人教B版 (2019)必修 第四册11.2 平面的基本事实与推论复习练习题

十四　平面的基本事实与推论

(25分钟　50分)

一、选择题(每小题4分,共20分,多选题全部选对得4分,选对但不全得2分,有选错的得0分)

1.(多选题)下列说法不正确的是 (　　)

A.梯形的四个顶点共面

B.三条平行直线共面

C.有三个公共点的两个平面重合

D.三条直线两两相交,可以确定3个平面

【解析】选BCD.因为梯形有两边平行,所以梯形确定一个平面,所以A是正确的;三条平行直线不一定共面,如直三棱柱的三条平行的棱,所以B不正确;有三个公共点的两个平面不一定重合,如两个平面相交,三个公共点都在交线上,所以C不正确;三条直线两两相交,可以确定的平面个数是1或3,所以D不正确.

2.已知点A,直线a,平面α,以下命题表达正确的个数是 (　　)

①A∈a,a⊄α⇒A∉α;②A∈a,a∈α⇒A∈α;

③A∉a,a⊂α⇒A∉α;④A∈a,a⊂α⇒A⊂α.

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】选A.

①错,如图:

②a∈α符号不对;③错,如图:

④A⊂α符号书写不对.

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,如果P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么在正方体中过点P,Q,R的截面图形是              (　　)

A.三角形  B.四边形

C.五边形  D.六边形

【解析】选D.如图,

延长PQ分别交CB,CD的延长线于点M,N,

连接MR,交BB1于点E,交CC1的延长线于点H,

连接NH,分别交D1D,D1C1于点F,G,

则六边形QPERGF为截面图形.

4.(2020·浙江高考)已知空间中不过同一点的三条直线m,n,l,则“m,n,l在同一平面”是“m,n,l两两相交”的              (　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.已知m,n,l两两相交,可以推出m,n,l在同一个平面,反之,已知m,n,l在一个平面,可以推出m,n,l两两相交,或者m∥n,l与m,n相交等多种情况,故“m,n,l在同一平面”是“m,n,l两两相交”的必要不充分条件.

5.如图所示,平面α∩平面β=l,A,B∈α,C∈β,C∉l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ,β的交线必过              (　　)

A.点A B.点B

C.点C,但不过点D D.点C和点D

【解析】选D.由已知,得点C和点D既在平面β内又在平面γ内,故在β与γ的交线上.

二、填空题(每小题4分,共8分)

6.设平面α与平面β相交于l,直线a⊂α,直线b⊂β,a∩b=M,则M__________l. 

【解析】因为a∩b=M,a⊂α,b⊂β,所以M∈α,M∈β.

又因为α∩β=l,所以M∈l.

答案:∈

【补偿训练】

　　　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,试根据图形填空:

(1)平面ABB1A1∩平面A1B1C1D1=________; 

(2)平面A1C1CA∩平面ABCD=__________; 

(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=__________; 

(4)平面A1B1C1D1,平面B1C1CB,平面ABB1A1的公共点为__________. 

答案:(1)A1B1　(2)AC　(3)OO1　(4)B1

7.空间三条直线,如果其中一条直线和其他两条直线都相交,那么这三条直线能确定的平面个数是________. 

【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

①AA1∩AB=A,AA1∩A1B1=A1,直线AB,A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1).

②AA1∩AB=A,AA1∩A1D1=A1,直线AB,AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1).

③三条直线AB,AD,AA1交于一点A,它们可以确定三个平面(平面ABCD,平面ABB1A1和平面ADD1A1).

答案:1或2或3

三、解答题(共22分)

8.(10分)如图所示,已知E,F与G分别为正方体ABCD-A1B1C1D1棱AB,B1C1与DA的中点,试过E,F,G三点作正方体ABCD-A1B1C1D1的截面.

【解析】

作法:(1)连接GE并延长交CB的延长线于M,交CD的延长线于N,连接MF,交棱B1B于点H,连接HE;

(2)延长EH交A1B1的延长线于点R.连接FR,FR交D1C1于Q;

(3)连接QN交D1D于点K,连接KG.六边形KGEHFQ就是所要作的截面.

9.(12分)如图所示,在空间四边形各边AD,AB,BC,CD上分别取E,F,G,H四点,如果EF,GH交于一点P,求证:点P在直线BD上.

【证明】因为EF∩GH=P,

所以P∈EF且P∈GH.

又因为EF⊂平面ABD,GH⊂平面CBD,

所以P∈平面ABD,且P∈平面CBD,

所以P∈平面ABD∩平面CBD,

因为平面ABD∩平面CBD=BD,

所以P∈BD,所以点P在直线BD上.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)

1.(多选题)已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理正确的是 (　　)

A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β

B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN

C.A∈α,A∈β⇒α∩β=A

D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线⇒α,β重合

【解析】选ABD.选项C中,α与β有公共点A,则它们有过点A的一条交线,而不是点A,故C错.

