人教B版 (2019)必修 第四册10.2.1 复数的加法与减法同步测试题

六　复数的加法与减法

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)

1.已知复数z1=1-i,z2=2+5i,则|z1+z2|= (　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

【解析】选C.由z1=1-i,z2=2+5i,得z1+z2=(1-i)+(2+5i)=(1+2)+(-1+5)i=3+4i,所以|z1+z2|=5.

2.已知复数z,“z+=0”是“z为纯虚数”的 (　　)

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.当z=0时,满足z+=0,此时为实数;而当z为纯虚数时,z+=0,所以“z+=0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件.

3.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则|z1+z2|等于 (　　)

A.1 B. C.2 D.3

【解析】选B.由题干图可知z1=-2-2i,z2=i,

所以z1+z2=-2-i,所以|z1+z2|=.

4.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是(　　)

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形

【解析】选B.根据复数加(减)法的几何意义,以,为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB为直角三角形.

5.设复数z=x+yi,x,y是实数,且x+2i=yi-1,则|z-|= (　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选D.由x+2i=yi-1,得x=-1,y=2,

所以z=-1+2i,=-1-2i,|z-|=|4i|=4.

【补偿训练】

　　　如果复数z=3+ai满足条件|z-2|<2,那么实数a的取值范围是 (　　)

A.(-2,2)  B.(-2,2)

C.(-1,1)    D.(-,)

【解析】选D.|z-2|<2即|1+ai|<2,所以<2,

所以-<a<.

6.(多选题)下列关于复数的叙述正确的是 (　　)

A.两个共轭复数的和是实数

B.两个共轭复数的差是虚数

C.两个共轭虚数的和是实数

D.两个共轭虚数的差是虚数

【解析】选ACD.设复数z=a+bi,a,b∈R,则共轭复数=a-bi,所以有z+=2a∈R,z-=2bi,当b=0时,z-是实数,当b≠0时,z-是虚数,所以A正确,B不正确.设虚数z=a+bi,a,b∈R,且b≠0,则共轭虚数=a-bi,所以有z+=2a∈R,z-=2bi是虚数,所以C正确,D正确.

二、填空题(每小题4分,共8分)

7.计算|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=________. 

【解析】|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=

|(2+i)-(-1-3i)|=|3+4i|==5.

答案:5

8.已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z=________. 

【解析】设z=a+bi,a,b∈R,由|z|=3,得a2+b2=9,且z+3i=a+(b+3)i是纯虚数,得a=0,b=±3,当z=-3i时,z+3i=0,不是纯虚数,所以z=3i.

答案:3i

【补偿训练】

　　　复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是3+i,向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,则B点对应的复数为________. 

【解析】因为表示的复数是2+4i,表示的复数是4+i,

所以=-=(4+i)-(2+4i)=2-3i,

故=+=(3+i)+(2-3i)=5-2i,

所以B点对应的复数为zB=5-2i.

答案:5-2i

三、解答题(每小题14分,共28分)

9.已知复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i对应的点是一个平行四边形的三个顶点,如何求这个平行四边形的第四个顶点对应的复数?请说明理由.

【解析】设复数z1,z2,z3对应的点分别为A,B,C,平行四边形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x,y∈R),若AC为平行四边形的一条对角线,则=,得-=-,

即(x+yi)-(1+2i)=(-1-2i)-(-2+i),(x-1)+(y-2)i=1-3i.

所以解得

故点D对应的复数为2-i.

若BC为平行四边形的一条对角线,则=,同理,得点D对应的复数为-4-3i.

若AB为平行四边形的一条对角线,则=,同理,得点D对应的复数为5i.

10.已知z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|.

【解析】设复数z1,z2,z1+z2在复平面上对应的点分别为Z1,Z2,Z,由|z1|=|z2|=1知,以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形是菱形,在△OZ1Z 中,由余弦定理,得cos∠OZ1Z==-,

所以∠OZ1Z=120°,所以∠Z1OZ2=60°,

因此△OZ1Z2是正三角形,所以|z1-z2|=|Z2Z1|=1.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)

1.已知复数z1=1+3i,z2=2-ai,(a∈R),若z1+z2的和所对应的点在实轴上,则a的值为 (　　)

A.1 B.2 C.3 D.-3

【解析】选C.由复数z1=1+3i,z2=2-ai,

得z1+z2=3+(3-a)i,由于对应的点在实轴上,则a=3.

2.在复平面上复数-3-2i,-4+5i,2+i所对应的点分别是A,B,C,则平行四边形ABCD的对角线BD所对应的复数是              (　　)

A.5-9i B.-5-3i

C.7-11i D.-7+11i

【解析】选C.在复平面上复数-3-2i,-4+5i,2+i所对应的点分别是A,B,C,

则=(-3,-2),=(-4,5),=(2,1),

所以平行四边形ABCD的对角线BD满足=+=(-)+(-)=(7,-11),所对应的复数是7-11i.

