高中数学人教B版 (2019)必修第二册第四章指数函数、对数函数与幂函数本章综合与测试精练

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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修第二册第四章指数函数、对数函数与幂函数本章综合与测试精练，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若幂函数f(x)=xa的图像过点(4,2),则f(a2)=( )
A.aB.-aC.±aD.|a|
【解析】选D.由题意f(4)=4a=2,
解得a= QUOTE ,
所以f(x)= QUOTE ,
所以f(a2)=(a2 QUOTE =|a|.
2.设a∈ QUOTE ,则使函数y=xa的定义域是R,且为奇函数的所有a的值是( )
A.1,3B.-1,1
C.-1,3D.-1,1,3
【解析】选A.当a=-1时,y=x-1的定义域是 QUOTE ,且为奇函数;当a=1时,函数y=x的定义域是R且为奇函数;当a= QUOTE 时,函数y= QUOTE 的定义域是{x|x≥0}且为非奇非偶函数.当a=3时,函数y=x3的定义域是R且为奇函数.
3.(2020·全国Ⅱ卷)若2x-2y<3-x-3-y,则( )
A.ln(y-x+1)>0B. ln(y-x+1)<0
C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0
【解析】选A.由2x-2y<3-x-3-y
得:2x-3-x<2y-3-y,
令f(t)=2t-3-t,则f(x)因为y=2x为R上的增函数,y=3-x为R上的减函数,所以f(t)为R上的增函数,所以x所以y-x>0,所以y-x+1>1,
所以ln(y-x+1)>0,则A正确,B错误;
因为|x-y|与1的大小关系不确定,故C、D无法确定.
4.已知函数y=lga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图像如图所示,则下列结论成立的是( )
A.a>1,c>1B.a>1,0C.01D.0【解析】选D.因为函数单调递减,所以0当x=1时lga(x+c)=lga(1+c)<0,
即1+c>1,即c>0,
当x=0时lga(x+c)=lgac>0,
即c<1,即05.(2020·天津高一检测)已知a=21.2,b=2lg52,c=ln QUOTE ,则( )
A.a>b>cB.a>c>b
C.b>a>cD.b>c>a
【解析】选A.a=21.2>21=2,
b=2lg52=lg54lg51=0,
c=ln QUOTE =-ln 3<-ln e=-1,
即c<-1<0b>c.
6.(2019·北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1= QUOTE lg QUOTE ,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A.1010.1B.10.1
C.lg 10.1D.10-10.1
【解析】选A.令m1=-26.7,m2=-1.45,
则m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25= QUOTE lg QUOTE ,lg QUOTE =10.1, QUOTE =1010.1.
7.(2020·三明高一检测)已知函数f(x)= QUOTE 的值域为[-8,1],则实数a 的取值范围是( )
A.(-∞,-3]B.[-3,0)
C.[-3,-1]D. QUOTE
【解析】选B.当0≤x≤4时,f(x)=-x2+2x=- QUOTE +1,
所以-8≤f(x)≤1;
当a≤x<0时,f(x)=- QUOTE ,
所以- QUOTE ≤f(x)<-1,
因为f(x)的值域为[-8,1],
所以 QUOTE 故-3≤a<0.
8.(2020·厦门高一检测)函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数;②存在 QUOTE ⊆D使f(x)在 QUOTE 上的值域为 QUOTE ,那么就称y=f(x)为“成功函数”.若函数f(x)=lga(ax+t),(a>0,a≠1)是“成功函数”,则t的取值范围是( )
A. QUOTE B. QUOTE
C. QUOTE D. QUOTE
【解析】选A.因为f(x)=lga(ax+t),(a>0,a≠1)是“成功函数”,当a>1时,f(x)在其定义域内为增函数,
当0由题意得f(x)=lga(ax+t)= QUOTE ,
所以ax+t= QUOTE ,ax- QUOTE +t=0,令q= QUOTE >0,
所以q2-q+t=0 有两个不同的正数根,
所以 QUOTE
解得t∈ QUOTE .
