与a异面,反之,若b与a异面,一定有直线b不在平面α内,即“b⊄α”是“b与a异面”的必要不充分条件.

4.已知异面直线a,b,有a⊂α,b⊂β且α∩β=c,则直线c与a,b的关系是 (　　)

A.c与a,b都相交

B.c与a,b都不相交

C.c至多与a,b中的一条相交

D.c至少与a,b中的一条相交

【解析】选D.若c与a,b都不相交,因为c与a在α内,所以a∥c.

又c与b都在β内,所以b∥c,所以a∥b,与已知条件矛盾.

如图,只有以下三种情况.

二、填空题(每小题4分,共16分)

5.空间四边形ABCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则

MN (AC+BD)(填“≥”“>”“≤”“<”“=”符号)

【解析】取BC中点E,连接EM,EN,则

所以EM+EN=(AC+BD),

又EM+EN>MN,所以MN<(AC+BD).

答案:<

6.如图,在这个正方体中:

①BM与ED平行;②CN与BM是异面直线;

③CN与BE是异面直线;④DN与BM是异面直线.

以上四个命题中,正确命题的序号是________. 

【解析】根据正方体的特征可得:

①BM与ED是异面直线,①错误;

②CN与BM是异面直线,②正确;

③由已知可证四边形BCNE是平行四边形,所以CN与BE是平行直线,③错误;

④DN与BM是异面直线,④正确.

答案:②④

7.如图所示,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是________. 

【解题指南】只需判断GH与MN是否平行或相交,若两直线既不平行也不相交,则两直线异面.

【解析】①中直线GH与MN平行,③中GM∥HN,且GM≠HN,所以GH与MN必相交.②④中GH,MN是异面直线.

答案:②④

8.a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:

①若a∥b,b∥c,则a∥c;

②若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;

③若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线;

④若a,b与c成等角,则a∥b.

其中正确的命题是________(只填序号). 

【解析】由平行直线的传递性知①正确;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故②不正确;a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故③不正确;当a,b与c成等角时,a与b可以相交、平行,也可以异面,故④不正确.

答案:①

三、解答题(共38分)

9.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E,F,G,H分别为PA,PB,PC,PD的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形.

【证明】在△PAB中,因为E,F分别是PA,PB的中点,

所以EF∥AB,EF=AB.

同理GH∥DC,GH=DC,

因为四边形ABCD是平行四边形,

所以AB∥CD,AB=CD.

所以EF∥GH,EF=GH.

所以四边形EFGH是平行四边形.

10.(12分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别为AA1,CC1的中点.求证:BF∥ED1.

【证明】如图,取BB1的中点G,连接GC1,GE.

因为F为CC1的中点且ABCD-A1B1C1D1为正方体,

所以BG∥C1F,且BG=C1F,

即四边形BGC1F为平行四边形.所以BF∥GC1.

又EG∥A1B1,A1B1∥C1D1,且EG=A1B1,

A1B1=C1D1,

所以EG∥C1D1,且EG=C1D1,

即四边形EGC1D1为平行四边形.所以ED1∥GC1.

所以BF∥ED1.

11.(14分)已知:如图所示,α∩β=a,b⊂β,a∩b=A,c⊂α,c∥a.求证:直线b,c为异面直线.

【证明】假设b,c共面于γ.

由A∈a,a∥c知,A∉c,

而a∩b=A,α∩β=a,

所以A∈γ,A∈α.

又c⊂α,所以γ,α都经过直线c及其外的一点A,

所以γ与α重合,于是a⊂γ,又b⊂β.

又γ,β都经过两相交直线a,b,从而γ,β重合.

所以α,β,γ为同一平面,这与α∩β=a矛盾,

所以b,c为异面直线.