【补偿训练】

已知复数z1=1+2i,z2=3-4i,若z+z1=z2-z,则复数z= (　　)

A.1+3i B.1-3i

C.2-6i D.3+4i

【解析】选B.设z=a+bi,a,b∈R,

由复数z1=1+2i,z2=3-4i,且z+z1=z2-z,

得a+bi+1+2i=3-4i-(a+bi),得(a+1)+(b+2)i=(3-a)+(-4-b)i,所以a+1=3-a,b+2=-4-b,得a=1,b=-3,所以z=1-3i.

【一题多解】因为复数z1=1+2i,z2=3-4i,且z+z1=z2-z,所以2z=z2-z1=3-4i-(1+2i)=2-6i,所以z=1-3i.

3.(多选题)设z1,z2∈C,则下列关系正确的是 (　　)

A.|z1+z2|>|z1|   B.|z1-z2|<|z1|

C.|z1+z2|≤|z1|+|z2| D.|z1-z2|≤|z1|+|z2|

【解析】选CD.若z2=0时,|z1+z2|=|z1|,|z1-z2|=|z1|,故A,B不正确.设复数z1,z2对应平面向量,,当与不共线时,|+|<||+||,当与方向相同时,|+|=

||+||,故|+|≤||+||,即|z1+z2|≤|z1|+|z2|,C正确.当与不共线时,|-|<||+||,

当与方向相反时,|-|=||+

||,故|-|≤||+||,

即|z1-z2|≤|z1|+|z2|,D正确.

4.|(3+2i)-(1+i)|表示复平面上 (　　)

A.点(3,2)与点(1,1)之间的距离

B.点(3,2)与点(-1,-1)之间的距离

C.点(3,2)到原点的距离

D.以上都不对

【解析】选A.设z1=3+2i,z2=1+i,原式=|z1-z2|,其几何意义表示的就是这两个复数对应的两个点之间的距离.

二、填空题(每小题4分,共16分)

5.复平面内三点A,B,C,点A对应的复数为3-4i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-2i,则点C对应的复数为________. 

【解析】由点A对应的复数为3-4i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-2i,得=+=+-=(3-4i)+(3-2i)-(1+2i)=

5-8i,所以点C对应的复数为5-8i.

答案:5-8i

6.设复数z满足z+|z|=2+i,则z=________. 

【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则|z|=,

所以x+yi+=2+i,

所以

解得所以z=+i.

答案:+i

7.已知复平面上△AOB的重心G所对应的复数为1+i,则以OA,OB为邻边的平行四边形的对角线长为________. 

【解析】复平面上△AOB的重心G所对应的复数为1+i,设AB的中点为D,则=,由向量加法的平行四边形法则,得+=2=3=3+3i,故以OA,OB为邻边的平行四边形的对角线长为3.

答案:3

8.已知|z|=,且z-2+4i为纯虚数,则z=________. 

【解析】设复数z=x+yi(x,y∈R),

则z-2+4i=(x-2)+(y+4)i.

由题意知所以或

所以z=2±i.

答案:2±i

三、解答题(共38分)

9.(12分)已知复数z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i,(x,y∈R).设z=z1-z2=14-11i,求z1+z2.

【解析】由z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i,(x,y∈R),

z=z1-z2=14-11i得,(5x-3y)+(x+4y)i=14-11i,

所以,解得,

所以z1=(3x+y)+(y-4x)i=-7i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i=-14+4i,z1+z2=-14-3i.

10.(12分)在平行四边形ABCD中,已知,对应的复数分别为z1=3+5i,z2=-1+2i.

(1)求对应的复数.

(2)求对应的复数.

(3)求平行四边形ABCD的面积.

【解析】(1)由于=+=+,

所以=-,故对应的复数为

z=z1-z2=(3+5i)-(-1+2i)=4+3i.

(2)由于=-=-,

所以对应的复数为(4+3i)-(-1+2i)=5+i.

(3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD中,

==(-1,2),==(4,3),

所以cos∠DAB===.

因此sin∠DAB==.

所以平行四边形ABCD的面积

S=||||sin∠DAB=×5×=11.

11.(14分)已知z1=-3+i,z2=2+6i对应的向量分别为和,以OZ1,OZ2为邻边作平行四边形OZ1CZ2,求向量,,对应的复数.

【解析】由复数加减法的几何意义知,向量对应的复数为z1+z2=(-3+i)+(2+6i)=-1+7i,

向量对应的复数为z2-z1=(2+6i)-(-3+i)=5+5i,

向量对应的复数为z1-z2=-5-5i.