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.下列函数中,其定义域与函数y=eln x的定义域相同的是( )
A.y=xB.y=lg x
C.y=2xD.y= QUOTE
【解析】选BD.函数y=eln x的定义域为(0,+∞),函数y=x的定义域为R,不满足要求;函数y=lg x的定义域为(0,+∞),满足要求;函数y=2x的定义域为R,不满足要求;函数y= QUOTE 的定义域为(0,+∞),满足要求.
10.对于0A.lga(1+a)B.lga(1+a)>lga QUOTE
C.a1+a< QUOTE
D.a1+a> QUOTE
【解析】选BD.因为0从而1+a<1+ QUOTE .
所以lga(1+a)>lga QUOTE .
又因为0 QUOTE .
11.设函数f(x)=2x,对于任意的x1,x2(x1≠x2),下列命题中正确的是( )
A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)
B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)
C. QUOTE >0
D.f QUOTE < QUOTE
【解析】选ACD. QUOTE · QUOTE = QUOTE ,所以A成立, QUOTE × QUOTE ≠ QUOTE ,所以B不成立,函数f(x)=2x,在R上是单调递增函数,若x1>x2则f(x1)>f(x2),则 QUOTE >0,若x10,故C正确;
f QUOTE < QUOTE 说明函数是凹函数,
而函数f(x)=2x是凹函数,故D正确.
12.(2020·枣庄高一检测)已知函数f(x)=lgax QUOTE 图像经过点(4,2),则下列结论正确的有( )
A.函数为增函数
B.函数为偶函数
C.若x>1,则f(x)>0
D.若0【解析】选ACD.由题知2=lga4,a=2,故f(x)=lg2x.
对A,函数为增函数正确.
对B,f(x)=lg2x不为偶函数.
对C,当x>1时, f(x)=lg2x>lg21=0成立.
对D,因为f(x)=lg2x往上凸,故若0三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.(2020·长春高一检测)设lg23=a,lg215=b,则lg275=________(结果用a,b表示).
【解析】依题意,知lg215=b,
即lg23+lg25=b,可得lg25=b-a,
则lg275=lg23+2lg25=a+2(b-a)=2b-a.
答案:2b-a
14.(2020·石嘴山高一检测)不等式 QUOTE >1的解集是________.
【解析】 QUOTE >1⇔x2-2x-3<0⇔-1答案: QUOTE
15.设f(x)= QUOTE 则f(f(2))=________.
【解析】因为f(2)=lg3(22-1)=1,
所以f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.
答案:2
16.已知函数f(x)= QUOTE 为定义在区间[-2a,3a-1]上的奇函数,则a=________,
f QUOTE =________.
【解析】因为f(x)是定义在[-2a,3a-1]上的奇函数,
所以定义域关于原点对称,即-2a+3a-1=0,所以a=1,
因为函数f(x)= QUOTE 为奇函数,
所以f(-x)= QUOTE = QUOTE =- QUOTE ,
即b·2x-1=-b+2x,所以b=1,
所以f QUOTE = QUOTE ,
所以f QUOTE = QUOTE = QUOTE =2 QUOTE -3.
答案:1 2 QUOTE -3
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)(1)已知lg2(16-2x)=x,求x的值.
(2)计算: QUOTE +810.75- QUOTE × QUOTE +lg57·lg725.
【解析】(1)因为lg2(16-2x)=x,
所以2x=16-2x,化简得2x=8,
所以x=3.
(2)原式=1+(34 QUOTE -3×(23 QUOTE + QUOTE · QUOTE
=1+27-12+2=18.
18.(12分)(2020·南昌高一检测)已知函数f(x)=2x-4x.
(1)求y=f(x)在[-1,1]上的值域;
(2)解不等式f(x)>16-9×2x;
(3)若关于x的方程f(x)+m-1=0在[-1,1]上有解,求m的取值范围.