2.空间中有A,B,C,D,E五个点,已知A,B,C,D在同一个平面内,B,C,D,E在同一个平面内,那么这五个点(　　)

A.共面  B.不一定共面

C.不共面  D.以上都不对

【解析】选B.若B,C,D共线,则这五个点不一定共面;若B,C,D不共线,则这五个点一定共面.

3.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为 (　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

【解析】选C.既与AB共面又与CC1共面的棱有CD,BC,BB1,AA1,C1D1,共5条.

4.有下列四种叙述:

①空间四点共面,则其中必有三点共线;

②空间四点不共面,则其中任何三点不共线;

③空间四点中有三点共线,则此四点必共面;

④空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面.

其中正确叙述的序号是 (　　)

A.②③④   B.②③  C.①②③   D.①③

【解析】选B.因为四棱柱中每个面都有四个点,但这四个点中没有三点是共线的,所以①错;因为空间任何三点不共线但四点可以共面,所以④错.

【补偿训练】

经过空间任意三点作平面 (　　)

A.只有一个  B.可作两个

C.可作无数个 D.只有一个或有无数个

【解析】选D.若三点不共线,只可以作一个平面;若三点共线,则可以作出无数个平面.

二、填空题(每小题4分,共16分)

5.平面α,β相交,在α,β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定__________个平面. 

【解析】如果这四点在同一平面内,那么确定一个平面;如果这四点不共面,则任意三点可确定一个平面,所以可确定四个平面.

答案:1或4

6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是__________. 

①C1,M,O三点共线;

②C1,M,O,C四点共面;

③C1,O,A,M四点共面;

④D1,D,O,M四点共面.

【解析】连接A1C1,AC,则AC∩BD=O,

因为A1C∩平面C1BD=M.

所以三点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,所以①②③均正确,④不正确.

答案:①②③

7.有下列命题:

①空间三点确定一个平面;

②有3个公共点的两个平面必重合;

③空间两两相交的三条直线确定一个平面;

④等腰三角形是平面图形;

⑤垂直于同一直线的两条直线平行;

⑥一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交.

其中正确命题的序号是__________. 

【解析】由平面的基本事实1知,不共线的三点才能确定一个平面,所以命题①错,②中当三个公共点共线时,两平面可以不重合,③中空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点,则这三条直线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面.因为在正方体ABCD-A′B′C′D′中,直线BB′⊥AB,BB′⊥BC,但AB与BC不平行,所以⑤错.因为在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB∥CD,BB′∩AB=B,但BB′与CD不相交,所以⑥错.

答案:④

8.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确命题的序号是__________. 

①P∈a,P∈α⇒a⊂α;

②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;

③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;

④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.

【解析】当a∩α=P时,P∈a,P∈α,

但a⊄α,所以①错;a∩β=P时,②错;

如图,因为a∥b,P∈b,所以P∉a,

所以由直线a与点P确定唯一平面α,

又因为a∥b,所以由a与b确定唯一平面γ,

但γ经过直线a与点P,

所以γ与α重合,所以b⊂α,故③正确;

两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.

答案:③④

三、解答题(共38分)

9.(12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是BD的中点,对角线AC1与过A1B,D的平面交于点P,求证:点A1,P,O在同一直线上.

【证明】如图,连接AC,A1C1,

因为O是BD的中点,所以O是AC的中点,即O∈AC,又因为AC⊂平面ACC1A1,

所以O∈平面ACC1A1.因为P∈AC1,又因为AC1⊂平面ACC1A1,所以P∈平面ACC1A1,所以A1,P,O都在平面ACC1A1内.又因为A1,P,O都在平面A1BD内,所以A1,P,O都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上,即A1,P,O三点共线.

10.(12分)已知三个平面两两相交,有三条交线,求证:若这三条交线不平行,则它们交于一点.

【解题指南】证明三线共点的基本思路是先证其中两条直线有交点,再证该交点在第三条直线上.对于证空间中多线共点,平面几何中证多线共点的思维方法仍然适用,只是在思考中应考虑空间图形的特点.

【解析】已知:如图,设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.且a,b,c不平行.

求证:a,b,c三线交于一点.

证明:因为α∩β=c,α∩γ=b,所以b⊂α,c⊂α.

因为b,c不相互平行,所以b,c交于一点.

设b∩c=P,因为P∈c,c⊂β,所以P∈β.同理,P∈γ.

因为β∩γ=a,所以P∈a.故a,b,c交于一点P.

11.(14分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如图所示:

(1)求证:D,B,E,F四点共面;

(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置.

【解析】(1)由于CC1和BF在同一个平面内且不平行,故必相交.

设交点为O,则OC1=C1C.同理直线DE与CC1也相交,

设交点为O′,则O′C1=C1C,故O′与O重合.

由此可证得DE∩BF=O,故D,B,F,E四点共面(设为α);

(2)由于AA1∥CC1,所以A1,A,C,C1四点共面(设为β).

P∈BD,而BD⊂α,故P∈α.

又P∈AC,而AC⊂β,所以P∈β,所以P∈α∩β.

同理可证得Q∈α∩β,从而有α∩β=PQ.

又因为A1C⊂β,

所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点.

连接A1C,则A1C与PQ的交点R就是所求的交点.