【解析】(1)设t=2x,因为x∈[-1,1],
所以t∈ QUOTE ,y=t-t2=- QUOTE + QUOTE ,
所以t= QUOTE 时,f(x)max= QUOTE ,
t=2时,f(x)min=-2.
所以y=f(x)在[-1,1]上的值域为 QUOTE .
(2)设t=2x,由f(x)>16-9×2x,得t-t2>16-9t,
即t2-10t+16<0,
所以2所以不等式的解集为(1,3).
(3)方程有解等价于m在1-f(x)的值域内,
所以m的取值范围为 QUOTE .
19.(12分)(2020·合肥高一检测)若函数y=f(x)= QUOTE 为奇函数.
(1)求a的值;(2)求函数的定义域;(3)求函数的值域.
【解析】因为函数y=f(x)= QUOTE =a- QUOTE ,
(1)由奇函数的定义,可得f(-x)+f(x)=0,
即2a- QUOTE - QUOTE =0,
所以a=- QUOTE .
(2)因为y=- QUOTE - QUOTE ,
所以3x-1≠0,即x≠0.
所以函数y=- QUOTE - QUOTE 的定义域为{x|x≠0}.
(3)由(2)知x≠0,
因为3x -1≠0且3x-1>-1,
所以-1<3x-1<0或3x-1>0.
所以- QUOTE - QUOTE > QUOTE 或- QUOTE - QUOTE <- QUOTE .
即函数的值域为 QUOTE .
20.(12分)已知a>2,函数f(x)=lg4 QUOTE -lg4 QUOTE .
(1)求f(x)的定义域;
(2)当a=4时,求不等式f QUOTE ≤f QUOTE 的解集.
【解析】(1)由题意得: QUOTE
解得 QUOTE
因为a>2,所以2(2)因为a=4,
所以f QUOTE =lg4 QUOTE -lg4 QUOTE ,f QUOTE =lg41-lg41=0,
因为f QUOTE ≤f QUOTE ,
所以lg4 QUOTE -lg4 QUOTE ≤0,
即lg4 QUOTE ≤lg4 QUOTE ,
从而 QUOTE 解得 QUOTE 故不等式f QUOTE ≤f QUOTE 的解集为 QUOTE .
21.(12分)对年利率为r的连续复利,要在x年后达到本利和A,则现在投资值为B=Ae-r x,e是自然对数的底数.
如果项目P的投资年利率为r=6%的连续复利.
(1)现在投资5万元,写出满n年的本利和,并求满10年的本利和.(精确到0.1万元)
(2)一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金,若每年初一次性给项目P投资2万元,那么,至少满多少年基金共有本利和超过一百万元?(精确到1年)
【解析】(1)由题意可得5=A·e-0.06n,
所以A=5·e0.06n;
当n=10时,A=5·e0.6≈9.1万元.
(2)n年后的本利和为A=2·e0.06n+2·e0.06(n-1)+2·e0.06(n-2)+…+2·e0.06
=2· QUOTE ,
令2· QUOTE >100,
可得n>22.7.
所以至少满23年后基金共有本利和超过一百万元.
22.(12分)已知函数f(x)=lg2 QUOTE .
(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值.
(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值范围.
(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围.
【解析】(1)函数f(x)是R上的奇函数,则f(0)=0,求得a=0.
又此时f(x)=-x是R上的奇函数.所以a=0为所求.
(2)函数f(x)的定义域是一切实数,则 QUOTE +a>0恒成立.
即a>- QUOTE 恒成立,由于- QUOTE ∈(-∞,0).故只要a≥0即可.
(3)由已知函数f(x)是减函数,故f(x)在区间[0,1]上的最大值f(0)=lg2(1+a),
最小值是f(1)=lg2 QUOTE .
由题设lg2(1+a)-lg2 QUOTE
≥2⇒ QUOTE .
故- QUOTE

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